初中数学北师大版九年级下册3 垂径定理课堂检测

这是一份初中数学北师大版九年级下册3 垂径定理课堂检测，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专训3.3 垂径定理应用
一、单选题
1．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，P是AB的延长线上一点，BP＝2，则OP等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC、BC，根据勾股定理求出OC，根据勾股定理求出OP即可．
【详解】
解：过O作OC⊥AB于C，

则∠OCP＝∠ACO＝90°，
∵OC⊥AB，OC过O，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
∵BP＝2，
∴PC＝BC＋BP＝6，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：OC＝ ，
在Rt△PCO中，由勾股定理得：OP＝ ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分弦．
2．如图，为的直径，弦，垂足为，，，则的半径为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．无法确定
【答案】C
【分析】
连接OA，由垂径定理得AE=3，设OA=OC=x，根据勾股定理列出方程，进而即可求解．
【详解】
连接OA，

∵为的直径，弦，
∴AE=AB=3，
设OA=OC=x，则OE=x-1，
∴，解得：x=5，
∴的半径为5．
故选C．
【点睛】
本题主要考查垂径定理和勾股定理，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
3．如图；“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材；埋在壁中；不知大小；以锯锯之；深一寸；锯道长一尺；问径几何”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径；弦AB垂直CD于点E；CE＝1寸；AB＝10寸；则直径CD的长为（ ）

A．12.5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
【答案】D
【分析】
根据垂径定理和勾股定理求解．
【详解】
解：连接OA，如图所示，

设直径CD的长为2x寸，则半径OA=OC=x寸，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB=10寸，
∴AE=BE=AB=×10=5寸，
根据勾股定理得x2=52+(x-1)2，
解得x=13，
CD=2x=2×13=26（寸）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
4．如图，这是一张从某大桥正侧面拍摄的照片，大桥的主桥拱为圆弧型，桥面AB长为80米，且与水面平行，小王用计算机根据照片对大桥进行了模拟分析，在桥正下方的水面上取一点P，在桥面AB上取点C，作射线PC交弧（主桥拱）于点D，画出了PC与PD关于AC长的函数图象，下列对此桥的判断不合理的是（ ）

A．在桥拱正下方部分的桥面EF的实际长度约为50米．
B．桥拱的最高点与桥面AB的实际距离约为18米．
C．拍摄照片时，桥面离水面的实际高度约为11米．
D．桥面上BF段的实际长度约20米．
【答案】B
【分析】
结合函数图像进行逐一分析判断即可得到答案．
【详解】
解：A、函数图像中PC与PD函数图像的交点即为桥拱与桥面的交点E、F，对应的横坐标分别为1、6，根据横坐标最大为8，AB=80米，
∴横坐标一个单位长度对应的长度是10米，
∴EF=10×（6-1）=50米，故A不符合题意；
B、如图当D在最高点，作DH⊥AB于H，若DH=18m，则斜边CD的长大于18m，即，即在函数图像上，而由函数图像可知，PC与PD的差值最大没有达到1.8，因此桥拱的最高点与桥面AB的实际距离小于18米，故B符合题意；
C、PC的纵坐标最低时，此时PC⊥AB，由函数图像可知，此时正好在1.1处，即高度为11米，故C不符合题意；
D、由函数图像可知F的横坐标为6，B的横坐标为8，即F、B之间的距离为20，故D不符合题意；
故选B．

【点睛】
本题主要考查了从函数图像中获取信息进行求解，解题的关键在于能够准确读懂函数图像．
5．已知的半径为，弦，则和的距离为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】
由于弦、的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦和在圆心同侧；②弦和在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【详解】
解：如图1，

当、在圆心的同侧时，连接、，过作于，交于，
，
，
，，
，，
，
，
，
；
如图2，当、在圆心的异侧时，连接、，过作于，反向延长交于，
，
，
，，
，，
，
，
，
；
故选：．
【点睛】
本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．
6．在一次数学综合活动课上，小凌同学需要在一个半径为6cm的圆上裁出一个面积尽可能大的等边三角形，则这个等边三角形的边长是（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】D
【分析】
画出图形，作于点，利用垂径定理和等边三角形的性质求出AC的长，即可求解．
【详解】
解：依题意得，
连接，，作于点，

