第五章综合训练

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第五章综合训练
一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2021江西景德镇高二期末)若f(x)=ln x+x3,则limΔx→0f(1+2Δx)-f(1)Δx=(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
答案D
解析由题意f'(x)=1x+3x2,所以f'(1)=1+3=4,所以limΔx→0f(1+2Δx)-f(1)Δx=2limΔx→0f(1+2Δx)-f(1)2Δx=2f'(1)=8.故选D.
2.(2021河南九师联盟高二联考)已知函数f(x)=2x+3f'(0)·ex,则f'(1)=(　　)
A.32e B.3-2e C.2-3e D.2+3e
答案C
解析因为f'(x)=2+3f'(0)·ex,所以f'(0)=2+3f'(0),所以f'(0)=-1,所以f'(x)=2-3ex,所以f'(1)=2-3e.故选C.
3.曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P0的坐标为(　　)
A.(1,0) B.(2,8)
C.(1,0)或(-1,-4) D.(2,8)或(-1,-4)
答案C
解析依题意令f'(x)=3x2+1=4,解得x=±1,f(1)=0,f(-1)=-4,故点P0的坐标为(1,0)或(-1,-4),故选C.
4.函数f(x)=3x2+ln x-2x的极值点有(　　)
A.0个 B.1个
C.2个 D.无数个
答案A
解析函数定义域为(0,+∞),且f'(x)=6x+1x-2=6x2-2x+1x,令6x2-2x+1=0,则Δ=-20<0,所以f'(x)>0恒成立,即f(x)在定义域上单调递增,无极值点.
5.(2021广西河池高二期末)已知函数f(x)=ln x-ax-2在区间(1,2)上不单调,则实数a的取值范围为(　　)
A.12,1 B.12,1
C.13,12 D.12,23
答案B
解析由f'(x)=1x-a=1-axx可知,当a≤0时函数f(x)在(1,2)上单调递增,不合题意;
当a>0时,函数f(x)的极值点为x=1a,若函数f(x)在区间(1,2)上不单调,必有1<1a<2,解得12 6.(2021天津南开中学高二期中)已知x=2是f(x)=2ln x+ax2-3x的极值点,则f(x)在13,3上的最大值是(　　)
A.2ln 3-92 B.-52
C.-2ln 3-1718 D.2ln 2-4
答案A
解析由题意f'(x)=2x+2ax-3且f'(2)=0,解得a=12,则f'(x)=2x+x-3=x2-3x+2x=(x-1)(x-2)x.
∴当12时,f'(x)>0.
∴在区间13,1,(2,3]上,函数f(x)单调递增;在区间(1,2)上,函数f(x)单调递减.
∵f(3)=2ln 3-92>f(1)=-52,∴f(x)在13,3上的最大值是2ln 3-92.故选A.
7.已知定义在R上的函数f(x)的导数为f'(x),若满足f(x)+xf'(x)>1,则下列结论:①f(-1)>0;②f(1)<0;③2f(-2)>f(-1);④2f(1)>f12.其中正确的个数是(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
答案B
解析令h(x)=xf(x)-x,
则h'(x)=xf'(x)+f(x)-1.
因为函数f(x)满足f(x)+xf'(x)>1,
所以h'(x)>0,所以h(x)在R上是增函数.
因为h(-1)=-f(-1)+1 所以f(-1)>1>0,故①正确.
因为h(1)=f(1)-1>h(0)=0,
所以f(1)>1,故②错误.
因为h(-2)=-2f(-2)+2f(-1)+1>f(-1),故③正确.
因为h(1)=f(1)-1>h12=12f12-12,
所以2f(1)>f12+1>f12,故④正确.故选B.
8.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)=1+x,且f(1)=2,不等式f(x)≥(a+1)x+1有解,则正实数a的取值范围是(　　)
A.(0,e]　　B.(0,e)　　C.0,1e　　D.0,1e
答案C
解析因为f'(x)=1+1x,故f(x)=x+ln x+C,其中C为常数.因f(1)=2,所以C=1,即f(x)=x+ln x+1.
