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数学九年级下册1 圆练习题
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这是一份数学九年级下册1 圆练习题，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专训3.4.1 弧、弦、圆心角
一、单选题
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．圆心角相等，所对的弦相等 B．三点确定一个圆
C．长度相等的弧是等弧 D．弦的垂直平分线必经过圆心
【答案】D
【分析】
根据圆的有关性质对每一项进行判断即可得出答案．
【详解】
解：A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；
B.不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
C.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选项错误；
D.弦的垂直平分线必经过圆心，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断．
2．下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：C．
【点睛】
考查了真假命题的判断，解题的关键是掌握圆的有关性质，难度不大．
3．如图，中，弦相交于点，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据三角形外角的性质得出的度数，然后根据圆周角定理可得．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质以及圆周角定理，熟知同弧或等弧所对的圆周角相等是解本题的关键．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
A．52° B．26° C．64° D．128°
【答案】A
【分析】
先利用直角三角形的两锐角互余得出，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到，则根据三角形内角和定理可计算出，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解即可．
【详解】
解：，，
，
，
，
，
的度数为．
故选A．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及圆心角的性质，圆心角的度数等于它所对弧的度数是解题的关键．
5．如图，是的直径，且，点，在上，，，点是线段的中点，则（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】
先根据圆心角的性质可得，继而求出，根据等腰三角形的性质可得，根据含30°角直角三角形的性质和勾股定理求解即可.
【详解】
∵，，
∴，
∴，
∵，为中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】
本题主要考查圆心角性质和含30°角的直角三角形性质以及勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握圆心角性质和含30°角的直角三角形性质以及勾股定理.
6．已知中，，则弦和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】
根据弦和弧之间关系和三角形三边关系即可求证.
【详解】
如图，取的中点，则，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴ ．
故选C.
【点睛】
本题主要考查弦和弧之间关系和三角形三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握弦和弧之间关系和三角形三边关系.
7．如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．到、的距离相等
【答案】A
【分析】
根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．
【详解】
在中，弦弦，则其所对圆心角相等，即，所对优弧和劣弧分别相等，所以有，故B项和C项结论正确，
∵，AO=DO=BO=CO
∴（SSS）
可得出点到弦，的距离相等，故D项结论正确；
而由题意不能推出，故A项结论错误．
故选：A
【点睛】
此题主要考查圆的基本性质，解题的关键是熟知圆心角、弧、弦之间的关系．
8．如图，为的直径，C，D为上的两点，且C为的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据垂径定理的推论，可得 ，又由，可求出，即可求解．
【详解】
解：∵为的直径，且C为的中点，
∴ ，
∵，
∴ ，
∵ ，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，等腰三角形的性质及直角三角形的性质，能得到是解题的关键．
9．如图，是的直径，将一块直角三角板的角的顶点与圆心O重合，角的两边分别与交于E、F两点，若点F是弧的中点，的半径是4，则弦的长为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】A
【分析】
设DE交OB于点M，根据F为弧DE中点，得出∠AOF=∠FOD=60°，OF⊥DE，可求出DE=2DM，求出∠EDO=∠DEO=30°，求出OM，即可求出DM，即可求解．
【详解】
解：如图，设DE交OB于点M，
∵点F是弧的中点，
∴∠AOF=∠DOF=60°，OF⊥DE，
∴DE=2DM，
∴∠EDO=∠DEO= （180°-60°-60°）=30°，
∵的半径是4，
∴OM= OD=2，
在 中，由勾股定理得：
，
∴DE=2DM= ．
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
10．若OA，OB为的两条半径且，连接AB，现在上找一点C，使，则的度数为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【分析】
设圆的半径是r，作直径BD，作BC关于直径BD的对称线段BE，连接EC，BE，ED，AC，再由直角三角形的性质即可解答．
【详解】
解：如图，设圆的半径是，则，，则，
∵，∴
作直径，作的弦，使，作OA⊥BC与点F,
此时，
作关于直径的对称线段，连接，，，，
直角中，可以得，
线段与线段关于直线对称，
，
垂直平分线段，
，
而．
在中，．
同理，当为时，．
故的度数为或．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
11．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计）A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF，弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，，所对的圆心角均为90°，甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法正确的是（ ）
A．甲车从F口出，乙车从G口出
B．甲车驶出立交桥时，乙车在上
C．甲乙两车同时在立交桥上的时间为10s
D．图中立交桥总长为140m
【答案】B
【分析】
结合题意函数图象可分析出在直道AB，CG以及EF上的行驶时间均为3s，在弯道BC，CD，DE上的行驶时间均为2s，从而结合速度进行逐项分析即可．
【详解】
A、分析图2可知，甲车先驶出立交桥，乙车后驶出，因此甲车从G口出，乙车从F口出，原说法错误，不符合题意；
B、根据图2甲的图象可知甲车在立交桥上由A到G共计用时5+3=8s，其中由B到C用时2s，由于甲乙的速度相同，则乙从A到D用时3+2×2=7s，从A到E用时3+3×2=9s，因此第8s时，乙车在上，原说法正确，符合题意；
C、根据B选项的分析可知，两车同时在立交桥上的时间为8s，原说法错误，不符合题意；
D、根据题意，立交桥总长为：，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
考本题考查函数图象与实际行程问题，涉及到圆心角等相关知识点，理解函数图象对应的实际意义是解题关键．
12．如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若．则的直径长为（ ）
A．15 B．13 C．10 D．16
【答案】A
【分析】
连接，首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接．
，
，，
点是弧的中点，
，
，
，
，设，
在中，则有，
解得，
，
故答案是：A．
【点睛】
本题考查勾股定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
13．如图，半径为5的⊙A中，弦所对的圆心角分别是，．已知，，则弦的弦心距等于（ ）
A． B． C．4 D．3
【答案】D
【分析】
作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，易得AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=3.