∵，
∴，，
∴
∴
由勾股定理可得

故选：D．
【点睛】
本题考查了圆的有关性质，勾股定理等内容，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
7．已知：如图，是的直径，弦交于E点，，则的长为（ ）

A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】
如图，过点作于，根据已知条件求得勾股定理求得，由垂径定理可得，进而可得的长．
【详解】
如图，过点作于，

则，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选A．
【点睛】
本题考查了垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键．
8．如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F．若，，则的长是（ ）

A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】A
【分析】
先根据垂径定理可得，再利用勾股定理可得，然后根据三角形中位线定理即可得．
【详解】
解：，
，
，
，
，
，
，
，
又，
是的中位线，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂径定理、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键．
9．如图，是的直径，弦于点，，，则的长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由垂径定理可得的长度，再由勾股定理可得的长度，然后由即可得出的长度．
【详解】
解：弦于点，cm，
cm，
在中，cm，
（cm），
cm，
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出的长度是解题的关键．
10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）

A．1米 B．米 C．2米 D．米
【答案】B
【分析】
连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC﹣OD即可求解．
【详解】
解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，
连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD===，
∴CD=OC﹣OD=4﹣，
即点到弦所在直线的距离是（4﹣）米，
故选：B．

【点睛】
本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．


二、填空题
11．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为_____．

【答案】
【分析】
过点作交于点,连接，由折叠的性质可知：，根据勾股定理可求出的长，再由垂径定理可得;即可得出答案．
【详解】

如图所示，过点作于，连接，
，，，
在中，由勾股定理得：，
由垂径定理得：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．
12．如图，的直径为，弦长为，点在上运动，则的最小值是____．

【答案】3
【分析】
根据“点到直线的最短距离是垂线段的长度”知当OP⊥AB时，OP的值最小．连接OA，在直角三角形OAP中由勾股定理即可求得OP的长度．
【详解】
解：当OP⊥AB时，OP的值最小，
则AP′=BP′=AB=4，
如图所示，连接OA，
在Rt△OAP′中，AP′=4，OA=5，
则根据勾股定理知OP′=3，即OP的最小值为3．

【点睛】
本题考查了勾股定理、垂径定理．掌握垂线段最短是解题的关键．
13．在中，直径，弦于，，则弦的长为___．

【答案】2
【分析】
连接，利用勾股定理求出CP，根据垂径定理即可求出答案．
【详解】
解：连接，
在中，直径，
，
∵弦于，，
，
．
故答案为：2．

【点睛】
此题考查圆的半径相等的性质，垂径定理，勾股定理，熟记垂径定理是解题的关键．
14．如图，水平放置半径为6cm的球形容器中装有溶液，容器内液面的面积为20πcm2．如图所示，是该球体的一个最大截面，则该截面⊙O上到液面的距离为2cm的点共有___个．

【答案】3
【分析】
连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于H．利用勾股定理求出OH，即可判断．
【详解】
解：连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于H．

由题意π•AH2＝20π,
∴AH2＝20,
∴OH＝，
∴弓形的高＝6﹣4＝2，
∴截面⊙O上到液面的距离为2cm的点共有3个（线段AB上方有两个，下方有一个），
故答案为：3．
【点睛】
本题考查垂径定理，几何体的表面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15．如图是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．

