高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质学案，共12页。


知识梳理
函数y＝tan x的图象与性质
名师导学
知识点1 正切函数有关的定义域、值域
【例】(1)函数y＝eq \r(1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4))))的定义域为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z
B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z
D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z
(2)函数y＝tan2x－2tan x＋3的最小值为________．
反思感悟
1．求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解；
(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得x.
2．求正切函数值域的方法
(1)对于y＝Atan(ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域；
(2)对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域．
变式训练
1．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))的定义域是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)))，x∈R))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠－\f(π,4)))，x∈R))
C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z，x∈R))))
D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(3π,4)，k∈Z，x∈R))))
2．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))的值域为________．
知识点2 正切函数的周期性、奇偶性
【例】(1)若f(x)＝tan ωx(ω>0)的周期为1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的值为( )
A．－eq \r(3) B．－eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3)
(2)已知函数f(x)＝tan x＋eq \f(1,tan x)，若f(a)＝5，则f(－a)＝________．
反思感悟
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝eq \f(π,|ω|)，常常利用此公式来求周期；
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．
变式训练
1．函数f(x)＝|tan 2x|是( )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为eq \f(π,2)的奇函数
D．周期为eq \f(π,2)的偶函数
2．函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的图象的一个对称中心是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－3\r(3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)，0)) D．(0，0)
知识点3 正切函数的单调性及应用
【例】(1)比较大小：taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,4)))和taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9π,5)))；
(2)求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调区间．
反思感悟
求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－eq \f(π,2)<ωx＋φ(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．

变式训练
1．函数f(x)＝eq \f(1,3)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋\f(π,4)))的单调递增区间为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2k－\f(3,2)，2k＋\f(1,2)))，k∈Z
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2k－\f(1,2)，2k＋\f(1,2)))，k∈Z
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k－\f(1,2)，4k＋\f(1,2)))，k∈Z
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k－\f(3,2)，4k＋\f(1,2)))，k∈Z
2．若函数y＝tan ωx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内是减函数，则ω的取值范围为________．
当堂测评
1．函数y＝eq \r(tan x＋1)的定义域为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)
B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)
D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，＋∞))(k∈Z)
2．已知函数f(x)＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,4)))的最小正周期为eq \f(π,2)，则正数ω＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
3．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的单调递增区间是____________________________________．
4．求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))，x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))的值域．
教材考点
学习目标
核心素养
正切函数的定义域与值域
掌握正切函数的定义域、值域
数学抽象
正切函数的单调性及应用
会利用正切函数图象研究其单调性，
并利用单调性解决其相应问题
直观想象、
逻辑推理
正切函数的周期性与奇偶性
掌握正切函数的周期性及奇偶性
逻辑推理、
数学运算
解析式
y＝tan x
图象
定义域
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))
值域
R
最小正
周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上都是增函数
对称性
对称中心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)
名师导学
知识点1 正切函数有关的定义域、值域
【例】(1)函数y＝eq \r(1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4))))的定义域为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z
B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z
D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z
(2)函数y＝tan2x－2tan x＋3的最小值为________．
[解析] (1)由1－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))≥0，得taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))≤1，所以kπ－eq \f(π,2)(2)y＝(tan x－1)2＋2，由于tan x∈R，所以当tan x＝1时，函数取最小值2.
[答案] (1)C (2)2
反思感悟
1．求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解；
(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得x.
2．求正切函数值域的方法
(1)对于y＝Atan(ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域；
(2)对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域．
变式训练
1．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))的定义域是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)))，x∈R))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠－\f(π,4)))，x∈R))
C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z，x∈R))))
D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(3π,4)，k∈Z，x∈R))))
解析：选D 由eq \f(π,4)－x≠k1π＋eq \f(π,2)(k1∈Z)得x≠－k1π－eq \f(π,4)(k1∈Z)．从而x≠k2π－eq \f(π,4)(k2∈Z)．
由k2∈Z得x≠kπ＋eq \f(3,4)π(k∈Z)，
∴y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(3π,4)，k∈Z，x∈R)))).故选D.
2．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))的值域为________．
解析：∵－eq \f(π,4)≤x≤eq \f(π,4)，∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1，1]．
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－eq \f(π,4)时，ymin＝－4；
当t＝1，即x＝eq \f(π,4)时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4，4]．
答案：[－4，4]
知识点2 正切函数的周期性、奇偶性
【例】(1)若f(x)＝tan ωx(ω>0)的周期为1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的值为( )
A．－eq \r(3) B．－eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3)
(2)已知函数f(x)＝tan x＋eq \f(1,tan x)，若f(a)＝5，则f(－a)＝________．
[解析] (1)依题意T＝eq \f(π,ω)＝1，ω＝π，所以f(x)＝tan πx.所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝tan eq \f(π,3)＝eq \r(3).故选D.
(2)易知函数f(x)为奇函数，故f(a)＋f(－a)＝0，则f(－a)＝－f(a)＝－5.
[答案] (1)D (2)－5
反思感悟
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝eq \f(π,|ω|)，常常利用此公式来求周期；
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．
变式训练
1．函数f(x)＝|tan 2x|是( )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为eq \f(π,2)的奇函数
D．周期为eq \f(π,2)的偶函数
解析：选D f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)为偶函数，T＝eq \f(π,2).
2．函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的图象的一个对称中心是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－3\r(3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)，0)) D．(0，0)
解析：选C 函数y＝tan x的图象的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z.
由eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，得x＝kπ－eq \f(2π,3)，k∈Z，所以函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的图象的对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(2π,3)，0))，k∈Z.令k＝0，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)，0)).
知识点3 正切函数的单调性及应用
【例】(1)比较大小：taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,4)))和taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9π,5)))；
(2)求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调区间．
[解] (1)∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,4)))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,4)))＝tan eq \f(π,4)，
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9π,5)))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,5)))＝tan eq \f(π,5).
又0∴tan eq \f(π,5)即taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,4)))>taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9π,5))).
(2)y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，
由kπ－eq \f(π,2)得2kπ－eq \f(π,2)∴函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调递减区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)，无单调递增区间．
反思感悟
求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－eq \f(π,2)<ωx＋φ(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．

