数学选择性必修 第一册2.4 曲线与方程课时练习

【基础】2.4 曲线与方程-1练习

一．填空题

1．曲线与直线有两个交点,则实数的取值范围是            

2．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美．对称美．和谐美的结合产物，曲线：恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：

①曲线经过5个整点（即横．纵坐标均为整数的点）；

②曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2；

③曲线围成区域的面积大于；

④方程表示的曲线在第二象限和第四象限

其中正确结论的序号是______.

3．若曲线在点处的切线平行于轴,则______

4．在平面直角坐标系中，动点和点．满足，则动点的轨迹方程为__________________．

5．曲线在点（1，2）处的切线方程是            

6．已知动点与两定点连线的斜率之积等于常数，则动点P的轨迹方程为______．

7．设P是曲线上的动点，O为坐标原点，当取得最小值时，点P

的坐标为            

8．曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为____

9．过点作曲线的切线,设该切线与曲线及轴所围图形的面积为则       .

10．已知的顶点．，．分别为．的中点，和 边上的中线交于，且，则点的轨迹方程为

.

11．若曲线经过点和，则________，________.

12．点P(2，－3)在曲线x－ay＝1上，则a＝           .

13．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是           ．

14．已知曲线与曲线怡好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

15．给出下列说法:

①方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线;

②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=-2;

③方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示四个点.

其中正确说法的序号是____.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】

2．【答案】②④

【解析】利用基本不等式得，可判断②；和联立解得可判断①③；由图可判断④.

详解：作出圆和四叶玫瑰线的图示如下图所示：

，解得（当且仅当时取等号），则②正确；

将和联立，解得，即与曲线相切于点，，，，则①和③都错误；

由，得④正确.综上，正确命题为：②④.

故答案为：②④

【点睛】

本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.

3．【答案】-1

【解析】

4．【答案】

【解析】

5．【答案】

【解析】

6．【答案】

【解析】根据化简可得结果.

详解：由题设知直线与的斜率存在且均不为零，

所以，整理得．

所以动点P的轨迹方程为．

故答案为：.

【点睛】

本题考查了求动点的轨迹方程，考查了斜率公式，属于基础题.

7．【答案】

【解析】

8．【答案】

【解析】

9．【答案】

【解析】

10．【答案】

【解析】

11．【答案】    2 

【解析】根据曲线经过点和，将点A，B的坐标代入方程求解.

详解：因为曲线经过点和，

把点A，B的坐标代入已知方程得，

解得.

故答案为（1）；（2）2

【点睛】

本题主要考查曲线与方程以及点与曲线的位置关系，属于基础题.

12．【答案】－

【解析】点P(x0，y0)在曲线上的充要条件是f(x0，y0)＝0.∴2－a·(－3)＝1，∴a＝－.

13．【答案】四个点

【解析】由(x2－4)2＋(y2－4)2＝0得.

14．【答案】C

【解析】

【分析】

利用绝对值的几何意义，由可得，曲线与方程的曲线必相交于，为了使曲线与双曲线恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它公共点，将代入方程，整理可得，分类讨论，可得出结论，根据对称性可得出时的情形.

【详解】

双曲线的方程为，

所以，曲线的图象与曲线的图象必相交于点，

为了使曲线与曲线恰好有两个公共点，

将代入方程，整理可得.

①当时，满足题意；

②当时，由于曲线与曲线恰好有两个公共点，

，且是方程的根，

则，解得.

所以，当时，.

根据对称性可知，当时，可求得.

因此，实数的取值范围是.

故选：C.

15．【答案】③

【解析】根据曲线的方程与方程的曲线进行判断．

【详解】

①方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线上去掉点，故错误；

②到x轴距离为2的点的轨迹方程为，即，故错误；

③方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示四个点，正确．

故答案为③．

【点睛】

本题考查曲线的方程与方程的曲线的概念．曲线的方程是（或方程的曲线是）必须满足两个条件：一是曲线上所有点的坐标都是方程的解，二是以方程的解为坐标的点都在曲线上，二者缺一不可．