【详解】
解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴，
∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
而CA=AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴AH=BF=3，
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系．也考查了垂径定理和三角形中位线性质，解题的关键是熟练运用相应的定理．
14．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝25°，下列结论中正确的有（ ）
①CE＝OE；②∠C＝40°；③＝；④AD＝2OE
A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】
根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可．
【详解】
解：∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，
∴CE=DE，，，
∴∠BOC=2∠A=40°，，
即，故③正确；
∵∠OEC=90°，∠BOC=40°，
∴∠C=50°，故②正确；
∵∠C≠∠BOC，
∴CE≠OE，故①错误；
作OP∥CD，交AD于P，
∵AB⊥CD，
∴AE＜AD，∠AOP=90°，
∴OA＜PA，OE＜PD，
∴PA+PD＞OA+OE
∵OE＜OA，
∴AD＞2OE，故④错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握性质定理是解题的关键．
15．如图，点A是半圆上一个三等分点，点B是弧的中点，点P是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】C
【分析】
作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则PA+PB最小，连接OA′,AA′.，根据点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，可得∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，由点B是的中点，可得∠BON=30 °，可求∠A′OB=90°，在Rt△中根据勾股定理A′B=即可．
【详解】
解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则PA+PB最小，
连接OA′,AA′.
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，
∵点B是的中点，
∴∠BON=30 °，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，
又∵OA=OA′=1，
在Rt△中，
∴A′B=，
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=．
故选：C．
【点睛】
本题考查弧与圆心角的关系，勾股定理，轴对称性质，掌握弧与圆心角的关系，勾股定理，轴对称性质作对称点，利用两点之间线段最短求最值是解题关键．
16．在一次探究活动中，方方完成了如下的尺规画图过程：第一步：在半径为1的上任取一点A，连续以1为半径在上截取；第二步：分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交于F．画图后，他得出两个结论：①的长为；②的面积为，则（ ）
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
【答案】A
【分析】
连OA、OB、AB、AD、DF、CD、AE、OE，过A作AG⊥CF于G点，由AB=OA=OB=1，得到∠AOB=60°，弧AB的度数=60°，而AB=BC=CD，得弧ABD的度数=3×60°=180°，所以AD为⊙O的直径，∠CFA=60°，再由AE=AC，AF=OE可得AF=；由AN=AF，则AD平分NF，EF过O点，弧FD=弧FA，得到△FAD为等腰直角三角形，由∠CFA=60°可得在Rt△AGF中，GF=AF=，AG=GF=，再由△FAD为等腰直角三角形可得在Rt△AGC中，CG=AG=，最后利用三角形的面积公式即可求出△ACF面积．
【详解】
解：连OA、OB、AB、AD、DF、CD、AE、OE，过A作AG⊥CF于G点，连OE交⊙O于N，连AN，如图，
∵AB=OA=OB=1，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴弧AB的度数=60°，
又∵AB=BC=CD=1，
∴弧AB=弧BC=弧CD，
∴弧ABD的度数=3×60°=180°，
∴AD为⊙O的直径，∠CFA=60°，∠ACD=90°，
∴AE=AC=，
∴AF=OE=，故①正确，
又AN=，
∴AN=AF，
∴AD平分NF，
∴EF过O点，
∴弧FD=弧FA，
∴△FAD为等腰直角三角形，
∴∠FCA=∠FDA=45°，
∵∠CFA=60°，
∴在Rt△AGF中，GF=AF=，AG=GF=，在Rt△AGC中，CG=AG=，
∴CF•AG=×（+）×=，故②正确．
故选A．
【点睛】
本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了等腰直角三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系以及三角形的面积公式．
17．如图，等腰中，顶角，用尺规按①到④的步骤操作：
①以为圆心，为半径画圆；
②在上任取一点（不与点，重合），连接；
③作的垂直平分线与交于，；
④作的垂直平分线与交于，．
结论Ⅰ：顺次连接，，，四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：上只有唯一的点，使得．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】D
【分析】
Ⅰ、根据“弦的垂直平分线经过圆心”，可证四边形MENF的形状；
Ⅱ、在确定点P的过程中，看∠MOF=40°是否唯一即可．
【详解】
解：Ⅰ、如图所示．
∵MN是AB的垂直平分线，EF是AP的垂直平分线，
∴MN和EF都经过圆心O，线段MN和EF是⊙O的直径．
∴OM=ON，OE=OF．
∴四边形MENF是平行四边形．
∵线段MN是⊙O的直径，
∴∠MEN=90°．
∴平行四边形MENF是矩形．
∴结论Ⅰ正确；
Ⅱ、如图2，当点P在直线MN左侧且AP=AB时，
∵AP=AB，
∴．
∵MN⊥AB，EF⊥AP，
∴
∴
∴
∴．
∴．
∵扇形OFM与扇形OAB的半径、圆心角度数都分别相等，
∴．
如图3，当点P在直线MN右侧且BP=AB时，
同理可证：．
∴结论Ⅱ错误．
故选：D
【点睛】
本题考查了圆的有关性质、矩形的判定、扇形面积等知识点，熟知圆的有关性质、矩形的判定方法及扇形面积公式是解题的关键．
