人教版八年级下册18.2.1 矩形练习

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八年级下册 数学第十八章【同步测试】+【课后提升】18.2.1矩形同步测试阶段：一、单选题1．如图是我校的长方形水泥操场，如果一学生要A角走到C角，至少走（　　）A．140米 B．120米 C．100米 D．90米2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，AD＝DB＝5，则CD＝（　　）  A．3 B．4 C．5 D．63．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A、C的坐标分别是 ， ，点B在第一象限，则点B的坐标是（　　）  A． B． C． D．4．下列说法错误的是（　　）  A．有一个角是直角的四边形是矩形B．矩形的对角线相等C．矩形的对角线互相平分D．有一个角是直角的平行四边形是矩形5．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点 M与点C被湖隔开．若测得AB的长为12km，则M，C两点间的距离为（　　）A．3km B．4km C．5km D．6km二、填空题6．直角三角形斜边上的中线长为4cm，则斜边为　     　。7．矩形是特殊的平行四边形．　     　（判断对错）   8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是　                　．9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是　                        　（写出一种情况即可）．10．如图，矩形ABCD中，点P为AD上一个动点，以PB 为对称轴将△APB折叠得到△EPB，点A的对称点为点E，射线BE交矩形ABCD的边于点 F，若AB＝4，AD＝6，当点F为矩形ABCD边的中点时，AP的长为　             　.三、解答题11．如图，点E为矩形ABCD外一点，AE = DE.求证：△ABE≌△DCE12．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为36cm，求AE的长.13．如图：在矩形ABCD中，AD=60cm，CD=120cm，E、F为AB边的三等分点，以EF为边在矩形内作等边三角形MEF，N为AB边上一点，EN=10cm；请在矩形内找一点P，使△PMN为等边三角形（画出图形，并直接写出△PMF的面积）．14．已知，如图：在矩形ABCD中，点M、N在边AD上，且AM=DN，求证：BN=CM. 课后提升阶段：一、单选题1．如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（　　） A．矩形的对角线相等B．矩形的四个角是直角C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线相等的平行四边形是矩形2．下列性质中，矩形不一定具有的是(　　)A．对角线相等 B．对角线互相垂直C．对边相等 D．四个角都是直角3．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠BAO=55°，则∠AOD等于(　　)  A．105° B．110° C．115° D．120°4．如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（　　）  A．2  B． C．8 D．95．在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ABC＝90°，则下列结论错误的是（　　）   A．AC＝BD B．OA＝OB C．AC⊥BD D．AB＝CD二、填空题6．若直角三角形的两条直角边的长分别是3和4，则斜边上的中线长为　     　.   7．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D是AB的中点，过AC的中点E作EF∥CD交AB于点F，则EF=　     　．8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120 ，AB=1，则BC的长为　     　9．如图，在四边形 中， ．若将 沿 折叠,点 与边 的中点 恰好重合，则四边形 的周长为　     　．  10．如图在平行四边形ABCD中，添加一个条件　                  　，可得平行四边形ABCD是矩形。三、解答题11．如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O．若 AO=3，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积．12．如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC=∠BOD．求证：AO=OB．  13．在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．（1）求证：△BDF≌△CDE；（2）若DE=BC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论．14．如图，在中，，点在的延长线上，且．求证：四边形是矩形．