如图所示，在车轮上取、两点，设所在圆的圆心为，半径为．作弦的垂线，为垂足，则是的中点．其推理依据是： ．经测量：，，则 ；用含的代数式表示， ．在中，由勾股定理可列出关于的方程： ，解得．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
【答案】垂直弦的直径平分弦，45，，
【分析】
根据垂径定理，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】
如图2所示，在车轮上取、两点，设所在圆的圆心为，半径为．作弦的垂线，为垂足，则是的中点．其推理的理论依据是：垂直弦的直径平分弦；
∵，，⊥，
∴；
用含的代数式表示，
；
在中，由勾股定理可列出关于的方程，
，
解得．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
故答案为：垂直弦的直径平分弦，45，，．
【点睛】
本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
16．如图，为的直径，，，为上两动点（，不与，重合），且为定长，于，是的中点，则的最大值为___________．

【答案】5
【分析】
当CD∥AB时，EM的值最大，连接OM、CE、OC，利用垂径定理及题意证明四边形OMCE是矩形，即可得到答案．
【详解】
解：如图，当CD∥AB时，EM的值最大，
连接OM、CE、OC，
∵DM=CM，
∴OM⊥CD，
∵CD∥AB，CE⊥AB，
∴∠OMC=∠MOB=∠OEC=90°,
∴四边形OMCE是矩形，
∴EM=OC=5，
∴EM的最大值为5，
故答案为：5．

【点睛】
此题考查圆的垂径定理，矩形的判定定理及性质定理，正确掌握垂径定理及应用是解题的关键．
17．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，E、F分别是AB、CD的中点，点O从点E出发以每秒1个单位的速度沿射线EF运动t秒，以O为圆心以OA为半径为圆，当⊙O上有且只有一点到直线CD的距离为1时，t＝___．

【答案】4秒
【分析】
设⊙O与射线右边的交点为G，要使⊙O上有且只有一点到直线CD的距离为1，只需即可，设OA=OG=r，然后表示出OE、AE的长，运用勾股定理列方程求解，进一步可得出结果．
【详解】
解：设⊙O与射线右边的交点为G，
要使⊙O上有且只有一点到直线CD的距离为1，
只需即可，

设OA=OG=r，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴EF=BC=10，
∵GF=1，
∴EG=EF-GF=9，
∴OE=EG-OG=9-r，
∵E是AB的中点，
∴
在中，，
即：，
解得：，
∴，
∵点O从点E出发以每秒1个单位的速度沿射线EF运动，
∴，
故答案为：4秒．
【点睛】
本题主要考查圆与直线的位置关系，勾股定理，矩形的性质等知识点，根据题意画出图形，明确GF=1是解题的关键．
18．我国古代数学经典著作《九章算术》，中记载了一个这样的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺四寸，问径几何？”意思是：有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深DE＝1寸，锯道长AB＝14寸（1尺＝10寸）．则这根圆形木材的直径是_____寸．

【答案】50
【分析】
由题意得OE⊥AB，由垂径定理可得AD＝BD＝AB＝7寸，设半径OA＝OE＝r寸，则OD＝r﹣1，在Rt△OAD中，根据勾股定理得出方程，解方程即可解决问题．
【详解】
解：由题意可知OE⊥AB，
∵OE为⊙O半径，AB＝14寸，
∴AD＝BD＝AB＝7寸，
设半径OA＝OE＝r寸，
∵ED＝1，
∴OD＝r﹣1，
在Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+72＝r2，
解得：r＝25，
∴木材直径为2×25＝50（寸）；
故答案为：50．
【点睛】
本题考查垂径定理以及勾股定理的应用；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
19．三个边长都为4cm的正方形硬纸板，若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，下面两种不同摆放类型如图：

（1）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为_____cm；
（2）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为_____cm；
（3）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为_____cm．
【答案】
【分析】
（1）利用90°的圆周角所对的弦是直径，易知AC为圆的直径，应用勾股定理结论可得；
（2）从图中可以看出小正方形的对角线为圆的半径，直径易得；
（3）依据图形为轴对称图形，可知圆心在PG上，找出圆心，设OG＝xcm，依据勾股定理列出方程可求半径，直径可得．
【详解】
解：（1）如下图，
∵小正方形的顶点A，B，C在圆上，∠ABC＝90°，
∴AC为圆的直径．
∵AC＝（cm）．
故答案为：；

