初中数学北师大版九年级下册1 圆课时练习

这是一份初中数学北师大版九年级下册1 圆课时练习，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专训3.1-2 圆的基本性质+最值问题
一、单选题
1．（2021·全国九年级课时练习）有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是（ ）
A．1 B．4 C．10 D．11
【答案】D
【分析】
根据圆的半径为5，可得到圆的最大弦长为10，即可求解．
【详解】
∵半径为5，
∴直径为10，
∴最长弦长为10，
则不可能是11．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了圆的基本性质，理解圆的直径是圆的最长的弦是解题的关键．
2．（2021·全国九年级课时练习）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
根据等弧的定义、弦的定义、弧的定义、分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；
（2）直径是圆中最长的弦，故（2）错误，（4）正确；
（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；
正确的只有一个，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆的有关定义，能够了解圆的有关知识是解答本题的关键，难度不大．
3．（2021·全国九年级课时练习）下列说法：①一个圆上的各点都在这个圆的圆周上；②以圆心为端点的线段是半径；③同一圆上的点到圆心的距离相等；④半径确定了，圆就确定了其中正确的是（ ）
A．①② B．①③④ C．①③ D．②④
【答案】C
【分析】
根据圆的定义，半径，确定一个圆的基本要素进行判定即可．
【详解】
圆周上的各点是组成圆的要素，故①正确；
以圆心为端点，另一个端点在圆上的线段是圆的半径，故②错误；
同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故③正确；
圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故④错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆的定义，半径的概念以及确定一个圆的基本要素，熟悉基本概念是解决本题的关键．
4．（2021·广西百色·）下列四个命题：①直径是圆的对称轴；②若两个相似四边形的相似比是1：3，则它们的周长比是1：3，面积比是1：6；③同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形．其中真命题有（ ）
A．①③ B．①④ C．③④ D．②③④
【答案】C
【分析】
根据有关性质，对命题逐个判断即可．
【详解】
解：①直径是圆的对称轴，直径为线段，对称轴为直线，应该是直径所在的直线是圆的对称轴，为假命题；
②若两个相似四边形的相似比是1：3，面积比是1：9，而不是1：6，为假命题；
③根据平行和垂直的有关性质，可以判定为真命题；
④根据正方形的判定方法，可以判定为真命题；
故答案选C．
【点睛】
此题考查了命题的判定，熟练掌握命题有关内容的基础知识是解题的关键．
5．（2021·河北桥东·九年级）下列由实线组成的图形中，为半圆的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】
根据半圆的定义即可判断．
【详解】
半圆是直径所对的弧，但是不含直径，
故选B．
【点睛】
此题主要考查圆的基本性质，解题的根据熟知半圆的定义．
6．（2021·浙江）如图，在中，，，，以为圆心，为半径画弧交于点，则的长为（ ）

A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】
如图（见解析），过点作于点，利用勾股定理求得，再由等面积法求得，结合已知条件可知，继而勾股定理求得，最后根据即可求得．
【详解】
如图，过点作于点，

，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了圆的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
7．（2020·浙江九年级期末）如图，为的直径，为延长线上的一点，在上（不与点，点重合），连接交于点，且，设，，则和满足的关系式是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
连接OC，OD，根据外角的性质和等边对等角可逐步判定3α+2β=180°．
【详解】
解：如图，连接OC，OD．

∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB=β，
∴∠POD=∠B+∠ODB=2β，
∵CP=CO=OD，
∴∠P=∠COP=α，∠OCD=∠ODC，
∵∠OCD=∠P+∠COP，
∴∠ODC=2α，
∵∠P+∠POD+∠ODP=180°，
∴3α+2β=180 ，
故选D．
【点睛】
本题考查了圆的性质，等边对等角，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
8．（2021·北京）圆形的井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这是利用了圆特征中的（ ）
A．圆是曲线图形
B．同一圆中所有直径都相等
C．圆有无数多条对称轴
D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小
【答案】B
【分析】
根据同圆的直径都相等即可解答．
【详解】
解：圆形的井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这是利用了同一圆中所有直径都相等．
故选：B．
【点睛】
本题考查圆的基本性质，掌握同圆的直径都相等是解答的关键．
9．（2021·全国九年级专题练习）已知的半径是6cm，则中最长的弦长是（ ）
A．6cm B．12cm C．16cm D．20cm
【答案】B
【分析】
根据最长的弦是直径进行求解即可．
【详解】
解：∵在圆中，最长的弦是直径，且的半径是6cm，
∴中最长的弦长=6×2=12cm，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了圆的有关概念，熟练掌握相关概念是解答此题的关键．
10．（2021·全国）若所在平面内一点P到上的点的最大距离为8，最小距离是2，则此圆的半径是（ ）
A．5 B．3 C．5或3 D．10或6
【答案】C
【分析】
由于点与的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】
解：设的半径为，
当点在圆外时，；
当点在内时，．
综上可知此圆的半径为3或5．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是点与圆的位置关系，对题目进行分类讨论，然后求得结果是解题的关键．
11．（2021·山东兰山·九年级）如图，在平面直角坐标系中，点和点分别为轴和轴上的动点，且，点为线段的中点，已知点，则的最大值为（ ）

A．7 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】
点C的运动轨迹是半径为2的圆O，连接PO并延长，交圆O于点，则的值最大，求出PO的值即可得解．
【详解】
解：∵
∴是直角三角形，
∵C为AB的中点，
∴
∴OC的长度始终为2
∵点A和点分别为轴和轴上的动点，
∴C点的轨迹是以O为圆心，OC为半径的圆
连接PO并延长，交圆O于点，如图，

此时，的值最大，即的值最大
∵
∴
∴
∴的最大值为9
故选：B
【点睛】
此题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，动点的轨迹以及线段和的极值等问题，明确C点的轨迹是以O为圆心，OC为半径的圆是解答此题的关键．
12．（2021·北京海淀·北大附中）一只小猫在距墙面4米，距地面2米的架子上，紧紧盯住了斜靠墙的梯子中点处的一只老鼠，聪明的小猫准备在梯了下滑时，在与老鼠距离最小时捕食．如图所示，把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，猫所处位置为点D，梯子视为线段MN，老鼠抽象为点E，已知梯子长为4米，在梯子滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为（　　）

A． B．﹣2 C．2 D．4
【答案】B
【分析】
如图，连接BE，BD．先利用勾股定理求出BD，根据点E为MN中点，可得BE＝2（米），梯子在下滑过程中，点E在以B为圆心，2米为半径的弧上运动，当点E落在线段BD上时，DE的值最小．
【详解】
如图，连接BE，BD．

由题意BD＝（米），
∵∠MBN＝90°，MN＝4米，点E为MN中点，
∴BE为直角三角形斜边中线，
∴BE＝MN＝2（米），
∴梯子在下滑过程中，点E在以B为圆心，2米为半径的弧上运动，
∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，
∴DE的最小值为（﹣2）米．
故选：B．
【点睛】
本题考查勾股定理，线段中点运动轨迹，直角三角形斜边中线性质，关键是利用圆与BD相交点位置确定最小值是解题关键．
13．（2021·山东东平·九年级）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，1)，点B(0，1+t)，C(0，1﹣t)（t＞0），点P在以D(3，3)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是（ ）

A． B．5 C．4 D．
【答案】A
【分析】
先求出AB，AC进而得出AC＝AB，结合直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，即AP＝t，即可得出t最小时，点P在AD上，用两点间的距离公式即可得出结论．
【详解】
解：如图，连接AP，

