人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第1课时导学案

3.2 函数的基本性质

3.2.1 单调性与最大（小）值

第1课时 函数的单调性

【学习目标】

【自主学习】

一．增函数与减函数的定义

思考1：在增函数与减函数的定义中，能否把“∀x1，x2∈D”改为“∃x1，x2∈D”？

思考2：设x1、x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变量，如果f(x)满足以下条件，该函数f(x)是否为增函数？

(1)对任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)；

(2)对任意x1，x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0；

(3)对任意x1、x2都有  >0.

思考3：由思考2推广，能否写出减函数的几个等价命题？

二．函数的单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上是____________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的_____________.

三．基本初等函数的单调区间如下表所示：

【小试牛刀】

思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)因为f(－1)<f(2)，所以函数f(x)在[－1,2]上是增函数．(　　)

(2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．(　　)

(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．(　　)

(4)若函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． (　　)

【经典例题】

题型一   函数单调性的判定与证明

点拨：利用定义证明函数单调性的4个步骤：

例1 用定义证明：函数f(x)＝x＋在(－1,0)上是减函数．

【跟踪训练】1 用定义证明，函数y＝在(－1，＋∞)上为增函数．

题型二  利用图象确定函数的单调区间                           

点拨：1.求函数单调区间的方法：(1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象．

2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”“或”连接，不能用“∪”连接

例2 如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间.

【跟踪训练】2 画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．

题型三  函数单调性的应用

已知函数的单调性求参数的取值范围的方法：

(1)确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．

(2)依据常见函数的单调性，如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解．

(3)要注意：“函数f(x)的增区间是(a，b)”与“函数f(x)在区间(a，b)上单调递增”是不同的，后者意味着区间(a，b)是函数f(x)的增区间的一个子集．

例3 已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，且f(x)在区间[－2,2]上是减函数，且f(1－m)＞f(m)，求实数m的取值范围．

【跟踪训练】3已知函数f(x)＝若函数f(x)在[－7，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．

【当堂达标】

1. (多选)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　)

A．函数在区间[－5，－3]上单调递增

B．函数在区间[1,4]上单调递增

C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减

D．函数在区间[－5,5]上没有单调性

2. (多选)下列函数在区间(0，＋∞)上是增函数的是(　 　)

A．y＝2x＋1       B．y＝x2＋1       C．y＝3－x   D．y＝x2＋2x＋1

3.已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是 (　　)

A．(－∞，)　　 　B．(，＋∞)      C．(－∞，]     D．[，＋∞)

4.若函数f(x)＝x2－2ax＋3在(2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是       。

5.已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，求实数x的取值范围为

________．

6.求证：函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0)上是增函数.

【课堂小结】

1.函数的单调性

定义单调性时应强调x1，x2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．

2.证明函数的单调性

证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、 定号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．

3.等价转化、数形结合

已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识， 如f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2.二是数形结合意识，如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题．

【参考答案】

【自主学习】

一．f(x1)＜f(x2)；增；f(x1)＞f(x2)；减

思考1：不能，如图所示：虽然 f(－1)<f(2)，但原函数在[－1，2]上不是增函数．

思考2：是增函数，它们是增函数的几种等价命题．

思考3：减函数(x1，x2∈M)⇔任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)⇔ <0⇔[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0.

二．增函数或减函数；单调区间

【小试牛刀】

1.(1) ×  (2) √  (3) ×  (4) ×

2.D

【经典例题】

例1 证明：设－1＜x1＜x2＜0，

则有f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝，

由于－1＜x1＜x2＜0,0＜x1x2＜1，x1x2－1＜0，又x1x2＞0，x1－x2＜0，

则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函数在(－1,0)上为减函数．

【跟踪训练】1解：设x1>x2>－1，

y1－y2＝－＝>0，

∴y1>y2，∴函数y＝在(－1，＋∞)上为增函数．

例2 解：函数的单调增区间为[－1.5,3)，[5,6)，单调减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．

【跟踪训练】2 解：y＝－x2＋2|x|＋3＝

函数图象如图所示．

函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数；函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．

所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．

例3 解：因为f(x)在区间[－2,2]上单调递减，所以当－2≤x1＜x2≤2时，总有f(x1)>f(x2)成立，反之也成立，即若f(x1)>f(x2)，则－2≤x1＜x2≤2.

因为f(1－m)＞f(m)，所以解得＜m≤2.

【跟踪训练】3 解：令g(x)＝2－，h(x)＝x2＋2ax－3a＋3.显然，函数g(x)＝2－在(1，＋∞)上递增，且g(x)>2－＝－2；

函数h(x)＝x2＋2ax－3a＋3在[－a,1]上递增，且h(1)＝4－a，故若函数f(x)在[－7，＋∞)上为增函数，

则即∴a≥7，

∴a的取值范围为[7，＋∞)．

【当堂达标】

1.ABD 解析：由图可知，f(x)在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故选C.

2.ABD 解析：函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数．

3.B 解析：　f(x)＝(3a－1)x＋b为增函数，应满足3a－1＞0，即a＞，故选B.

4.a≤2 解析：因为函数f(x)＝x2－2ax＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝a，

所以其单调增区间为(a，＋∞)，由题意可得(2，＋∞)⊆(a，＋∞)，所以a≤2.

5.(－∞，－3) 解析：∵f(x)是R上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，

∴2x－3>5x＋6，即x<－3.

6.证明：对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，

有f(x1)－f(x2)＝－＝＝.

因为x1＜x2＜0，所以x2－x1＞0，x1＋x2＜0，xx＞0.所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．

所以函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．

对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，有

f(x1)－f(x2)＝.

因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x2＋x1＞0，xx＞0.所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．

所以函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．