二、填空题
18．如图，若，那么与__________相等（填“一定”、“一定不”、“不一定”）．
【答案】一定
【分析】
根据圆心角、弧、弦关系定理进行解答即可．
【详解】
解：∵∠1=∠2，
∴AB=AC,
∴=，
故答案为：一定．
【点睛】
本题考查的是圆心角，熟知在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等是解答此题的关键．
19．如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论：
①，
②，
③四边形MCDN是正方形，
④MN＝AB，
所有正确结论的序号是______．
【答案】①②④
【分析】
连接OM、ON，如图，利用OC＝OD＝OM＝ON，则∠OMC＝∠OND＝30°，则利用∠COM＝∠DON＝∠MON＝60°可判断；通过证明MN＝OM和四边形CDNM为矩形可对①③④矩形判断．
【详解】
解：连接OM、ON，如图，
∵MC⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OCM＝∠ODN＝90°，
∵C、D分别是OA、OB的中点，OA＝OB，
∴OC＝OD＝OM＝ON，
∴∠OMC＝∠OND＝30°，
∴∠COM＝∠DON＝60°，
∴∠MON＝60°，
∴，所以②正确；
∴△OMN为等边三角形，
∴MN＝CD，∠OMN＝60°
∴MN∥CD，
∴四边形CDNM为矩形，
∴MC＝ND，所以①正确；③错误；
∵MN＝CD＝OA+OB＝AB，
∴④正确．
故答案为：①②④
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
三、解答题
20．如图，点，，，，，分别在上，，，连接，．与全等吗？为什么？
【答案】与全等，见解析
【分析】
由AC＝BD，CE＝DF，根据弦与弧的关系，可得，，则可证得，继而可得AE＝BF，然后利用SSS证得△ACE与△BDF全等．
【详解】
理由：∵，，
∴，，
∴，即，
∴，
在和中，，
∴．
【点睛】
此题考查了弦与弧的关系以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
21．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接．若，求的度数．
【答案】65°．
【分析】
连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．
【详解】
解：如图，连接AD．
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，
∴∠ACD＝70°．
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°−70°−70°＝40°，
∴∠DAE＝90°−40°＝50°．
又∵AD＝AE，
∴∠DEA＝∠ADE＝（180°−50°）＝65°．
【点睛】
本题直角三角形两锐角互余，圆的半径相等，等腰三角形的性质，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．如图，中，P是的中点，C、D是、的中点，过C、D的直线交于E、F．求证：．
【答案】证明见详解
【分析】
连结OC，OD，OP交EF于G，由P是的中点，可得，根据弧等相等可得AP=BP，由C、D是、的中点，根据垂径定理可得OC⊥PA，OD⊥PB，CP=，DP=，可求∠PCO=∠PDO=90°，CP=DP，由勾股定理OC==OD，根据线段垂直平分线判定可得OP是CD的垂直平分线，可得CG=DG，根据垂径定理可得EG=FG即可．
【详解】
证明：连结OC，OD，OP交EF于G，
∵P是的中点，
∴，
∴AP=BP，
∵C、D是、的中点，
∴OC⊥PA，OD⊥PB，CP=，DP=，
∴∠PCO=∠PDO=90°，CP=DP，
∴OC==OD，
∴OP是CD的垂直平分线，
∴CG=DG，
∵CD在EF上，EF是弦，OP为半径，OP⊥EF，
∴EG=FG，
∴EC=EG-CG=GF-GD=DF．
∴EC= DF．
【点睛】
本题考查弧了垂径定理，等腰三角形判定与性质，线段垂直平分线判定与性质，线段和差，掌握垂径定理，等腰三角形判定与性质，线段垂直平分线判定与性质，线段和差是解题关键．
23．如图，在中，，是两条弦，，，垂足分别为，．
（1）如果，那么与相等吗？说明理由；
（2）如果，那么与相等吗？与相等吗？与呢？
【答案】（1）相等，见解析；（2），，，见解析
【分析】
（1）求出∠OEB＝∠OFD＝90°，∠EOB＝∠FOD，证△EOB≌△FOD，即可推出OE＝OF．
（2）证，推出，根据垂径定理求出AB＝CD，根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．
【详解】
解：（1）解：OE＝OF，
理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA＝OB，OC＝OD，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∠EOB＝∠AOB，∠FOD＝∠COD，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠EOB＝∠FOD，
∵在△EOB和△FOD中，
∴△EOB≌△FOD（AAS），
∴OE＝OF．；
（2），，．
理由：∵，，
∴，
又∵，，∴，
∴，
∵，，，，
∴，，
∴，∴，．
【点睛】
本题考查了全等三角形性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
24．如图所示，以O为圆心的两个同心圆，小圆半径为1，大圆半径为，用6条直径将两个圆12等分，点A在大圆等分点上，点B在小圆等分点上，且．
（1）将绕点O顺时针旋转得，请在图甲中画出．
（2）将绕点O顺时针旋转得，使边第一次经过点B，请在图乙中画出．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由于圆被12等分，可得每小格为30°，则120°为4小格，据此画图即可；
（2）计算出AB=2，根据经过点B，可知点B为A2B2中点，从而得到旋转角，画出图形即可．
【详解】
解：（1）如图所示，即为所求．
（2）AB=，
如图所示，即为所求．
【点睛】
本题考查了旋转作图，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质，根据题意确定旋转角．
25．如图，AB为⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且 ．
（1）求证：AE＝BF；
（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝12，MN＝3，求OM的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）连接OA、OB，证明△AOE≌△BOF（ASA），即可得出结论；