∵点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），
∴AB＝（1+t）﹣1＝t，AC＝1﹣（1﹣t）＝t，
∴AB＝AC，
∵∠BPC＝90°，
∴AP＝BC＝AB＝t，
要t最小，就是点A到⊙D上的一点的距离最小，
∴点P在AD上，
∵A（0，1），D（3，3），
∴，
∴t的最小值是AP＝AD﹣PD＝，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形斜边的中线的性质，平面坐标系内两点间的距离公式，最小值的确定；判断出点A是BC的中点是解本题的关键．是一道基础题．
14．（2021·全国九年级课时练习）如图，小明顺着大半圆从地到地，小红顺着两个小半圆从地到地，设小明，小红走过的路程分别为，，则与的大小关系是（ ）

A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】
根据图形，得两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径之和，则根据圆周长公式，得二人所走的路程相等．
【详解】
解：设小明走的半圆的半径是．
则小明所走的路程是．
设小红所走的两个半圆的半径分别是与，
则，
小红所走的路程是，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆的认识，注意计算两个小半圆的直径之和是大于半圆的直径．
15．（2021·江苏无锡·九年级专题练习）在矩形中，已知，，现有一根长为的木棒紧贴着矩形的边（即两个端点始终 落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒的中点在运动过程中所围成的图形的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
如图（见解析），先根据矩形的性质、直角三角形斜边上的中线可得，从而可得出中点P的运动轨迹，再利用矩形的面积公式和圆的面积公式即可得．
【详解】
如图1，连接BP，
四边形ABCD是矩形，
，
点P是EF的中点，，
，
当点E在AB边上，点F在BC边上时，中点P的运动轨迹是在以点B为圆心、长为半径的圆上，
又，且，
木棒的中点在运动过程中所围成的图形为图2中的阴影部分，
则所求的面积为矩形ABCD的面积减去四个圆的面积，
即所求的面积为，
则木棒的中点在运动过程中所围成的图形的面积为，
故选：D．

【点睛】
本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边上的中线、圆的面积公式等知识点，依据题意，正确得出中点P的运动轨迹是解题关键．
二、填空题
16．（2021·南通市启秀中学九年级月考）如图，中，，以点为圆心，为半径的圆交于，交于点，，则______．

【答案】20°．
【分析】
由半径相等得CB=CD，则∠B=∠CDB，在根据三角形内角和计算出∠B=（180°-∠BCD）=70°，然后利用互余计算∠A的度数．
【详解】
解：∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB，
∵∠B+∠CDB+∠BCD=180°，
∴∠B=（180°-∠BCD）=（180°-40°）=70°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A=90°-∠B=20°．
故答案为20°．
【点睛】
本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了三角形内角和定理．
17．（2021·山东平阴·七年级期末）如图，根据图形中已知条件，可求得阴影部分（半圆）的面积是__________．

【答案】
【分析】
由勾股定理，得半圆的直径等于8cm，故半圆的半径等于4cm．那么，半圆的面积等于．
【详解】
解：如图，

由图知，∠CAB=90°，AC=6cm，BC=10cm．
在Rt△ABC中，∠CAB=90°，
∴AC2+AB2=BC2．
∴ ，
∴半径r=4cm．
∴S半圆＝（cm2）．
故答案为：8π．
【点睛】
本题主要考查勾股定理以及圆的面积公式，熟练掌握勾股定理求得半圆的直径等于8是解本题的关键．
18．（2021·四川省内江市第六中学九年级）把一个圆心为O，半径为r的小圆面积增加一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大顺序排列）是___．

【答案】1：：：2
【分析】
设最小的圆的面积是，则其它三个圆的面积分别是，，．由题意得四个圆是相似形，根据面积比可求得其相似比，根据周长比等于相似比即可得到答案．
【详解】
解：设最小的圆的面积是，则其它三个圆的面积分别是，，，
所有的圆都是相似形，面积的比等于半径的比的平方，
因而半径的比是，周长的比等于相似比，即半径的比，是．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了圆相似形时，解题的关键是：掌握面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比．
19．（2021·沭阳县怀文中学九年级月考）如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点，且，已知，则等于______．