变式训练
1．函数f(x)＝eq \f(1,3)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋\f(π,4)))的单调递增区间为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2k－\f(3,2)，2k＋\f(1,2)))，k∈Z
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2k－\f(1,2)，2k＋\f(1,2)))，k∈Z
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k－\f(1,2)，4k＋\f(1,2)))，k∈Z
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k－\f(3,2)，4k＋\f(1,2)))，k∈Z
解析：选A 由kπ－eq \f(π,2)2．若函数y＝tan ωx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内是减函数，则ω的取值范围为________．
解析：由题意知其周期T≥π，即eq \f(π,|ω|)≥π.∴|ω|≤1，又函数为减函数，∴ω<0.故－1≤ω＜0.
答案：[－1，0)
当堂测评
1．函数y＝eq \r(tan x＋1)的定义域为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)
B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)
D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，＋∞))(k∈Z)
解析：选B 由题可得tan x＋1≥0，即tan x≥－1，解得x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．
2．已知函数f(x)＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,4)))的最小正周期为eq \f(π,2)，则正数ω＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选C ∵ω>0，∴T＝eq \f(π,ω)＝eq \f(π,2)，∴ω＝2，故选C.
3．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的单调递增区间是____________________________________．
解析：令kπ－eq \f(π,2)＜2x＋eq \f(π,4)＜kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
解得eq \f(kπ,2)－eq \f(3π,8)答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(3π,8)，\f(kπ,2)＋\f(π,8)))，k∈Z
4．求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))，x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))的值域．
解：由0∴tan eq \f(π,4)即1∴所求函数的值域为(1，eq \r(3) ]．