（2）如下图，小正方形的顶点O为圆心，小正方形的对角线为圆的半径，
∴圆的半径为cm．
∴圆的直径为cm．
故答案为：．

（3）如下图，设圆心为O，GH与AB交于点P．
连接OA，OB，ON．

由题意，PG垂直平分NF，OA＝OB＝ON．
∴O在PG上，AP＝PB＝AB＝2cm．
设OG＝xcm，则OP＝PG﹣OG＝4×2﹣x＝（8﹣x）cm．
在Rt△APO中，OA2＝AP2+OP2．
在Rt△NGO中，ON2＝NG2+OG2．
∴OA2＝AP2+OP2＝ON2＝NG2+OG2．
∴22+（8﹣x）2＝42+x2．
解得：x＝．
∴ON＝（cm）．
∴直径为（cm）．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了圆的综合运用，依据图形特点，正确找出圆心的位置是解题的关键．

三、解答题
20．如图，在单位长度为的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点、、．请完成如下操作：

（1）以点为原点、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
（2）仅用一把无刻度直尺，利用网格，标出圆弧所在圆的圆心，则点的坐标为______．（不写作法，保留作图痕迹）
（3）直接写出的半径______．
【答案】（1）见解析；（2）作图见解析，；（3）
【分析】
（1）以为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系即可；
（2）连接、，找出相应的格点，作出线段、的垂直平分线，交点即是圆心，根据的位置即可求出坐标；
（3）求得点坐标，根据勾股定理求得的长度，即可．
【详解】
解：（1）以为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系，如下图：


（2）连接、，找出相应的格点，作出线段、的垂直平分线，交点即是圆心，如下图：

由图形可得点坐标为
（3）连接，如下图：

由图形可得点坐标为，即
由（2）得
由勾股定理得：
即半径长为
【点睛】
此题考查了垂径定理，勾股定理以及图形与坐标，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
21．往直径为的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示．若油面宽，求油的最大深度．

【答案】200mm
【分析】
先过点O作OD⊥AB于点D，交于点F，连接OA，由垂径定理可求出AD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出DF的长．
【详解】
解：过点O作OD⊥AB于点D，交于点F，连接OA，

∵AB＝600mm，
∴AD＝=300mm，
∵直径为650mm，
∴OA＝×650＝325mm，
∴OD＝＝＝125mm，
∴DF＝OF−OD＝×650−125＝200mm．
答：油的最大深度为200mm．
【点睛】
本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
22．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，已知AE＝1cm，BE＝5cm，∠DEB＝30°，求：
（1）CD的弦心距OF的长；
（2）弦CD的长．

【答案】（1）1cm；（2）4cm．
【分析】
（1）根据AE、BE的长及AB是直径可求出OE的长，根据含30°角的直角三角形的性质求出OF的长即可；
（2）连接OD，根据勾股定理求出DF，根据垂径定理即可得答案．
【详解】
（1）∵AE＝1cm，BE＝5cm，
∴AB＝AE+EB＝6cm，
∵AB为⊙O的直径，
∴OA=AB=3cm，
∴OE＝OA﹣AE＝2cm，
∵OF⊥CD，∠DEB＝30°，
∴OF＝OE＝×2＝1cm；
（2）连接OD，
∵AB=6cm，AB为⊙O的直径，OD为⊙O的半径，
∴OD=AB=3cm，
在Rt△ODF中，DF＝＝＝2cm，
∵OF⊥CD，
∴CD＝2DF＝4cm．

【点睛】
本题考查垂径定理及含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半；垂直于弦的直径平分弦，且平分这条弦所对的两条弧；熟练掌握垂径定理是解题关键．
23．如图，点P是⊙O内一定点．
（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若⊙O的半径为13，OP=5，