【答案】26°
【分析】
根据圆的半径相等可得等腰三角形，根据三角形的外角的性质和等腰三角形等边对等角可得关于∠E的方程，解方程即可求得答案．
【详解】
解：如图，连接CO，

∵CE＝OB＝CO=OD，
∴∠E＝∠1，∠2＝∠D，
∴∠D=∠2＝∠E+∠1＝2∠E，
∴∠3＝∠E+∠D＝∠E+2∠E＝3∠E，
由，得3∠E＝78°，
解得∠E＝26°，
故答案为：26°．
【点睛】
本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，能利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键．
20．（2021·江苏工业园区·九年级）如图，在中，．将绕的中点D旋转得，连接，则的最大值为_________．

【答案】
【分析】
如图所示，在旋转的过程中，点A的对应点E始终在以点D为圆心，DA为半径的圆上．延长DB交⊙D于点M，类比于“直径是圆中最长的弦”，则CM的长就是CE的最大值．为此，求出CM的长即可．
【详解】
解：如图所示，连接DA，以点D为圆心，DA为半径画圆．在旋转的过程中，点A的对应点E始终在⊙D上．延长DB交⊙D于点M，类比于“直径是圆中最长的弦”，则CM的长就是CE的最大值．

∵D是BC的中点，
∴．
在Rt中，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴CE的最大值是．
故答案为：
【点睛】
本题考查了旋转的性质、圆的性质、勾股定理、求线段的最值等知识点，熟知旋转和圆的有关性质是解题的关键．
21．（2019·四川省成都市石室联合中学七年级期末）如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形，，…，，…，记纸板的面积为，试计算求出_______；并猜想得到________（）．

【答案】
【分析】
由是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，则可知，比少了半径为的半圆，，比少了半径为的半圆，；据此可以算出，，，因此可以推出．
【详解】
∵，
∴比少了半径为的半圆，则，，
∴比少了半径为的半圆，则，，
∴，
∴，
故可得：，
故答案为：；．
【点睛】
本题考查了圆的面积公式、规律性等知识，从特殊到一般，找出相邻两个图形的规律是解题的关键．
22．（2021·广东增城·九年级）如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将△沿所在直线翻折，得到，则线段的最小值是___________.

【答案】
【分析】
以点为圆心，长度为半径作圆，连接，当点在线段上时，的长取最小值，根据折叠的性质可知，在中利用勾股定理可求出的长度，用即可求出结论．
【详解】
解：如图，以点为圆心，长度为半径作圆，连接，当点在线段上时，的长取最小值，
由折叠可知，，
在中，由勾股定理可得，，
的最小值，
故答案为：．

【点睛】
本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出A′C取最小值时点A′的位置是解题的关键．
23．（2020·浙江九年级期中）如图，有一表盘为圆形的时钟垂直放置在水平桌面上，表盘中心点为O，在分针的转动过程中，外端点A到桌面的最小距离为，最大距离为，现在时间是14点10分，则此时分针外端点A到桌面的垂直距离为_________．

【答案】40cm
【分析】
先根据最大距离和最小距离求得圆的直径，再过点A作AB⊥CD，求得∠AOC的度数，根据含30°角的直角三角形的特点求得OB，根据点A到桌面的垂直距离为OB+OD+DE即可求得．
【详解】
解：如图所示，根据题意，CE经过圆心且垂直于桌面，且CE=50cm，DE=10cm，

∴CD=CE-DE=50-10=40cm，
∴，
过点A作AB⊥CD，
14点10分时分针OA和半径OC的夹角，
∴∠OAB=30°，
∴，
BE=OB+OD+DE=10+20+10=40cm，即点A到桌面的垂直距离为40cm．
故答案为：40cm．
【点睛】
本题考查含30°角的直角三角形，圆中最值的问题，圆心角的计算等．能正确求得圆的半径是解题关键．
24．（2020·和平·天津一中九年级月考）如图，⊙O的半径为4，为圆上一动弦，以为边作正方形，则的最大值为________．

