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人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）集体备课ppt课件
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）集体备课ppt课件，共43页。PPT课件主要包含了目标认知，kx+bk≠0，知识点二幂函数模型，探究点三幂函数模型，图3-4-2等内容，欢迎下载使用。
知识点一 一次函数、二次函数模型
ax2+bx+c(a≠0)
1.一次函数模型解析式:y= . 2.二次函数模型一般式:y= .
解析式:y=axα+b,a,b,α为常数,a≠0.
知识点三 分段函数模型
知识点四 解决函数应用问题的步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时,一般按以下几个步骤进行:(一)审题;(二)建模;(三)求模;(四)还原.这些步骤用框图表示如下:
1.直线型函数模型我们学过的正比例函数、一次函数等都是直线型的,它们在每一个区间内的变化率都一样.解题时,常设为:常函数型y=c(c为实数,且为常数);正比例函数型y=kx(k≠0);一次函数型y=kx+b(k≠0).
2.二次函数模型在实际生活中普遍存在的诸如造价成本最低而产出利润最大、风险决策、最优化等问题,都可以抽象为二次函数的最值问题.在解决实际应用题时,需要列出二次函数的解析式,常用的方法有待定系数法、归纳法.
探究点一 一次函数、二次函数模型
例1 (1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系式为y=6x+30 000,而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,则至少日生产文具盒( ) A.2000套B.3000套C.4000套D.5000套
[解析] 由题意得12x-(6x+30 000)≥0,解得x≥5000,故至少日生产文具盒5000套.
(2)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱的售价不得低于50元且不得高于55元.经市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,则平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元)之间的函数关系式.②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式.③当销售单价为多少时,该批发商可以获得最大利润?最大利润是多少?
(2)解:①根据题意,得y=90-3(x-50), 化简得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).②因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱的销售利润,所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600(50≤x≤55,x∈N).③因为w=-3x2+360x-9600=-3(x-60)2+1200,所以当x<60时,w随x的增大而增大, 又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w取得最大值,最大值为1125.故当销售单价为55元时,该批发商可以获得最大利润,且最大利润为1125元.
变式 某企业为打入国际市场,决定从A,B两种产品中只选择一种进行投资生产,已知投资生产这两种产品的有关数据如下表:(单位:万美元)
其中年固定成本与年生产的件数无关,m是待定常数,其值由生产A产品的原材料决定,预计m∈[6,8],另外,年销售x件B产品时需交纳0.05x2万美元的特别关税,假设生产出来的产品都能在当年销售出去.该企业每年最多可生产A,B产品的件数分别为200,120.(1)求该企业分别投资生产A,B两种产品的年利润(单位:万美元)y1,y2与生产相应产品的件数x(x>0)之间的函数关系式,并写出其定义域.(2)如何投资才能获得最大年利润?请设计相关方案.
解:(1)y1=10x-(20+mx)=(10-m)x-20,00, ∴y1=(10-m)x-20为增函数, 又0
探究点二 分段函数模型
[素养小结]解答分段函数问题必须遵循“对号入座”的解题原则,即根据题设条件在各段函数解析式中解决问题.求分段函数的最值时,注意取各段的最大(小)值的最大(小)者为函数的最大(小)值.
例3 (1)某药厂研制出一种新型药剂,投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)之间的关系式为y=xα(α为常数),其中x不大于5.已知去年的广告投入为3万元,药品利润为27万元,若今年的广告投入为5万元,则预计今年的药品利润为 万元.
[解析] 因为当广告投入为3万元时,药品利润为27万元,所以3α=27,解得α=3,故函数解析式为y=x3,所以当x=5时,y=125.
[素养小结]幂函数模型应用的求解策略:(1)给出含参数的函数解析式,利用待定系数法求出参数,明确函数解析式.(2)根据题意,直接列出相应的函数解析式.
数学建模1.函数模型应用的两个方面(1)利用已知函数模型解决问题.(2)建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解释有关现象,对某些发展趋势进行预测.
2.解函数应用题的一般步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论.(2)建模:将文字语言转化为数学语言,用数学知识建立相应的数学模型.(3)求模:求解数学模型,得到数学结论.(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题.
例 某汽车城销售某种型号的汽车,进货单价为25万元.市场调研表明:当销售单价为29万元时,平均每周能售出8辆,而当销售单价每降低0.5万元时,平均每周能多售出4辆.设该汽车的销售单价降价x万元,每辆汽车的销售利润为y万元.(每辆汽车的销售利润=销售单价-进货单价)(1)求y与x之间的函数关系式,并在保证商家不亏本的前提下,写出x的取值范围.(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元,试写出z与x之间的函数关系式.(3)当该汽车的销售单价为多少万元时,平均每周的销售利润最大?最大利润是多少?
1.甲从A地到B地,前一半路程的行驶速度是v1,后一半路程的行驶速度是v2,且v1
[解析] 因为90 min=1.5 h,所以汽车的速度为180÷1.5=120(km/h),则路程y(km)与时间t(h)之间的函数解析式是y=120t(t≥0).
4.如图3-4-2是一个统计图,根据此图得到的以下说法中,正确的个数为( )①这几年人民生活水平逐年得到提高;②生活费收入指数增长最快的一年是2010年;③生活价格指数增长最快的一年是2011年;④虽然2012年生活费收入指数增长缓慢,但生活价格指数下降,因而人民生活有较大的改善.A.1B.2C.3D.4
[解析] 由图知,生活费收入指数减去生活价格指数的差是逐年增大的,故①正确;生活费收入指数在2010~2011年最陡,故②正确;生活价格指数在2011~2012年最平缓,故③不正确;因为2012年生活价格指数下降,而生活费收入指数上升,故④正确.故选C.