①求过点P的弦的长度m范围；
②过点P的弦中，长度为整数的弦有______条．
【答案】（1）见解析；（2）①过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；②4
【分析】
（1）连接OP并延长，过点P作AB⊥OP即可；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出AB=24，即可得出答案；
②过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25的弦有2条，即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP，

则弦AB即为所求；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为直径26，与OP垂直的弦最短，
连接OA，如图2所示：

∵OP⊥AB，
∴AP=BP===12，
∴AB=2AP=24，
∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；
②∵过P点最长的弦为直径26，
最短的弦24，
长度为25的弦有两条，
∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理以及作图；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
24．如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．

【答案】（1）20米；（2）4米
【分析】
（1）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；
（2）利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可．
【详解】
解：（1）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，
在Rt△OBD中，OB2＝OD2+DB2，
∴R2＝（R﹣8）2+162，
解得R＝20；
（2）在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，
OH⊥F′E′于H，则OH＝DE′＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，
在Rt△OHF′中，HF′＝，
∵HE′＝OD＝OC﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米），
∴在离桥的一端4米处，圆弧型桥墩高4米．

【点睛】
本题主要考查了垂径定理的应用，结合勾股定理计算是解题的关键．
25．已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结．

（1）求证：；
（2）联结，当时，求证：四边形为矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）连结，由M、N分别是和的中点，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由， 可得，可证，，根据等腰三角形三线合一性质;
（2）设OG交MN于E，由，可得，可得，，可证可得，由CN∥OG，可得，由可得AM∥CN，可证是平行四边形，再由可证四边形ACNM是矩形．
【详解】
证明：（1）连结，
∵M、N分别是和的中点，
∴OM，ON为弦心距，
∴OM⊥BC，ON⊥AD，
，
在中，，
，
在Rt△OMG和Rt△ONG中，
，
，
∴，
;

（2）设OG交MN于E，
，
∴，
∴，即，
，
在△CMN和△ANM中
，
，
，
∵CN∥OG，
，
，
，
∴AM∥CN，
是平行四边形，
，
∴四边形ACNM是矩形．
【点睛】
本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定是解题关键．
26．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB＝1寸，CD＝10寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请帮助小智求出⊙O的直径．

【答案】⊙O的直径为26寸
【分析】
连接OC，在Rt△COA中，解直角三角形即可解决问题．
【详解】
解：连接OC，

∵OB⊥CD垂足为A，
∴CA＝CD＝5，
设CO＝x，则AO＝x﹣1，
在Rt△AOC中，∠CAO＝90°，
∴OA2+CA2＝OC2，
∴（x﹣1）2+52＝x2，
解得x＝13，
∴⊙O的直径为26寸．
【点睛】
本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
27．景德桥，俗称西关大桥，是我国一座著名的古代石拱桥．景德桥位于山西省东南部的晋城西门外，横跨沁水河，过去，它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，故曾又名沁阳桥．桥下水面宽度是20米，拱高是4米，若水面上升3米至处．

（1）把拱桥看作抛物线的一部分，建立如图1所示的平面直角坐标系，求水面宽度．
（2）把拱桥看作圆的一部分，则可构造如图2所示的图形，求水面宽度．
【答案】（1）10米；（2）米
【分析】
（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+c（a≠0），再根据题意求出A，D的坐标，代入抛物线的解析式求出a、c的值，再把y＝3代入即可得出x的值，进而得出EF的长；
（2）设圆的半径是r米，在Rt△OCB中，易知r2＝（r﹣4）2+102，求出r的值，在Rt△OGF中根据勾股定理求出GF的长，进而可得出EF的长．
【详解】
解:(1)设抛物线的表达式为，
是20米，
米，拱高是4米，
的坐标分别是，
把这两点的坐标代入表达式得
解得，
则抛物线的表达式是．
把代入表达式解得，
∴水面宽度米．
（2）设圆的半径是r米，在中，
，即，
解得，
，
，
∵OD⊥EF，∴GE=GF，
∴水面宽度米．
【点睛】
本题考查的是二次函数与垂径定理的应用，这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法是解题关键．