高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第1课时学案

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

5.5　三角恒等变换

5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第1课时　两角差的余弦公式

【课前预习】

知识点

cos αcos β+sin αsin β

诊断分析

1.(1)√　(2)×　(3)√　[解析] (1)正确.该结论为两角差的余弦公式.

(2)错误.当α=-45°,β=45°时,cos(α-β)=cos(-45°-45°)=cos(-90°)=0,cos α-cos β=cos(-45°)-cos 45°=0,此时cos(α-β)=cos α-cos β.

(3)正确.cos 30°cos 120°+sin 30°sin 120°=cos(120°-30°)=cos 90°=0.

2.cos(60°-30°)=cos 60°cos 30°+sin 60°sin 30°;cos(120°-60°)=cos 120°cos 60°+sin 120°sin 60°

【课中探究】

探究点一

例1　(1)D　(2)　(3)　[解析] (1)cos=cosπ+=-cos=-cos-=-coscos-sinsin=-×-×=-.

(2)原式=cos(x-27°-x-18°)=cos(-45°)=cos 45°=.

(3)cos 15°+sin 15°=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15°=cos(60°-15°)=cos 45°=.

变式　解:(1)原式===.

(2)cos+θcos θ+sin+θsin θ=cos+θ-θ=cos=.

(3)原式=-sin(180°-13°)sin(180°+43°)+sin(180°+77°)sin(360°-47°)=sin 13°sin 43°+sin 77°sin 47°=sin 13°sin 43°+cos 13°cos 43°=cos(13°-43°)=cos(-30°)=.

探究点二

例2　(1)　(2)　[解析] (1)因为cos α=,α是第四象限角,所以sin α=-=-=-.因为sin β=,β是第二象限角,所以cos β=-=-=-.故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×-+-×=.

(2)∵α∈,,∴+α∈,π,∴cos+α=-=-=-.∵α=+α-,∴cos α=cos+α-=cos+αcos+sin+αsin=-×+×=.

变式　解:∵cos(2α-β)=-,sin(α-2β)=,且<α<,0<β<,

∴2α-β∈,π,α-2β∈0,,

∴sin(2α-β)=,cos(α-2β)=,

∴cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)=-×+×=0.

探究点三

例3　解:∵α,β∈0,,且cos α=,cos(α+β)=-,

∴α+β∈,π,∴sin α==,sin(α+β)==.

∵β=(α+β)-α,∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=,

又β∈0,,∴β=.

变式　解:∵sin(π-α)=sin α=,0<α<,∴cos α=.

∵0<β<α<,∴0<α-β<,

又cos(α-β)=,∴sin(α-β)=,

∴cos β=cos[α-(α-β)]

=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)

=×+×==.

∵0<β<,∴β=.

【课堂评价】

1.C　[解析] cos(-75°)=cos(-30°-45°)=cos(-30°)cos 45°+sin(-30°)sin 45°=×-×=,故选C.

2.C　[解析] coscos+cossin=coscos+sinsin=cos-=cos=.

3.A　[解析] 原式=cos(x+y)cos(x-y)+sin(x+y)sin(x-y)=cos[(x+y)-(x-y)]=cos 2y.故选A.

4.D　[解析] 因为α∈-,0,所以sin α=-,所以cosα-=cos αcos +sin αsin =×+-×=.

5.-　[解析] 原式=cos 62°cos 212°+sin 62°sin 212°=cos(212°-62°)=cos 150°=-cos 30°=-.