（2）连接OA，由垂径定理得出AM＝AB＝6，设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】
（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE＝BF．
（2）解：连接OA，如图2所示：
∵OM⊥AB，
∴AM＝AB＝6，
设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，
在Rt△AOM中，由勾股定理得：62+x2＝(x+3)2，
解得：x＝，
∴OM＝．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
26．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，M是的中点，N是的中点，弦MN分别交AB、AC于点P、D．
（1）求证：AP＝AD；
（2）连接PO，当AP＝3，OP＝，⊙O的半径为5，求MP的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接AM，AN．只要证明∠APD＝∠ADP即可．
（2）连AO，OM交AB于E，设PE＝x，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】
（1）证明：如图，连AM，AN，
∵，，
∴∠BAM＝∠ANM，∠AMN＝∠CAN，
∵∠APD＝∠AMN+∠BAM，∠ADP＝∠CAN+∠ANM，
∴∠APD＝∠ADP，
∴AP＝AD．
（2 ）解：如图，连AO，OM交AB于E，
设PE＝x，
∵，
∴OM⊥AB，
∴∠AEO＝90°，
∵OE2＝OA2﹣AE2＝OP2﹣PE2
∴52﹣(x+3)2＝()2﹣x2，
∴x＝1，
∴AE＝4，OE＝3，ME＝2，
∴MP＝＝＝．
【点睛】
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
27．已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．
（1）如图1，如果，求弦的长；
（2）如图2，如果E为弦的中点，求
【答案】（1）；（2）
【分析】
(1) 连接OC，由垂径定理、等弦得到等弧，根据同圆中弧与圆心角的关系可求出∠，通过解直角三角形求出，利用垂径定理求出；
(2) 连接BC，根据AB为直径，得到，再得到，证明，求得是的中位线，设，则根据，求出的值，由勾股定理求出的值，再求出的值，即可求解．
【详解】
如图 ，连接OC，
又，
即，
，
则；
如图2，连接，
为直径，
，
，
，
又
是的中位线，
设，
则
解得：，
则
【点睛】
本题考查了垂径定理，弧，弦，圆心角定理，以及勾股定理，还考查了全等三角形的判定和性质，中位线定理，熟悉并灵活运用以上性质定理是解题的关键．
28．阿基米德（，公元前287年~公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯（973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，前苏联在1964年根据译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图①，已知和是的两条弦（即折线是的一条折弦），是的中点．那么从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．
下面是运用“截长法”证明的部分证明思路：
证明：如图②，在上截取，连接，……
……
（定理证明）
按照上面的思路，写出剩余部分的证明过程．
（问题解决）
如图③，等边内接于为上一点，．
求的周长．
【答案】【定理证明】：见解析；【问题解决】：的周长为
【分析】
（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案；
（2）首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案．
【详解】
解：（1）如图②，连接．
可得．
由是的中点，可求得．
，
．
．
，
．
．
即．
（2）如图③，作．
由，可得．
由阿基米德折弦定理，可得．
由于，
所以，在中，可求得．
故的周长为．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．
专训3.4.1 弧、弦、圆心角
一、单选题
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．圆心角相等，所对的弦相等 B．三点确定一个圆
C．长度相等的弧是等弧 D．弦的垂直平分线必经过圆心
【答案】D
【分析】
根据圆的有关性质对每一项进行判断即可得出答案．
【详解】
解：A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；
B.不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
C.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选项错误；
D.弦的垂直平分线必经过圆心，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断．
2．下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：C．
【点睛】
考查了真假命题的判断，解题的关键是掌握圆的有关性质，难度不大．
3．如图，中，弦相交于点，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据三角形外角的性质得出的度数，然后根据圆周角定理可得．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质以及圆周角定理，熟知同弧或等弧所对的圆周角相等是解本题的关键．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
A．52° B．26° C．64° D．128°
【答案】A
【分析】
先利用直角三角形的两锐角互余得出，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到，则根据三角形内角和定理可计算出，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解即可．
【详解】
解：，，
，
，
，
，
的度数为．
故选A．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及圆心角的性质，圆心角的度数等于它所对弧的度数是解题的关键．
5．如图，是的直径，且，点，在上，，，点是线段的中点，则（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】
先根据圆心角的性质可得，继而求出，根据等腰三角形的性质可得，根据含30°角直角三角形的性质和勾股定理求解即可.