不等式f(x)≥(a+1)x+1有解可化为
x+ln x+1≥(a+1)x+1,即lnxx≥a在(0,+∞)上有解.
令g(x)=lnxx,则g'(x)=1-lnxx2,
当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)在(0,e)上单调递增;
当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)在(e,+∞)上单调递减.
故g(x)max=g(e)=1e,所以0 二、多项选择题(在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)
9.下列结论不正确的是(　　)
A.若y=cos1x,则y'=-1xsin1x
B.若y=sin x2,则y'=2xcos x2
C.若y=cos 5x,则y'=-sin 5x
D.若y=12xsin 2x,则y'=xsin 2x
答案ACD
解析对于A,y=cos1x,则y'=-1x2sin1x,故错误;
对于B,y=sin x2,则y'=2xcos x2,故正确;
对于C,y=cos 5x,则y'=-5sin 5x,故错误;
对于D,y=12xsin 2x,则y'=12sin 2x+xcos 2x,故错误.故选ACD.
10.(2020江苏无锡太湖中学高二期中)如果函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下述结论正确的是(　　)

A.函数y=f(x)在区间(3,5)内单调递增
B.当x=-12时,函数y=f(x)有极大值
C.函数y=f(x)在区间(1,2)内单调递增
D.当x=2时,函数y=f(x)有极大值
答案CD
解析当x∈(-∞,-2)时,函数f(x)单调递减;当x∈(-2,2)时,函数f(x)单调递增;当x∈(2,4)时,函数f(x)单调递减;当x∈(4,+∞)时,函数f(x)单调递增.
因此当x=-2时,函数f(x)取极小值,当x=2时,函数f(x)取极大值;当x=4时,函数f(x)取极小值.结合选项易知,A,B错误,C,D正确,故选CD.
11.(2021广东湛江一模)已知函数f(x)=x3-3ln x-1,则(　　)
A.f(x)的极大值为0
B.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线为x轴
C.f(x)的最小值为0
D.f(x)在定义域内单调
答案BC
解析f(x)=x3-3ln x-1的定义域为(0,+∞),f'(x)=3x2-3x=3x(x3-1).
令f'(x)=3x(x3-1)=0,得x=1.
当x变化时,f(x),f'(x)变化情况如下表:
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
-
0
+
f(x)
单调递减
极小值
单调递增


所以f(x)的极小值也是最小值,最小值为f(1)=0,无极大值,在定义域内不单调,故C正确,A,D错误;对于B,由f(1)=0及f'(1)=0,得y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程y-0=0(x-1),即y=0,故B正确.故选BC.
12.(2020湖南师大附中高二期末)若直线l与曲线C满足下列两个条件:①直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;②曲线C在点P附近位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C.则下列结论正确的是(　　)
A.直线l:y1=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y2=x3
B.直线l:y1=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y2=ln x
C.直线l:y1=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y2=sin x
D.直线l:y1=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y2=tan x
答案ACD
解析A项,因为y'2=3x2,当x=0时,y'2=0,
所以l:y1=0是曲线C:y2=x3在点P(0,0)处的切线.
当x<0时,y2<0;当x>0时,y2>0.
所以曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确.
B项,y'2=1x,当x=1时,y'2=1,在P(1,0)处的切线为l:y1=x-1.
令h(x)=x-1-ln x,
则h'(x)=1-1x=x-1x(x>0),
当x>1时,h'(x)>0;当0 所以h(x)min=h(1)=0.故x-1≥ln x,
即当x>0时,曲线C全部位于直线l的下侧(除切点外),结论错误.
C项,y'2=cos x,当x=0时,y'2=1,在P(0,0)处的切线为l:y1=x,由正弦函数图象可知,曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确.
D项,y'2=1cos2x,当x=0时,y'2=1,在P(0,0)处的切线为l:y1=x,由正切函数图象可知,曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确.故选ACD.
三、填空题
13.若函数f(x)=aln x+bx2+3x的极值点为x1=1,x2=2,则a=　　　　,b=　　　　. 