【答案】
【分析】
把AO绕点A顺时针旋转90°得到AO′，易知△AOO′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出OO′，再根据正方形的性质可得AB＝AD，再求出∠BAO＝∠DAO′，然后利用“边角边”证明△ABO和△ADO′全等，根据全等三角形对应边相等可得DO′＝BO，再根据三角形的任意两边之和大于第三边求解即可．
【详解】
如图，连接AO、BO、把AO绕点A顺时针旋转90°得到AO′，连接DO′
∴△AOO′是等腰直角三角形，

∵AO＝4，
∴OO′＝，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵∠BAO＋∠BAO′＝∠DAO′＋∠BAO′＝90°，
∴∠BAO＝∠DAO′，
在△ABO和△ADO′，
，
∴△ABO≌△ADO′（SAS），
∴DO′＝BO＝4，
∴OO′＋O′D≥OD，
当O、O′、D三点共线时，取“＝”，
此时，OD的最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用旋转作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
25．（2020·天津和平·）已知，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在边AB上，且BE＝1，以点B为圆心，BE长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP．
（1）如图①，在点P移动过程中，AP长度的最小值是_____．
（2）如图②，将AP绕点A逆时针旋转90°至A，连接BP′，在点P移动过程中，B长度的最小值是_____．

【答案】3
【分析】
（1）当点P在线段AB上时，AP的长度有最小值，即可求解；
（2）由“SAS”可证△PAB△AD，可得D＝PB＝1，点的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆上，则当在对角线BD上时，B最小，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出B的长．
【详解】
解：（1）∵点P在⊙B上移动，
∴当点P在线段AB上时，AP的长度有最小值，
最小值＝AB﹣PB＝4﹣1＝3，
故答案为：3．
（2）如图，连接BP，

由旋转得：AP＝A，∠PA＝90°，
∴∠PAB＋∠BA＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BA＋∠DA＝90°，
∴∠PAB＝∠DA，
在△AD和△PAB中，

∴△AD△PAB（SAS），
∴D＝PB＝1，
∴点P在以点D为圆心，D为半径的圆上，
∴当在对角线BD上时，B最小，
在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝4，
∴BD＝＝＝，
∴B＝BD﹣D＝﹣1，
即B长度的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，圆的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是找出线段的最小值1．
三、解答题
26．（2021·全国）如图，在中，，，为线段的中点，将绕点顺时针旋转90°，得到线段，连接，则的最大值是多少？

【答案】．
【详解】
解：如解图，作，截取，连接，，，以为直径，点为圆心作，
∵，，
∴点C是上任意一点，
∵，
∴，即，
由旋转得，，∴。
∴，
在点的运动过程中，当，，在同一直线上时，有最大值，此时，
∵为外接圆半径，∴，
∵．由勾股定理得，
∴，即的最大值为．

27．（2021·全国）已知：在中，，，将绕点顺时针旋转，点对应点为，点对应点为．设旋转过程中延长线与相交于点．
（1）如图所示，当点在边上时，请直接写出线段和线段之间的数量关系；

（2）当由图的位置旋转到图的位置时，试判断（1）中的结论是否成立，并说明理由；

（3）如图，若，设点为的中点，连接，将绕点旋转一周，直接写出的最大值与最小值．

【答案】（1）；（2）依然成立，见解析；（3）的最大值为，最小值为．
【详解】
解：（1）；
由旋转性质可得，．
∵，
∴和都是等边三角形．
∴．
∵，，
∴．
∵，∴．
∴，．
∴，．
∴．
（2）依然成立；
理由如下：如解图，在上截取，连接，
由题意可得：，，
∴，
∵，
∴，．
∴．∴．
∴，．
∴．
∴，∴；

（3）的最大值为，最小值为．
根据题意，点在以为圆心，长为半径的圆|
上，如解图，
当，，三点在一条直线上时，时，有最小值．
当时，有最大值；
∵在中，，，，
∴．∴．∴．
∴的最大值为，的最小值为．