【详解】
∵，，
∴，
∴，
∵，为中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】
本题主要考查圆心角性质和含30°角的直角三角形性质以及勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握圆心角性质和含30°角的直角三角形性质以及勾股定理.
6．已知中，，则弦和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】
根据弦和弧之间关系和三角形三边关系即可求证.
【详解】
如图，取的中点，则，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴ ．
故选C.
【点睛】
本题主要考查弦和弧之间关系和三角形三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握弦和弧之间关系和三角形三边关系.
7．如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．到、的距离相等
【答案】A
【分析】
根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．
【详解】
在中，弦弦，则其所对圆心角相等，即，所对优弧和劣弧分别相等，所以有，故B项和C项结论正确，
∵，AO=DO=BO=CO
∴（SSS）
可得出点到弦，的距离相等，故D项结论正确；
而由题意不能推出，故A项结论错误．
故选：A
【点睛】
此题主要考查圆的基本性质，解题的关键是熟知圆心角、弧、弦之间的关系．
8．如图，为的直径，C，D为上的两点，且C为的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据垂径定理的推论，可得 ，又由，可求出，即可求解．
【详解】
解：∵为的直径，且C为的中点，
∴ ，
∵，
∴ ，
∵ ，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，等腰三角形的性质及直角三角形的性质，能得到是解题的关键．
9．如图，是的直径，将一块直角三角板的角的顶点与圆心O重合，角的两边分别与交于E、F两点，若点F是弧的中点，的半径是4，则弦的长为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】A
【分析】
设DE交OB于点M，根据F为弧DE中点，得出∠AOF=∠FOD=60°，OF⊥DE，可求出DE=2DM，求出∠EDO=∠DEO=30°，求出OM，即可求出DM，即可求解．
【详解】
解：如图，设DE交OB于点M，
∵点F是弧的中点，
∴∠AOF=∠DOF=60°，OF⊥DE，
∴DE=2DM，
∴∠EDO=∠DEO= （180°-60°-60°）=30°，
∵的半径是4，
∴OM= OD=2，
在 中，由勾股定理得：
，
∴DE=2DM= ．
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
10．若OA，OB为的两条半径且，连接AB，现在上找一点C，使，则的度数为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【分析】
设圆的半径是r，作直径BD，作BC关于直径BD的对称线段BE，连接EC，BE，ED，AC，再由直角三角形的性质即可解答．
【详解】
解：如图，设圆的半径是，则，，则，
∵，∴
作直径，作的弦，使，作OA⊥BC与点F,
此时，
作关于直径的对称线段，连接，，，，
直角中，可以得，
线段与线段关于直线对称，
，
垂直平分线段，
，
而．
在中，．
同理，当为时，．
故的度数为或．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
11．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计）A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF，弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，，所对的圆心角均为90°，甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法正确的是（ ）
A．甲车从F口出，乙车从G口出
B．甲车驶出立交桥时，乙车在上
C．甲乙两车同时在立交桥上的时间为10s
D．图中立交桥总长为140m
【答案】B
【分析】
结合题意函数图象可分析出在直道AB，CG以及EF上的行驶时间均为3s，在弯道BC，CD，DE上的行驶时间均为2s，从而结合速度进行逐项分析即可．
【详解】
A、分析图2可知，甲车先驶出立交桥，乙车后驶出，因此甲车从G口出，乙车从F口出，原说法错误，不符合题意；
B、根据图2甲的图象可知甲车在立交桥上由A到G共计用时5+3=8s，其中由B到C用时2s，由于甲乙的速度相同，则乙从A到D用时3+2×2=7s，从A到E用时3+3×2=9s，因此第8s时，乙车在上，原说法正确，符合题意；
C、根据B选项的分析可知，两车同时在立交桥上的时间为8s，原说法错误，不符合题意；
D、根据题意，立交桥总长为：，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
考本题考查函数图象与实际行程问题，涉及到圆心角等相关知识点，理解函数图象对应的实际意义是解题关键．
12．如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若．则的直径长为（ ）
A．15 B．13 C．10 D．16
【答案】A
【分析】
连接，首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接．
，
，，
点是弧的中点，
，
，
，
，设，
在中，则有，
解得，
，
故答案是：A．
【点睛】
本题考查勾股定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
13．如图，半径为5的⊙A中，弦所对的圆心角分别是，．已知，，则弦的弦心距等于（ ）
A． B． C．4 D．3
【答案】D
【分析】
作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，易得AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=3.
