人教版八年级下册16.1 二次根式精品课时练习

  专题02  二次根式运算及运用

 二次根式运算及运用是本章节考试必考考点，也是为学习后面内容打下扎实基础。主要在解答题中的计算题或者材料阅读题为主。这个专题难度不大，但很重要，需要反复练习巩固。

【考点刨析】

考点1：分母有理化

  分母有理化：分母中的根号化去，叫做分母有理化

有理化因式：如果两个二次根式相乘的积不含二次根式，那么这两个二次根式为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：

①单项分母：利用.

②两项分母：利用平方差公式

如：

考点2：二次根式的混合运算

考点3：二次根式的大小比较

 方法1：公式法 ： 将括号外的因数移到根号内，比较被开方数的大小

         平方法：   将二次根式平方，去掉根号，再比较大小

方法2：倒数法：下把元二次根式写出他的倒数，通过比较两者间倒数的大小，倒数的则原二次根式反而小。

考点4： 二次根式的化简求值

【典例分析】

【考点1：分母有理化】

【典例1】（2022秋•丰城市校级期末）在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可将其进一步简化：

＝；（一）

＝＝；（二）

＝＝＝；（三）

以上这种化简的步骤叫做分母有理化

还可以用以下方法化简：

＝＝＝；（四）

（1）化简＝　  　 ＝　   　

（2）请用不同的方法化简．

①参照（三）式得＝　          

②步骤（四）式得＝　          　

（3）化简：

+++…+．

【变式1-1】（2022春•西宁期末）【观察】

；

﹣1；

【感悟】

在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中与+1与﹣1相乘的积都不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式．

【运用】

（1）的有理化因式是 　　；﹣2的有理化因式是 　　    ；

（2）将下列各式分母有理化：

①；

②．

【典例1-2】（2021秋•渭滨区期末）（一）阅读下面内容：

＝＝； 

＝＝﹣；

＝＝﹣2．

（二）计算：

（1）；           

（2）（n为正整数）．

（3）+++…+．

【典例1-3】（2022春•浏阳市期中）阅读下列运算过程：

①＝＝，

②＝＝＝

数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．模仿上述运算过程，完成下列各题：

（1）

（2）+++…+．

【考点2：二次根式的混合运算】

【典例2】（2022秋•丰泽区校级期末）计算：

（1）；

（2）．

【变式2-1】（2022秋•渠县校级期末）计算：

（1）﹣（2+）2．            （2）3﹣﹣．

【变式2-2】（2022秋•二道区校级期末）计算：

（1）；       （2）．

【变式2-3】（2022秋•通川区校级期末）计算：

（1）（﹣）（+）+；    （2）．

【变式2-4】（2022秋•邯山区期末）计算：

（1）（+1）（﹣1）+﹣（）0；

（2）（﹣）×+|﹣2|﹣（）﹣1．

【考点3：二次根式的大小比较】

【典例3】（2021秋•岳麓区校级月考）比较二次根式的大小：﹣4　　﹣3（填“＜”、“＝”、“＞”）．

【变式3-1】（2020秋•昌平区期末）比较大小：

（1）　　5；

（2）　　．

【变式3-2】（2021秋•市北区期末）比较大小：　  ．（选填“＞”、“＝”、“＜”）．

【典例4】比较与的大小，并说明理由；

【变式4-1】比较与的大小.

【变式4-2】请你灵活运用上面介绍的方法，比较每组中两个无理数的大．

①﹣与﹣；

②+与+；

【考点4： 二次根式的化简求值】

【典例5】（2022春•湖北期末）求值：

（1）已知x＝﹣1，求x2+5x﹣6的值．

（2）先化简，再求值：，其中m＝．

【变式5-1】（2022春•长顺县月考）先化简，再求值．

（6x+）﹣（4y+），其中x＝，y＝3．

【变式5-2】（2022春•汝南县月考）先化简，再求值：x+y2﹣（x2﹣5x），其中．

【变式5-3】（2022秋•城关区校级期末）先化简，后求值：，其中．

【夯实基础】

1．（2012春•仁寿县校级期中）比较二次根式的大小：2　　3．

2．（2021秋•大丰区期末）比较大小：4　　7．（填“＞”、“＝”、“＜”）

3．（2021秋•浦东新区校级月考）比较大小：　　．（填“＞”“＝”“＜”）

4．（2022秋•仓山区校级期末）计算：

（1）．    （2）．

5．（2022秋•宣汉县校级期末）计算．

（1）； （2）．

6．（2022秋•青浦区校级期末）计算：．

7．（2022秋•南关区校级期末）计算：（﹣2）×．

8．（2022秋•沙坪坝区期末）计算：

（1）（x+2）2﹣x（x+4）；   （2）．

9．（2022秋•北碚区校级期末）计算：．

10．（2022秋•临湘市期末）计算：

（1）﹣22+﹣2×；

（2）．

11．（2022秋•朝阳区校级期末）计算：．

12．（2022秋•中宁县期末）化简计算：

（1）﹣2；     （2）．

13．（2020•罗湖区校级一模）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a＝3，b＝2﹣．

14．先化简，再求值：

（1）﹣，其中x＝﹣；

（2）÷（1﹣），其中a＝2+，b＝2﹣．

15．（2022•东平县校级开学）化简计算

（1）先化简，再求值：，其中．

【能力提升】

16．（2022•杭州模拟）在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还需要将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．也可以用如下方法化简：．

（1）请用两种不同的方法化简；

（2）选择合适的方法化简（n为正整数）；

（3）求的值．