高中数学2.4 曲线与方程练习题

【特供】2.4 曲线与方程-1课堂练习

一．填空题

1．y＝表示的轨迹图形是           ．

2．已知若关于的方程在（0，4）上有两个实数解，则的取值范围是            

3．曲线绕坐标原点顺时针旋转后得到的曲线的方程为____．

4．曲线在点处的切线方程为            .

5．已知M(－2,0)，N(2,0)，动点满足|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是（   ）

A．双曲线            B．双曲线左边一支

C．一条射线          D．双曲线右边一支

6．已知动点满足，为坐标原点，则的最大值为_________________.

7．已知曲线到两定点距离乘积为常数的动点的轨迹，以下结论正确的是_________.

（1）曲线一定经过原点；

（2）曲线与轴有且只有两个交点；

（3）曲线关于轴对称，但不关于轴对称；

（4）的面积不大于8.

8．设曲线在点处切线与直线垂直，则  

9．数学中有许多形状优美？寓意美好的曲线，曲线就是其中之一.曲线C对应的图象如图所示，下列结论：

①直线AB的方程为：；

②曲线C与圆有2个交点；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积大于12；

④曲线C恰好经过4个整点(即横？纵坐标均为整数的点).

其中正确的是：________.(填写所有正确结论的编号)

10．方程y＝ax2＋bx＋c的曲线经过原点的充要条件           ．

11．若方程仅表示一条直线，则实数的取值范围是________．

12．已知曲线x2－5xy＋y2＋x－2y＝0过点M(x0，－1)，则x0＝           .

13．一条线段AB的长等于2a，两端点A．B分别在x轴．y轴上滑动，点M在线段AB上，且|AM|﹕|MB|＝1﹕2，则点M的轨迹方程为         ．

14．曲线和它关于直线的对称曲线总有四条公切线，则的取值范围____________．

15．坐标平面上有两个定点A．B和动点P，如果直线PA．PB的斜率之积为定值m，则点P的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线.试将正确的序号填在横线上：　　　　　　　　　.

参考答案与试题解析

1．【答案】两条射线

【解析】y＝？y＝＝|x＋1|，

即y＝它表示两条射线．

2．【答案】

【解析】

3．【答案】；

【解析】曲线绕坐标原点顺时针旋转，这个变换可分成两个步骤：先是关于直线对称，再关于轴对称得到.

【详解】

绕坐标原点顺时针旋转90°等同于先关于直线翻折，再关于轴翻折，

关于直线翻折得到，再关于轴翻折得到.

【点睛】

本题表面考查旋转变换，而实质考查的是两次的轴对称变换，要注意指数函数与同底数的对数函数关于直线对称.

4．【答案】

【解析】

5．【答案】C

【解析】由M(－2,0)，N(2,0)，动点满足|PM|－|PN|＝4，可知点P是在射线MN上的点.故选C.

考点：方程与轨迹问题.

6．【答案】

【解析】表示曲线上的任意一点到原点的距离.

当时，化为，曲线上的点到原点的距离的最大值为，

当时，化为，曲线上的点到原点的距离的最大值为，

当时，化为，曲线上的点到原点的距离的最大值为，

当时，化为，曲线上的点到原点的距离的最大值为，

综上可知的最大值为

7．【答案】（2）

【解析】设出点坐标，根据到两点距离乘积为列方程，化简后求得曲线的轨迹方程，由此对四个结论进行分析，从而得出正确结论的序号.

【详解】

设，由于到两点距离乘积为，所以①.

对于（1），将代入①式左边得，故曲线不过原点，（1）错误.

对于（2），对①式令得，由于，所以，所以曲线与轴有两个交点.（2）正确.

对于（4），由于（2）正确，所以不一定能围成三角形，故（4）错误.

对于（3），将代入①得，故曲线关于轴对称.将代入①得，故曲线关于轴对称.故（3）错误.

综上所述，正确结论的序号为（2）.

故填：（2）

【点睛】

本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查化归与转化的数学思想方法，考查曲线的对称性，属于中档题.

8．【答案】

【解析】

9．【答案】②③

【解析】求出点，，结合直线方程的知识可判断①；联立方程可求出交点坐标，即可判断②；在曲线上取点，，，，由可判断③；求出整点即可判断④.

详解：对于①，曲线，

令，则；令，则；

所以点，，所以直线AB的方程为：即，

故①错误；

对于②，由可得或，

所以曲线C与圆有2个交点，，故②正确；

对于③，在曲线上取点，，，，顺次连接各点，如图，

则，

所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于12，故③正确；

对于④，曲线经过的整点有：，，，有6个，故④错误.

故答案为：②③.

【点睛】

本题考查了曲线与方程的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，合理转化条件是解题关键，属于中档题.

10．【答案】c＝0

【解析】把(0，0)代入方程y＝ax2＋bx＋c即可．

11．【答案】或

【解析】先将原方程变形，再分类讨论，即可求得实数的取值范围．

【详解】

原方程可变形为，∴①

显然，时，；

当时，①式右边有两值，则直线不唯一；

当时，①式右边一正一负，负值不满足，

故所求的取值范围是或．

故答案为：或．

【点睛】

本题考查曲线与方程，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．化简或者变形时，注意变形前后的方程的等价性.

12．【答案】－3±

【解析】将y＝－1代入曲线方程，解方程即可．

13．【答案】

【解析】设点的坐标分别为．∵，∴坐标化得

∵|AB|＝2a，∴，即，得点M的轨迹方程为．

考点：求轨迹方程，动点转移法．

【名师点睛】动点P(主动点)在已知曲线上运动,动点M(被动点)依赖点P的运动而运动,这种求轨迹问题所用的方法称为“相关点法”.

其基本步骤为:

(1)设点:设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1);

(2)求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式

(3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程.

14．【答案】

【解析】

15．【答案】①②④⑤

【解析】