【详解】
解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴，
∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
而CA=AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴AH=BF=3，
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系．也考查了垂径定理和三角形中位线性质，解题的关键是熟练运用相应的定理．
14．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝25°，下列结论中正确的有（ ）
①CE＝OE；②∠C＝40°；③＝；④AD＝2OE
A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】
根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可．
【详解】
解：∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，
∴CE=DE，，，
∴∠BOC=2∠A=40°，，
即，故③正确；
∵∠OEC=90°，∠BOC=40°，
∴∠C=50°，故②正确；
∵∠C≠∠BOC，
∴CE≠OE，故①错误；
作OP∥CD，交AD于P，
∵AB⊥CD，
∴AE＜AD，∠AOP=90°，
∴OA＜PA，OE＜PD，
∴PA+PD＞OA+OE
∵OE＜OA，
∴AD＞2OE，故④错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握性质定理是解题的关键．
15．如图，点A是半圆上一个三等分点，点B是弧的中点，点P是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】C
【分析】
作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则PA+PB最小，连接OA′,AA′.，根据点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，可得∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，由点B是的中点，可得∠BON=30 °，可求∠A′OB=90°，在Rt△中根据勾股定理A′B=即可．
【详解】
解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则PA+PB最小，
连接OA′,AA′.
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，
∵点B是的中点，
∴∠BON=30 °，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，
又∵OA=OA′=1，
在Rt△中，
∴A′B=，
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=．
故选：C．
【点睛】
本题考查弧与圆心角的关系，勾股定理，轴对称性质，掌握弧与圆心角的关系，勾股定理，轴对称性质作对称点，利用两点之间线段最短求最值是解题关键．
16．在一次探究活动中，方方完成了如下的尺规画图过程：第一步：在半径为1的上任取一点A，连续以1为半径在上截取；第二步：分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交于F．画图后，他得出两个结论：①的长为；②的面积为，则（ ）
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
【答案】A
【分析】
连OA、OB、AB、AD、DF、CD、AE、OE，过A作AG⊥CF于G点，由AB=OA=OB=1，得到∠AOB=60°，弧AB的度数=60°，而AB=BC=CD，得弧ABD的度数=3×60°=180°，所以AD为⊙O的直径，∠CFA=60°，再由AE=AC，AF=OE可得AF=；由AN=AF，则AD平分NF，EF过O点，弧FD=弧FA，得到△FAD为等腰直角三角形，由∠CFA=60°可得在Rt△AGF中，GF=AF=，AG=GF=，再由△FAD为等腰直角三角形可得在Rt△AGC中，CG=AG=，最后利用三角形的面积公式即可求出△ACF面积．
【详解】
解：连OA、OB、AB、AD、DF、CD、AE、OE，过A作AG⊥CF于G点，连OE交⊙O于N，连AN，如图，
∵AB=OA=OB=1，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴弧AB的度数=60°，
又∵AB=BC=CD=1，
∴弧AB=弧BC=弧CD，
∴弧ABD的度数=3×60°=180°，
∴AD为⊙O的直径，∠CFA=60°，∠ACD=90°，
∴AE=AC=，
∴AF=OE=，故①正确，
又AN=，
∴AN=AF，
∴AD平分NF，
∴EF过O点，
∴弧FD=弧FA，
∴△FAD为等腰直角三角形，
∴∠FCA=∠FDA=45°，
∵∠CFA=60°，
∴在Rt△AGF中，GF=AF=，AG=GF=，在Rt△AGC中，CG=AG=，
∴CF•AG=×（+）×=，故②正确．
故选A．
【点睛】
本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了等腰直角三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系以及三角形的面积公式．
17．如图，等腰中，顶角，用尺规按①到④的步骤操作：
①以为圆心，为半径画圆；
②在上任取一点（不与点，重合），连接；
③作的垂直平分线与交于，；
④作的垂直平分线与交于，．
结论Ⅰ：顺次连接，，，四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：上只有唯一的点，使得．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】D
【分析】
Ⅰ、根据“弦的垂直平分线经过圆心”，可证四边形MENF的形状；
