高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.1 双曲线的标准方程练习

【名师】2.6.1 双曲线的标准方程课堂练习

一．填空题

1．过点与双曲线有公共渐近线的双曲线方程是______.

2．已知是双曲线：的右焦点，是的左支上一点，点的坐标为，则周长的最小值为_____________.

3．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的方程为_______.

4．已知，分别为双曲线（，）的左．右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．连接，设直线，的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为________．

5．定义：以一双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线：的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点）．则的共轭双曲线的离心率为______．

6．已知双曲线，则渐近线方程为______；离心率e为______.

7．已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是，焦距为，则双曲线的标准方程为_____．

8．已知双曲线：（，），，过点的直线交于，两点，为的中点，且直线与的一条渐近线垂直，则的离心率为________．

9．已知双曲线的一条渐近线过圆的圆心，则双曲线的渐近线方程为______．

10．设是双曲线的右焦点，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则双曲线的渐近线方程是______.

11．已知双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为___________.

12．已知双曲线的左．右焦点分别为，点在双曲线上，且轴．若点使得其中c为双曲线的半焦距，则双曲线的离心率为        ．

13．已知双曲线的左焦点为F，点在双曲线的右支上，，当的周长最小时，的面积为_________.

14．已知，分别是双曲线：的左？右焦点.若双曲线与圆：的一个交点为，且双曲线的渐近线为，则______.

15．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且双曲线的渐近线方程为，则此双曲线方程为_________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：利用待定系数法设出所求双曲线标准方程，再将点代入可解得结果.

详解：设与双曲线有公共渐近线的双曲线标准方程是，

因为双曲线过，所以，即，

所以所求双曲线的标准方程为.

故答案为：.

2．【答案】12

【解析】分析：设左焦点为，由双曲线的定义转化的周长为，即可得解.

详解：由双曲线方程可知，，，故，左焦点，

当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以，

从而的周长为，

因为为定值，

所以当最小时，的周长最小，

此时点在线段与双曲线的交点处，如图所示，

此时，

所以周长的最小值为12.

故答案为:12.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是利用双曲线的性质转化三角形的周长，数形结合即可得解.

3．【答案】

【解析】分析：根据题意可设双曲线的标准方程为，然后将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可求得双曲线的方程.

详解：由题意可知，双曲线的一条渐近线方程为，

设双曲线的方程为，

将点的坐标代入双曲线的方程得，

所以，双曲线的方程为，即为.

故答案为：.

【点睛】

求已知渐近线的双曲线的方程，如果已知渐近线方程为时，可设双曲线方程为，再利用其他条件确定的值，求法的实质是待定系数法．

4．【答案】

【解析】已知焦点，的坐标分别为，，其中．

根据对称性，不妨设点在渐近线上，

则直线的方程为，与联立，

得，所以，由，

得，化简得，故．

故答案为：．

5．【答案】3

【解析】分析：由题意先求出，再根据互为共轭双曲线的方程间的关系求出答案.

详解：双曲线：的渐进线方程为：

所以

对于双曲线，，，由题意得，

由共轭双曲线的定义可知，双曲线：,

与：互为共轭双曲线，

所以的共轭双曲线的离心率为．

故答案为：3

【点睛】

本题考查互为共轭双曲线的定义，考查双曲线的基本几何性质，属于基础题.

6．【答案】     

【解析】分析：由已知得双曲线的焦点在轴上，故其渐近线方程为，离心率

详解：由已知得双曲线的焦点在轴上，，

故其渐近线方程为，即，

离心率.

故答案为：①，②

7．【答案】

【解析】当双曲线的焦点在y轴上时，由且，两式联立解得，，

所以所求双曲线的标准方程为．

综上，所求双曲线的标准方程为．

故答案为：．

8．【答案】

【解析】设点，，代入双曲线的方程得，，两式相减得，即，所以．因为，直线与的一条渐近线垂直，所以，则，所以，所以双曲线的离心率．

9．【答案】

【解析】分析：根据圆的一般方程求解圆心坐标，根据双曲线渐近线方程求解即可.

详解：依题意，圆的圆心为，

故过点，则，

故双曲线的渐近线方程为．

故答案为：．

10．【答案】

【解析】分析：由题意可得，则，设渐近线为的倾斜角为，则可得，，根据二倍角公式可求解.

详解：双曲线C：的渐近线为，

由题意，得，则

在中，，则.

设渐近线为的倾斜角为，即，则，

则在中，，

在中， ，则，即，即，

所以，故双曲线的渐近线方程为：

故答案为：

【点睛】

本题考查求双曲线的渐近线的方程，考查双曲线的几何性质，考查三角函数的二倍角公式的应用，属于中档题.

11．【答案】

【解析】双曲线的一条渐近线过点，可得双曲线的一条渐近线方程，

∴，

∴，

∴.

故答案为：.

12．【答案】

【解析】由题意得，

点在双曲线上，且轴， 解得 （舍去），的离心率为 ．

13．【答案】12

【解析】分析：的周长为，其中为定值，所以即求，利用定义可得，所以周长为，作图当三点共线时周长最短，利用面积分割求得面积.

详解：如图，设双曲线C的右焦点为.由题意可得.

因为点在右支上，所以，所以，则的周长为

，

即当M在处时，的周长最小，此时直线的方程为.

联立，整理得，则，

故的面积为.

故答案为：12

【点睛】

本题考查双曲线数形结合求最值以及求三角形的面积，属于基础题.

方法点睛：（1）双曲线求最值常用定义的方法，把到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离.

（2）圆锥曲线中求三角形的面积经常采用面积分割的方法.

14．【答案】

【解析】分析：由题知为圆的直径，故，又，所以，设，则，代入求解，计算即可得结果.

详解：因为，所以圆：，所以为圆的直径，

故，

又双曲线的渐近线为，则，所以，

设，则，代入得：，解得：，

所以.

故答案为：

15．【答案】

【解析】分析：求出椭圆焦点坐标，即双曲线焦点坐标，有的值，渐近线方程得，利用可解得得双曲线方程．

详解：由题意椭圆焦点为，∴，

设双曲线方程为()，则，由，解得．

∴双曲线方程为．

故答案为：．

【点睛】

易错点睛：本题考查是椭圆与双曲线的综合问题，解题中要注意椭圆有，双曲线中，两者关系不相同，不能混淆．否则易出错．