 同步测试答案：1．【答案】C【解析】【解答】长方形对角线把长方形分成两个全等的直角三角形，两直角边分别为60米和80米，故斜边AC= =100（米），故答案为：C．【分析】矩形的对角线把长方形分成两个全等的直角三角形，两直角边分别为60米和80米，故斜边AC由勾股定理可求。2．【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，AD＝BD＝5，∴CD＝ AB＝5，故答案为：C．【分析】根据直角三角形斜边上中线性质求出AB＝2CD，代入求出即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，∴OC=AB，CB=OA，∵点A，C的坐标分别是（6，0），（0，3），∴AB=3，OA=6，∴点B坐标为（6，3），故答案为：B.【分析】根据矩形的性质得出点B的坐标即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以此选项错误；  B、矩形的对角线相等，所以此选项正确；C、矩形的对角线互相平分，所以此选项正确；D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以此选项正确；因为本题选择说法错误的，故选A．【分析】根据矩形的定义和性质及判定进行判断．5．【答案】D【解析】【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵点M是AB的中点，∴CM＝AB＝6km，故答案为：D．【分析】先求出∠ACB＝90°，再根据线段的中点求解即可。6．【答案】8【解析】【解答】根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得斜边长为8cm.故答案是：8cm.【分析】根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可求得答案。7．【答案】对【解析】【解答】解：有一个内角是直角的平行四边形是矩形，所以矩形是特殊的平行四边形故答案为：对【分析】根据矩形的定义即可求出答案．8．【答案】（，）【解析】【解答】解：如图所示：∵四边形OABC是矩形，∴∠AOC＝90°，∵AC∥x轴，∴∠OAC＝30°，∠ODA＝90°，∵AC＝6，∴OC＝AC＝3，∴OA＝OC＝3，∴OD＝OA＝，∴AD＝OD＝，∴点A的坐标是（，）；故答案为：（，）．【分析】先求出∠OAC＝30°，∠ODA＝90°，再求出AD＝OD＝，最后求点的坐标即可。9．【答案】∠A=90°或AD=BC或AB∥CD【解析】【解答】解：根据矩形的判定定理可知，已知了AD∥BC，∠D=90°，还缺的条件是∠A=90°或AB∥CD，或AD=BC．【分析】根据矩形的判定定理可知，已知AD∥BC，∠D=90°，还缺的条件是∠A=90°或AB∥CD，或AD=BC．10．【答案】 或 【解析】【解答】解：如图1中，当点F是AD的中点时，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AB＝6，AF＝3，∴BF＝ ＝ ＝5，由翻折可知：AB＝BE＝4，设PA＝PE＝x，则PF＝3﹣x，EF＝5﹣4＝1，在Rt△PEF中，∵PE2+EF2＝PF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，∴x＝ ，∴PA＝ 如图2中，当点F是CD的中点时，延长AD交BF的延长线于H.∵∠C＝90°，BC＝6，CF＝DF＝2，∴BF＝ ＝2 ，∵DH∥BC，∴∠H＝∠FBC，∵∠DFH＝∠BFC，DF＝FC，∴△DHF≌△CBF（AAS），∴DH＝BC＝6，FH＝BF＝2 ，∵AB＝BE＝4，∴EF＝2 ﹣4，EH＝2 ﹣4+2 ＝4 ﹣4，设PA＝PE＝y，则PD＝6﹣y，PH＝6﹣y+6＝12﹣y，在Rt△PEH中，∵PE2+EH2＝PH2，∴y2+（4 ﹣4）2＝（12﹣y）2，∴y＝ ，∴PA＝ ，综上所述，PA的长为 或 .故答案为： 或 .【分析】分两种情形：如图1中，当点F是AD的中点时.如图2中，当点F是CD的中点时，延长AD交BF的延长线于H.分别求解即可.11．【答案】证明： 四边形ABCD是矩形，  ， ， ， ， ，在 和 中， .【解析】【分析】利用矩形的性质可证得AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，利用等边对等角得∠EAD=∠EDA，可推出∠EAB=∠EDC，再利用SAS可证得结论.12．【答案】 解：∵ EF⊥EC ，∴∠AEF+∠DEC=90°，在Rt△DEC中，∠D=90°，∴∠DEC+∠DCE=90°，∴∠AEF=∠DCE，在△AEF和△DCE中，∴△AEF≌△DCE（AAS），∴AE=CD，∵矩形ABCD的周长为36cm ，∴AD+DC=18cm,∴2AE+DE=18cm,∵DE=4cm,∴AE=7cm. 【解析】【分析】根据等角的余角相等，可得∠AEF=∠DCE，根据“AAS”可证△AEF≌△DCE，利用全等三角形的对边相等，可得AE=CD；根据矩形的对边相等，可得AD+DC=18cm，即得2AE+DE=18cm,从而求出AE的长.13．【答案】解：如图，以MN为边，可作等边三角形PMN；△PMF的面积为400．（求解过程如下）．连接PE，∵△MEF和△PMN为等边三角形，∴∠PMN=∠NMF=∠MFE=60°，MN=MP，NE=NF，∴∠PME=∠NMF，在△MPE和△MNF中，，∴△MPE≌△MNF（SAS），∴∠MEP=∠MFE=60°，∴∠PEN=60°，∴PE∥MF，∴S△PMF=S△MEF=EF2=400．【解析】【分析】如图，以MN为边容易作出等边三角形，结合等边三角形的性质，连接PE，可证明△MPE≌△MNF，可证明PE∥MF，容易求得S△PMF=S△MEF，可求得答案．14．【答案】证明：∵AM=DN，∴AM+MN=MN+ND，∴AN=MD，∵四边形ABCD是矩形，  ∴AB=CD，∠A=∠D，在△ABN和△DCM中，∵ ，∴△ABN≌△DCM，∴BN=CM.【解析】【分析】首先根据AM=DN得到AN=MD，再由矩形的性质得到AB=CD，∠A=∠D，进而得到△ABN≌△DCM，于是得出结论.  课后提升答案：  1．【答案】D【解析】【解答】解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，故答案为：D.【分析】矩形的判定定理有：对角线相等的平行四边形是矩形；一个角是直角的平行四边形是矩形；结合题意分别判断即可.2．【答案】B【解析】【分析】矩形对角线的性质：平分、相等，但不垂直．【解答】A、矩形的对角线平分、相等，故A正确；B、矩形的对角线平分、相等，故B错误；C、矩形的对边相等，故C正确；D、矩形的四个角都是直角，故D正确；故选B．