Ⅱ、在确定点P的过程中，看∠MOF=40°是否唯一即可．
【详解】
解：Ⅰ、如图所示．
∵MN是AB的垂直平分线，EF是AP的垂直平分线，
∴MN和EF都经过圆心O，线段MN和EF是⊙O的直径．
∴OM=ON，OE=OF．
∴四边形MENF是平行四边形．
∵线段MN是⊙O的直径，
∴∠MEN=90°．
∴平行四边形MENF是矩形．
∴结论Ⅰ正确；
Ⅱ、如图2，当点P在直线MN左侧且AP=AB时，
∵AP=AB，
∴．
∵MN⊥AB，EF⊥AP，
∴
∴
∴
∴．
∴．
∵扇形OFM与扇形OAB的半径、圆心角度数都分别相等，
∴．
如图3，当点P在直线MN右侧且BP=AB时，
同理可证：．
∴结论Ⅱ错误．
故选：D
【点睛】
本题考查了圆的有关性质、矩形的判定、扇形面积等知识点，熟知圆的有关性质、矩形的判定方法及扇形面积公式是解题的关键．
二、填空题
18．如图，若，那么与__________相等（填“一定”、“一定不”、“不一定”）．
【答案】一定
【分析】
根据圆心角、弧、弦关系定理进行解答即可．
【详解】
解：∵∠1=∠2，
∴AB=AC,
∴=，
故答案为：一定．
【点睛】
本题考查的是圆心角，熟知在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等是解答此题的关键．
19．如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论：
①，
②，
③四边形MCDN是正方形，
④MN＝AB，
所有正确结论的序号是______．
【答案】①②④
【分析】
连接OM、ON，如图，利用OC＝OD＝OM＝ON，则∠OMC＝∠OND＝30°，则利用∠COM＝∠DON＝∠MON＝60°可判断；通过证明MN＝OM和四边形CDNM为矩形可对①③④矩形判断．
【详解】
解：连接OM、ON，如图，
∵MC⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OCM＝∠ODN＝90°，
∵C、D分别是OA、OB的中点，OA＝OB，
∴OC＝OD＝OM＝ON，
∴∠OMC＝∠OND＝30°，
∴∠COM＝∠DON＝60°，
∴∠MON＝60°，
∴，所以②正确；
∴△OMN为等边三角形，
∴MN＝CD，∠OMN＝60°
∴MN∥CD，
∴四边形CDNM为矩形，
∴MC＝ND，所以①正确；③错误；
∵MN＝CD＝OA+OB＝AB，
∴④正确．
故答案为：①②④
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
三、解答题
20．如图，点，，，，，分别在上，，，连接，．与全等吗？为什么？
【答案】与全等，见解析
【分析】
由AC＝BD，CE＝DF，根据弦与弧的关系，可得，，则可证得，继而可得AE＝BF，然后利用SSS证得△ACE与△BDF全等．
【详解】
理由：∵，，
∴，，
∴，即，
∴，
在和中，，
∴．
【点睛】
此题考查了弦与弧的关系以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
21．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接．若，求的度数．
【答案】65°．
【分析】
连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．
【详解】
解：如图，连接AD．
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，
∴∠ACD＝70°．
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°−70°−70°＝40°，
∴∠DAE＝90°−40°＝50°．
又∵AD＝AE，
∴∠DEA＝∠ADE＝（180°−50°）＝65°．
【点睛】
本题直角三角形两锐角互余，圆的半径相等，等腰三角形的性质，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．如图，中，P是的中点，C、D是、的中点，过C、D的直线交于E、F．求证：．
【答案】证明见详解
【分析】
连结OC，OD，OP交EF于G，由P是的中点，可得，根据弧等相等可得AP=BP，由C、D是、的中点，根据垂径定理可得OC⊥PA，OD⊥PB，CP=，DP=，可求∠PCO=∠PDO=90°，CP=DP，由勾股定理OC==OD，根据线段垂直平分线判定可得OP是CD的垂直平分线，可得CG=DG，根据垂径定理可得EG=FG即可．
【详解】
证明：连结OC，OD，OP交EF于G，
∵P是的中点，
∴，
∴AP=BP，
∵C、D是、的中点，
∴OC⊥PA，OD⊥PB，CP=，DP=，
∴∠PCO=∠PDO=90°，CP=DP，
∴OC==OD，
∴OP是CD的垂直平分线，
∴CG=DG，
∵CD在EF上，EF是弦，OP为半径，OP⊥EF，
∴EG=FG，
∴EC=EG-CG=GF-GD=DF．
∴EC= DF．
【点睛】
本题考查弧了垂径定理，等腰三角形判定与性质，线段垂直平分线判定与性质，线段和差，掌握垂径定理，等腰三角形判定与性质，线段垂直平分线判定与性质，线段和差是解题关键．
23．如图，在中，，是两条弦，，，垂足分别为，．
（1）如果，那么与相等吗？说明理由；
（2）如果，那么与相等吗？与相等吗？与呢？
【答案】（1）相等，见解析；（2），，，见解析
【分析】
（1）求出∠OEB＝∠OFD＝90°，∠EOB＝∠FOD，证△EOB≌△FOD，即可推出OE＝OF．
（2）证，推出，根据垂径定理求出AB＝CD，根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．
【详解】
解：（1）解：OE＝OF，
理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA＝OB，OC＝OD，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∠EOB＝∠AOB，∠FOD＝∠COD，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠EOB＝∠FOD，
∵在△EOB和△FOD中，
