第9章 平面向量 章末题型归纳总结-高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版必修第二册）

第9章 平面向量 章末题型归纳总结 章末题型归纳目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：向量的线性运算经典题型二：三点共线定理的应用经典题型三：向量的数乘运算经典题型四：向量的数量积运算经典题型五：向量的模、向量的夹角经典题型六：向量的投影、投影向量经典题型七：平面向量的实际应用经典题型八：平面向量范围与最值问题模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：向量的线性运算例1．（2023·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（    ）A． B． C． D．例2．（2023春·广西南宁·高一校考阶段练习）在中，点满足，则（     ）A． B．C． D．例3．（2023春·广西玉林·高一校考阶段练习）在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ）A．， B．，C．， D．，例4．（2023春·广西桂林·高一校考期中）设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（   ）A．和 B．和C．和 D．和例5．（2023春·湖南株洲·高一校联考期中）在平行四边形中，对角线与交于点为中点，与交于点，若 ，则（    ）A． B． C． D．例6．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）如图，在平行四边形中，设．试用求表示及．经典题型二：三点共线定理的应用例7．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）已知．(1)当k为何值时，与共线；(2)若且A，B，C三点共线，求m的值．例8．（2023·北京昌平·高一统考期末）如图，在中，.设.(1)用表示；(2)若为内部一点，且.求证：三点共线.例9．（2023·北京房山·高一统考期末）已知向量，不共线，且，，．(1)将用，表示；(2)若，求的值；(3)若，求证：A，B，C三点共线．例10．（2023·高一课时练习）设两个非零向量与不共线，（1）若，，，求证：A，B，D三点共线；（2）试确定实数k，使和共线．例11．（2023·高一课时练习）已知中，，为角平分线．（1）求 的长度；（2）过点作直线交的延长线于不同两点，且满足，，求的值，并说明理由．例12．（2023春·广西桂林·高一校考期末）如图所示，在中，，，与相交于点，设，.(1)试用向量表示；(2)过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值.例13．（2023·高一课时练习）如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.(1)若，求的值；(2)设，，，，求的值；经典题型三：向量的数乘运算例14．（2023·北京昌平·高一统考期末）如图，在矩形中，对角线交于点，则下列各式一定成立的是（    ）A．B．C．D．例15．（2023·新疆喀什·高一莎车县第一中学校考阶段练习）（       ）A． B． C． D．例16．（2023·高一课时练习）在中，已知是边上一点，若，则（    ）A．2 B．１C．-2 D．－1例17．（2023春·江苏苏州·高一苏州中学校考阶段练习）已知P是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点P一定在（　　）A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部例18．（2023·高一单元测试）在平行四边形中，对角线与交于点，若，则（    ）A． B．2 C． D．例19．（2023·高一课时练习）如图，设P，Q是线段的三等分点（点P靠近点A），则下列说法正确的是（    ）A． B．C． D．经典题型四：向量的数量积运算例20．（2023·高一课时练习）在中，，，，则________．例21．（2023·高一课时练习）两个单位向量与的夹角为，则________．例22．（2023·高一课时练习）已知，，且与的夹角为，则________．例23．（2023·高一课时练习）已知，，若，，则______．例24．（2023·高一单元测试）已知、满足，，则______．例25．（2023·高一课时练习）已知，，且与的夹角为，则______．经典题型五：向量的模、向量的夹角例26．（2023·高一课时练习）已知，，、的夹角，若，则m=______．例27．（2023·高一课时练习）已知，，则________．例28．（2023·高一课时练习）已知向量，，则与的夹角________．例29．（2023·高一课时练习）已知，，且与的夹角为，则k=______．例30．（2023·高一课时练习）已知，，与的夹角为钝角，则的取值范围是_____;例31．（2023·高一课时练习）已知，向量在向量方向上的投影数量为，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．例32．（2023·高一课时练习）在直角三角形ABC中，若斜边，直角边，则________．例33．（2023·高一课时练习）已知，且在上的数量投影为，则与的夹角________．例34．（2023·高一课时练习）设，是x，y轴正方向上的单位向量，，，则向量，的夹角为______．例35．（2023·高一课时练习）已知，，若，则与的夹角为______．经典题型六：向量的投影、投影向量例36．（2023·高一课时练习）已知两个向量，，，，则在方向上的数量投影为________．例37．（2023·高一课时练习）已知向量，为单位向量，当向量、的夹角等于时，则向量在向量方向上的投影向量是________．