高中数学5.4 三角函数的图象与性质导学案及答案

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【课前预习】
知识点
x=π2+kπ,k∈Z xx∈R,且x≠π2+kπ,k∈Z R π 奇函数 kπ-π2,kπ+π2(k∈Z)
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)×
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)B (3)0,π2∪[π,4] [解析] (1)由12x+π4≠kπ+π2(k∈Z)得x≠2kπ+π2(k∈Z),∴y=tan12x+π4的定义域为xx≠2kπ+π2(k∈Z).
(2)当-π41.故所求函数的值域是(-∞,-1)∪(1,+∞).
(3)由题得2+lg12x≥0,tanx≥0, 即lg12x≥lg124,tanx≥0,所以0变式 [-1,3+23] [解析] 令u=tan x,∵|x|≤π3,∴由正切函数的图像知u∈[-3,3],∴原函数可化为y=u2-2u,u∈[-3,3],∵二次函数y=u2-2u=(u-1)2-1的图像开口向上,对称轴方程为u=1,∴当u=1时,ymin=-1,当u=-3时,ymax=3+23,∴原函数的值域为[-1,3+23].
探究点二
例2 (1)A (2)A (3)ACD [解析] (1)由正切曲线的对称中心为kπ2,0(k∈Z),可得f(x)图像的对称中心的横坐标满足x+π6=kπ2(k∈Z),即x=-π6+kπ2(k∈Z),结合四个选项可知,π3,0是f(x)的图像的一个对称中心.
(2)f(x)的定义域为xx≠π2+kπ,k∈Z,关于原点对称,且f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin x-tan x=-f(x),∴f(x)为奇函数.
(3)因为f(x)=tan x的最小正周期为π,所以2π是f(x) 的一个周期,所以A选项是正确的;因为f-3π4=1,f3π4=-1,所以B选项是错误的;易知f(x)=tan x的值域为R,所以C选项是正确的;f(x)=tan x的图像关于点π2,0对称,所以D选项是正确的.故选ACD.
变式 (1)A (2)±2 [解析] (1)要使f(x)有意义,则x≠kπ+π2(k∈Z),1+csx≠0,即x≠kπ+π2且x≠(2k+1)π(k∈Z),所以函数f(x)的定义域关于原点对称.又f(-x)=tan(-x)1+cs(-x)=-tanx1+csx=-f(x),故f(x)=tanx1+csx是奇函数.
(2)因为y=3tanωx+π6的最小正周期是π2,所以π|ω| =π2,解得ω=±2.
探究点三
探索解:是.正切函数的图像被直线x=kπ+π2(k∈Z)隔开,所以它在每一个区间kπ-π2,kπ+π2(k∈Z)上单调递增,但它在定义域内不是增函数.假设x1=π4,x2=54π,则x1例3 解:y=tan x在-π2+kπ,π2+kπ(k∈Z)上单调递增,
令-π2+kπ<2x-π3<π2+kπ(k∈Z),
得-π12+kπ2∴函数y=tan2x-π3的单调递增区间是-π12+kπ2,5π12+kπ2(k∈Z),无单调递减区间.
变式解:y=tan-14x+π4=-tan14x-π4,
由-π2+kπ<14x-π4<π2+kπ(k∈Z)得-π+4kπ所以函数y=tan-14x+π4的单调递减区间是(-π+4kπ,3π+4kπ)(k∈Z),无单调递增区间.
例4 解:(1)因为tan13π4=tanπ4,tan17π5=tan2π5,
且0<π4<2π5<π2,y=tan x在0,π2上单调递增,
所以tanπ4(2)因为tan-13π4=-tanπ4,tan-16π5=-tanπ5,
且0<π5<π4<π2,y=tan x在0,π2上单调递增,
所以tanπ4>tanπ5,所以-tanπ4<-tanπ5,
即tan-13π4变式 tan 2拓展 xπ6+2kπ≤x≤4π3+2kπ,k∈Z [解析] 由-1≤tanx2-π3≤3,得-π4+kπ≤x2-π3≤π3+kπ(k∈Z),解得π6+2kπ≤x≤4π3+2kπ(k∈Z),所以-1≤f(x)≤3的解集是xπ6+2kπ≤x≤4π3+2kπ,k∈Z.
【课堂评价】
1.D [解析] 由2x+π3≠π2+kπ,k∈Z,得x≠π12+12kπ,k∈Z,故函数的定义域为xx≠π12+12kπ,k∈Z.
2.D [解析] ∵f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)=|tan(-2x)|=|tan 2x|=f(x),∴f(x)为偶函数,f(x)的最小正周期T=π2.
3.C [解析] 令x+π5=kπ2,k∈Z,得x=kπ2-π5,k∈Z,所以函数y=tanx+π5图像的对称中心是kπ2-π5,0,k∈Z.结合四个选项可得,所求函数图像的一个对称中心为4π5,0.
4.C [解析] 因为x∈-π6,5π12,所以x-π6∈-π3,π4,所以tanx-π6∈[-3,1],所以y=2tanx-π6在-π6,5π12上的取值范围是[-23,2].
5.> [解析] 因为0<12<π2<52<π,所以tan12>0,tan52<0,所以tan12>tan52.
6.kπ-34π,kπ+π4,k∈Z [解析] f(x)=tan-x-π4=-tanx+π4,由kπ-π2

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