∴△EOB≌△FOD（AAS），
∴OE＝OF．；
（2），，．
理由：∵，，
∴，
又∵，，∴，
∴，
∵，，，，
∴，，
∴，∴，．
【点睛】
本题考查了全等三角形性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
24．如图所示，以O为圆心的两个同心圆，小圆半径为1，大圆半径为，用6条直径将两个圆12等分，点A在大圆等分点上，点B在小圆等分点上，且．
（1）将绕点O顺时针旋转得，请在图甲中画出．
（2）将绕点O顺时针旋转得，使边第一次经过点B，请在图乙中画出．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由于圆被12等分，可得每小格为30°，则120°为4小格，据此画图即可；
（2）计算出AB=2，根据经过点B，可知点B为A2B2中点，从而得到旋转角，画出图形即可．
【详解】
解：（1）如图所示，即为所求．
（2）AB=，
如图所示，即为所求．
【点睛】
本题考查了旋转作图，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质，根据题意确定旋转角．
25．如图，AB为⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且 ．
（1）求证：AE＝BF；
（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝12，MN＝3，求OM的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）连接OA、OB，证明△AOE≌△BOF（ASA），即可得出结论；
（2）连接OA，由垂径定理得出AM＝AB＝6，设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】
（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE＝BF．
（2）解：连接OA，如图2所示：
∵OM⊥AB，
∴AM＝AB＝6，
设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，
在Rt△AOM中，由勾股定理得：62+x2＝(x+3)2，
解得：x＝，
∴OM＝．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
26．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，M是的中点，N是的中点，弦MN分别交AB、AC于点P、D．
（1）求证：AP＝AD；
（2）连接PO，当AP＝3，OP＝，⊙O的半径为5，求MP的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接AM，AN．只要证明∠APD＝∠ADP即可．
（2）连AO，OM交AB于E，设PE＝x，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】
（1）证明：如图，连AM，AN，
∵，，
∴∠BAM＝∠ANM，∠AMN＝∠CAN，
∵∠APD＝∠AMN+∠BAM，∠ADP＝∠CAN+∠ANM，
∴∠APD＝∠ADP，
∴AP＝AD．
（2 ）解：如图，连AO，OM交AB于E，
设PE＝x，
∵，
∴OM⊥AB，
∴∠AEO＝90°，
∵OE2＝OA2﹣AE2＝OP2﹣PE2
∴52﹣(x+3)2＝()2﹣x2，
∴x＝1，
∴AE＝4，OE＝3，ME＝2，
∴MP＝＝＝．
【点睛】
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
27．已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．
（1）如图1，如果，求弦的长；
（2）如图2，如果E为弦的中点，求
【答案】（1）；（2）
【分析】
(1) 连接OC，由垂径定理、等弦得到等弧，根据同圆中弧与圆心角的关系可求出∠，通过解直角三角形求出，利用垂径定理求出；
(2) 连接BC，根据AB为直径，得到，再得到，证明，求得是的中位线，设，则根据，求出的值，由勾股定理求出的值，再求出的值，即可求解．
【详解】
如图 ，连接OC，
又，
即，
，
则；
如图2，连接，
为直径，
，
，
，
又
是的中位线，
设，
则
解得：，
则
【点睛】
本题考查了垂径定理，弧，弦，圆心角定理，以及勾股定理，还考查了全等三角形的判定和性质，中位线定理，熟悉并灵活运用以上性质定理是解题的关键．
28．阿基米德（，公元前287年~公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯（973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，前苏联在1964年根据译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图①，已知和是的两条弦（即折线是的一条折弦），是的中点．那么从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．
下面是运用“截长法”证明的部分证明思路：
证明：如图②，在上截取，连接，……
……
（定理证明）
按照上面的思路，写出剩余部分的证明过程．
（问题解决）
如图③，等边内接于为上一点，．
求的周长．
【答案】【定理证明】：见解析；【问题解决】：的周长为
【分析】
（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案；
（2）首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案．
【详解】
解：（1）如图②，连接．
可得．
由是的中点，可求得．
，
．
．
，
．
．
即．
（2）如图③，作．
由，可得．
由阿基米德折弦定理，可得．
由于，
所以，在中，可求得．
故的周长为．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．
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