数学5.4 三角函数的图象与性质学案

【新教材】5.4.3 正切函数的图像与性质（人教A版）

1、掌握利用单位圆中正切函数定义得到图象的方法;

2、能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用.

1.数学抽象：借助单位圆理解正切函数的图像；

2.逻辑推理： 求正切函数的单调区间；

3.数学运算：利用性质求周期、比较大小及判断奇偶性.

4.直观想象：正切函数的图像；

5.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正切函数的性质.

重点：能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用；

难点：掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图象.

一、    预习导入

阅读课本209-212页，填写。

1.正切函数，且图象：

2.观察正切曲线，回答正切函数的性质：

定义域： __________________ 值域：__________________

最值： 无最值               渐近线：

周期性：__________________      奇偶性: __________________

单调性：__________________     

图像特征：__________________

1．函数f(x)＝tanωx(ω＞0)的周期为，则f的值是(　　)

A.　　　　  B．0　　　　

C．1　　　　 D．－1

2．已知函数y＝tan(2x＋φ)的一个对称中心为，则φ可以是(　　)

A．－    B.      C．－     D.

3．作出函数y＝|tanx|的简图，并指出其周期，单调区间，值域．

题型一    正切函数的性质

例1  求函数f(x)＝tan的定义域、周期和单调递增区间．

跟踪训练一

1．下列命题中：

①函数y＝tan(x＋φ)在定义域内不存在递减区间；②函数y＝tan(x＋φ)的最小正周期为π；③函数y＝tan的图像关于点对称；④函数y＝tan的图像关于直线x＝对称．

其中正确命题的个数是(　　)

A．0个       B．1个

C．2个       D．3个

题型二  比较大小

例2 与

跟踪训练二

1．若f(x)＝tan，则(　　)

A．f(0)＞f(－1)＞f(1)     B．f(0)＞f(1)＞f(－1)

C．f(1)＞f(0)＞f(－1)     D．f(－1)＞f(0)＞f(1)

1．与函数的图像不相交的一条直线是（    ）

A. B. C. D.

2．在下列函数中，同时满足：①在上单调递增；②以为周期；③是奇函数的是（    ）

A. B. C. D.

3．与的大小关系是____________（用“”连接）．

4．函数的定义域为______________.

5．求函数的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.

答案

小试牛刀

1．B.

2．A.

3．【答案】见解析.

【解析】由y＝tanx的图像可得函数y＝|tanx|的图像．

如下图所示．

周期：π.

单增增区间为(k∈Z)，

单减减区间为(k∈Z)．

值域：[0，＋∞)．

自主探究

例1  【答案】定义域：{x|x≠2k＋，k∈Z}；最小正周期为2；

单调递增区间是，k∈Z.

【解析】由x＋≠kπ＋，得x≠2k＋(k∈Z)．

所以函数f(x)的定义域是{x|x≠2k＋，k∈Z}；

由于＝2，因此函数f(x)的最小正周期为2.

由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，解得－＋2k＜x＜＋2k，k∈Z.

因此，函数的单调递增区间是，k∈Z.

跟踪训练一

1．下列命题中：

①函数y＝tan(x＋φ)在定义域内不存在递减区间；②函数y＝tan(x＋φ)的最小正周期为π；③函数y＝tan的图像关于点对称；④函数y＝tan的图像关于直线x＝对称．

其中正确命题的个数是(　　)

A．0个       B．1个

C．2个       D．3个

例2【答案】.

【解析】

又在上是增函数

跟踪训练二

1．【答案】A

【解析】　f(x)＝tan在内是增函数．

又0，－1∈，0＞－1，∴f(0)＞f(－1)．

又f(x)＝tan在上也是增函数，f(－1)＝tan＝tan＝tan.

∵－1,1∈，且－1＞1，∴f(－1)＞f(1)．

从而有f(0)＞f(－1)＞f(1)．

当堂检测 

1-2．CC

3．

4． .

5．【答案】定义域为，值域为R，非奇非偶函数，递增区间为

【解析】的定义域为，

单调增区间为.

又看成的复合函数，

由得，

所以所求函数的定义域为，值域为；

函数的定义域不关于原点对称，因此该函数是非奇非偶函数；

令，解得，

即函数的单调递增区间为.