【点评】本题考查矩形的性质：对边平行且相等，矩形的对角线平分、相等，四个角都是直角．3．【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB.∴∠BAO=∠ABO=55°.∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°.故答案为：B.【分析】根据矩形的性质可得∠BAO=∠ABO=55°，再依据三角形外角性质可知∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°.4．【答案】A【解析】【解答】连接EF，DF，∵BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点∴在Rt△CEB中, 在Rt△BDC中, ∴FE=FD=9即△EFD为等腰三角形又∵G是ED的中点∴FG是等腰三角形EFD的中线，EG=DG=5∴FG⊥DE(等腰三角形边上的三线合一)，在Rt△GDF中,FG= 故答案为：A【分析】先利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求得△EFD为等腰三角形，再利用等腰三角形边上的三线合一，即可求证FG⊥DE，再利用勾股定理可求出FG的长度．5．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意作图，如下所示：∵ ，∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形.∵矩形ABCD，∴AB=CD，OA=OB，AC=BD.∵条件不足无法判定四边形为菱形，∴AC⊥BD无法判定，故C错误.故答案为：C.【分析】本题根据平行四边形的性质，加之∠ABC=90°进行矩形的证明，最后根据矩形性质求解本题.6．【答案】2.5【解析】【解答】解：由勾股定理得，斜边= =5， 所以，斜边上中线长= ×5=2.5.故答案为：2.5. 【分析】利用勾股定理求出斜边长，然后利用斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.7．【答案】1.5【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D是AB的中点，∴CD= AB=3，∵过AC的中点E作EF∥CD交AB于点F，∴EF是△ACD的中位线，∴EF= CD=1.5；故答案为：1.5．【分析】先由直角三角形斜边上中线的性质得到CD=3，再由中位线定理得到EF的长.8．【答案】【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△ABO是等边三角形，∴OA=AB=2，∠BAO=60°，∴∠ACB=30°，∴AC=2AB=2，∴BC=.【分析】证明△ABO是等边三角形，可得OA=AB=2，∠BAO=60°，从而求出∠ACB=30°，利用直角三角形的性质得出AC=2AB=2，由勾股定理即可求出BC.9．【答案】20【解析】【解答】解：∵BD⊥AD，点E是AB的中点，∴DE=BE= AB=5，由折叠可得，CB=BE，CD=ED，∴四边形BCDE的周长为5×4=20，故答案为：20． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到DE和BE的长度，即可得到四边形BCDE的周长。10．【答案】AC=BD(答案不唯一)【解析】【解答】解：添加条件为AC=BD，∵四边形ABCD为平行四边形，AC=BD∴平行四边形ABCD为矩形【分析】根据矩形的判定定理，添加合适的条件即可得到答案。11．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，AO=3， ∴∠ABC=90°，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC=BD，∴AC=BD=2AO=6，OB=OC，∴AB=  AC=3，由勾股定理得：BC=3  ，∴AB=DC=3，AD=BC=3  ，∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=6+6  ，矩形ABCD的面积是AB×BC=3×3  =9  ．【解析】【分析】利用矩形对角线相等与直角三角形30°角所对边等于斜边的一半，可得 AB= AC=3 ，在直角三角形CBD中可求得BC长，从而可求得矩形的周长与面积.12．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，  ∴∠A=∠B=90°，AD=BC，∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC﹣∠DOC=∠BOD﹣∠DOC，∴∠AOD=∠BOC，在△AOD和△BOC中， ，∴△AOD≌△BOC，∴AO=OB．【解析】【分析】首先根据矩形的性质得到∠A=∠B=90°，AD=BC，利用角角之间的数量关系得到∠AOD=∠BOC，利用AAS证明△AOD≌△BOC，即可得到AO=OB．  13．【答案】（1）证明：∵CE∥BF，∴∠CED=∠BFD，∵D是BC边的中点，∴BD=DC，在△BDF和△CDE中，∴△BDF≌△CDE（AAS）；（2）四边形BFCE是矩形，证明：∵△BDF≌△CDE，∴DE=DF，∵BD=DC，∴四边形BFCE是平行四边形，∵BD=CD，DE=BC，∴BD=DC=DE，∴∠BEC=90°，∴平行四边形BFCE是矩形．【解析】【分析】（1）根据平行线得出∠CED=∠BFD，根据AAS推出两三角形全等即可；（2）根据全等得出DE=DF，根据BD=DC推出四边形是平行四边形，求出∠BEC=90°，根据矩形的判定推出即可．14．【答案】证明：在中，有，∵，，∴，∴四边形DEFC是平行四边形，∵，∴四边形是矩形．【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，由，，可得，根据两组对边平行且相等可证四边形DEFC是平行四边形，结合DE⊥AB，可证四边形是矩形．