例38．（2023·高一课时练习）设向量、满足，且，若为在方向上的投影向量，并满足，则________．例39．（2023·高一课时练习）已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为______．例40．（2023·高一课时练习）已知，，当时，在方向上的投影数量为______；当时，在方向上的数量投影为______；当时，在方向上的数量投影为______．例41．（2023·全国·高一专题练习）已知点，，，，则向量在方向上的数量投影为______．例42．（2023·高一课时练习）已知，．若在方向上的数量投影为3，则实数______．例43．（2023·高一课时练习）已知，，，则在方向上的数量投影为________．例44．（2023·高一课时练习）若，，和的夹角为30°，则在方向上的投影为______．例45．（2023·高一单元测试）已知，，与的夹角为．求：(1)；(2)；(3)．例46．（2023·高一课时练习）中，，，，求．例47．（2023·高一课时练习）已知非零向量，满足，，试求，的夹角．例48．（2023·高一课时练习）若，，和的夹角为135°，求的值．例49．（2023·高一课时练习）已知、都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与夹角的大小．例50．（2023·高一课时练习）已知向量与的夹角，，，求(1)；(2)．例51．（2023·高一课时练习）已知向量且与夹角为，（1）求；（2）若，求实数的值.例52．（2023·高一课时练习）已知，，，，求与的夹角．经典题型七：平面向量的实际应用例53．（2023·高一课时练习）已知两个力，，，作用于同一质点，使该质点从点移动到点(其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量)．试求：(1)，分别对质点所做的功；(2)，的合力对质点所做的功．例54．（2023·高一课时练习）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，求第四个顶点的坐标．例55．（2023·高一课时练习）已知质点O受到三个力，，的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都是，求合力的大小和方向.例56．（2023·高一课时练习）某人骑摩托车以20千米／小时的速度向西行驶，感到风从正南方向吹来，而当速度为40千米／小时，感到风从西南方向吹来，求实际风向和风速的大小.例57．（2023·高一课时练习）如图，在平行四边形中，已知，，对角线，试用向量的方法求对角线的长．例58．（2023·云南·高二校联考开学考试）已知A，B，C三点的坐标分别为，，，是否存在实数m，使得A，B，C三点能构成直角三角形？若存在，求m的取值集合；若不存在，请说明理由．经典题型八：平面向量范围与最值问题例59．（2023·高一单元测试）在平面内，，，，若，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．例60．（2023春·贵州贵阳·高一统考期末）在中，是线段上的点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．例61．（2023·高一课时练习）已知，，则的取值范围是______．例62．（2023·高一课时练习）已知，，与的夹角为钝角，则的取值范围是_____;例63．（2023春·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的取值范围是__．例64．（2023·全国·高一假期作业）已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_____．例65．（2023春·陕西西安·高一统考期末）已知点，其中，则的取值范围为___________.例66．（2023春·上海浦东新·高一校考期末）已知.(1)若，求实数的值；(2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围.例67．（2023春·河北邯郸·高一统考期末）如图，在平面四边形中，，，，，、分别是，的中点，为线段上一点，且.设，.(1)若，以，为基底表示向量与；(2)若，求的取值范围.模块三：数学思想方法①分类讨论思想例68．（2023·全国·高三专题练习）已知，，．（1）若，，三点共线，求与满足的关系式；（2）若 A，B ，C 三点共线，且，求点的坐标．例69．（2023春·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知向量，且（1）当时，求及的值；（2）若函数的最小值是，求实数的值.②转化与化归思想例70．（2023春·浙江温州·高一统考期末）如图，在梯形中，，，是的两个三等分点，，是的两个三等分点，线段上一动点满足，分别交，于，两点，记，．（1）当时，用，表示：（2）若，试写出和的关系，并求出的取值范围．例71．（2023春·辽宁大连·高一校考期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，其中.（1）求的最小值；（2）是否存在，使得为钝角三角形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.③数形结合思想例72．（2023春·浙江台州·高一温岭中学校考阶段练习）在中，设，若，与交于点，(1)用表示；(2)在线段，上分别取，使过点，设，求的最小值.例73．（2023春·高一单元测试）如图，两个长度为1的平面向量和，夹角为，点C在以O为圆心的圆弧上移动，若，求的最大值.例74．（2023·全国·高三专题练习）已知向量为平面向量，，且使得与所成夹角为，则的最大值为（    ）A． B． C．1 D．例75．（2023春·贵州黔东南·高一统考期末）已知平面向量满足，，且，若向量，的夹角为60°，则的最大值是________