知识点一 一次函数、二次函数模型
ax2+bx+c(a≠0)
1.一次函数模型解析式:y= . 2.二次函数模型一般式:y= .
解析式:y=axα+b,a,b,α为常数,a≠0.
知识点三 分段函数模型
知识点四 解决函数应用问题的步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时,一般按以下几个步骤进行:(一)审题;(二)建模;(三)求模;(四)还原.这些步骤用框图表示如下:
1.直线型函数模型我们学过的正比例函数、一次函数等都是直线型的,它们在每一个区间内的变化率都一样.解题时,常设为:常函数型y=c(c为实数,且为常数);正比例函数型y=kx(k≠0);一次函数型y=kx+b(k≠0).
2.二次函数模型在实际生活中普遍存在的诸如造价成本最低而产出利润最大、风险决策、最优化等问题,都可以抽象为二次函数的最值问题.在解决实际应用题时,需要列出二次函数的解析式,常用的方法有待定系数法、归纳法.
探究点一 一次函数、二次函数模型
例1 (1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系式为y=6x+30 000,而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,则至少日生产文具盒( ) A.2000套B.3000套C.4000套D.5000套
[解析] 由题意得12x-(6x+30 000)≥0,解得x≥5000,故至少日生产文具盒5000套.
(2)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱的售价不得低于50元且不得高于55元.经市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,则平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元)之间的函数关系式.②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式.③当销售单价为多少时,该批发商可以获得最大利润?最大利润是多少?
(2)解:①根据题意,得y=90-3(x-50), 化简得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).②因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱的销售利润,所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600(50≤x≤55,x∈N).③因为w=-3x2+360x-9600=-3(x-60)2+1200,所以当x<60时,w随x的增大而增大, 又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w取得最大值,最大值为1125.故当销售单价为55元时,该批发商可以获得最大利润,且最大利润为1125元.
变式 某企业为打入国际市场,决定从A,B两种产品中只选择一种进行投资生产,已知投资生产这两种产品的有关数据如下表:(单位:万美元)
其中年固定成本与年生产的件数无关,m是待定常数,其值由生产A产品的原材料决定,预计m∈[6,8],另外,年销售x件B产品时需交纳0.05x2万美元的特别关税,假设生产出来的产品都能在当年销售出去.该企业每年最多可生产A,B产品的件数分别为200,120.(1)求该企业分别投资生产A,B两种产品的年利润(单位:万美元)y1,y2与生产相应产品的件数x(x>0)之间的函数关系式,并写出其定义域.(2)如何投资才能获得最大年利润?请设计相关方案.
解:(1)y1=10x-(20+mx)=(10-m)x-20,0
探究点二 分段函数模型
[素养小结]解答分段函数问题必须遵循“对号入座”的解题原则,即根据题设条件在各段函数解析式中解决问题.求分段函数的最值时,注意取各段的最大(小)值的最大(小)者为函数的最大(小)值.
例3 (1)某药厂研制出一种新型药剂,投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)之间的关系式为y=xα(α为常数),其中x不大于5.已知去年的广告投入为3万元,药品利润为27万元,若今年的广告投入为5万元,则预计今年的药品利润为 万元.
[解析] 因为当广告投入为3万元时,药品利润为27万元,所以3α=27,解得α=3,故函数解析式为y=x3,所以当x=5时,y=125.
[素养小结]幂函数模型应用的求解策略:(1)给出含参数的函数解析式,利用待定系数法求出参数,明确函数解析式.(2)根据题意,直接列出相应的函数解析式.
数学建模1.函数模型应用的两个方面(1)利用已知函数模型解决问题.(2)建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解释有关现象,对某些发展趋势进行预测.
2.解函数应用题的一般步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论.(2)建模:将文字语言转化为数学语言,用数学知识建立相应的数学模型.(3)求模:求解数学模型,得到数学结论.(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题.
例 某汽车城销售某种型号的汽车,进货单价为25万元.市场调研表明:当销售单价为29万元时,平均每周能售出8辆,而当销售单价每降低0.5万元时,平均每周能多售出4辆.设该汽车的销售单价降价x万元,每辆汽车的销售利润为y万元.(每辆汽车的销售利润=销售单价-进货单价)(1)求y与x之间的函数关系式,并在保证商家不亏本的前提下,写出x的取值范围.(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元,试写出z与x之间的函数关系式.(3)当该汽车的销售单价为多少万元时,平均每周的销售利润最大?最大利润是多少?
1.甲从A地到B地,前一半路程的行驶速度是v1,后一半路程的行驶速度是v2,且v1
[解析] 因为90 min=1.5 h,所以汽车的速度为180÷1.5=120(km/h),则路程y(km)与时间t(h)之间的函数解析式是y=120t(t≥0).
4.如图3-4-2是一个统计图,根据此图得到的以下说法中,正确的个数为( )①这几年人民生活水平逐年得到提高;②生活费收入指数增长最快的一年是2010年;③生活价格指数增长最快的一年是2011年;④虽然2012年生活费收入指数增长缓慢,但生活价格指数下降,因而人民生活有较大的改善.A.1B.2C.3D.4
[解析] 由图知,生活费收入指数减去生活价格指数的差是逐年增大的,故①正确;生活费收入指数在2010~2011年最陡,故②正确;生活价格指数在2011~2012年最平缓,故③不正确;因为2012年生活价格指数下降,而生活费收入指数上升,故④正确.故选C.
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