答案-2　-12
解析f(x)的定义域为(0,+∞).
f'(x)=ax+2bx+3=2bx2+3x+ax.
因为函数f(x)的极值点为x1=1,x2=2,
所以x1=1,x2=2是方程f'(x)=2bx2+3x+ax=0的两个根,即为方程2bx2+3x+a=0的两根.
所以由根与系数的关系知-32b=1+2,a2b=1×2.解得a=-2,b=-12.
14.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元,每年最大规模的种植量是10万斤,每种植1斤藕,成本增加1元.销售额y(单位:万元)与莲藕种植量x(单位:万斤)满足y=-16x3+ax2+x(a为常数),若种植3万斤,利润是232万元,则要使销售利润最大,每年需种植莲藕　　　　　万斤. 
答案8
解析设销售利润为g(x),则g(x)=-16x3+ax2+x-2-x=-16x3+ax2-2(0 因为g(3)=-16×33+a×32-2=232,所以a=2,
则g(x)=-16x3+2x2-2,求导得g'(x)=-12x2+4x=-12x(x-8),
当x∈(0,8)时,g'(x)>0;当x∈(8,10)时,g'(x)<0.
所以g(x)在(0,8)上单调递增,在(8,10)上单调递减,则当x=8时,g(x)取得最大值.
所以要使销售利润最大,每年需种植莲藕8万斤.
15.(2021河北石家庄二中高三测试)根据函数f(x)=sin 2x在原点(0,0)处的切线方程,请你写出与函数f(x)=sin 2x在原点处具有相同切线的一个函数:　　　　　. 
答案y=x2+2x(答案不唯一)
解析由f(x)=sin 2x,得f'(x)=2cos 2x,所以函数f(x)在原点(0,0)处的切线斜率为k=f'(0)=2.因此函数f(x)在原点(0,0)处的切线方程为y=2x.
与函数f(x)=sin 2x在原点处具有相同切线的一个函数只需要满足函数过原点且在原点(0,0)处的导数值为2.由于y=x2+2x,且y'=2x+2,所以函数y=x2+2x在原点(0,0)处的切线方程为y=2x(答案不唯一).
16.已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1,当x∈[2,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 
答案-54,+∞
解析当x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,即x3+3ax2+3x+1≥0,即x+3x+1x2≥-3a.
令g(x)=x+3x+1x2,
则g'(x)=x3-3x-2x3.
令h(x)=x3-3x-2,则h'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
易知h'(x)≥0在x∈[2,+∞)上恒成立,
∴h(x)在x∈[2,+∞)内单调递增,
∴h(x)≥h(2)=0,也就是x3-3x-2≥0在x∈[2,+∞)上恒成立,∴g'(x)≥0在x∈[2,+∞)上恒成立,g(x)在x∈[2,+∞)内单调递增,∴g(x)的最小值为g(2)=154,
-3a≤g(2)=154,解得a≥-54.
四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知函数f(x)=12ex(cos x+sin x)0≤x≤π2.
(1)求函数f(x)的导数f'(x);
(2)求函数f(x)的值域.
解(1)因为f(x)=12ex(cos x+sin x)0≤x≤π2,
所以f'(x)=12ex(cos x+sin x)+12ex(-sin x+cos x)=excos x.故函数f(x)的导数f'(x)=excos x.
(2)因为0≤x≤π2,所以f'(x)=excos x≥0,
函数f(x)在0,π2上单调递增,
所以f(x)min=f(0)=12e0(cos 0+sin 0)=12,f(x)max=fπ2=12eπ2cosπ2+sinπ2=12eπ2.
故函数f(x)的值域为12,12eπ2.
18.(2020江西南昌新建一中高二期末)设函数f(x)=aln x+12x+32x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
解(1)因为f(x)=aln x+12x+32x+1,故f'(x)=ax−12x2+32.由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,故该切线斜率为0,即f'(1)=0,从而a-12+32=0,解得a=-1.
(2)由(1)知f(x)=-ln x+12x+32x+1(x>0),f'(x)=-1x−12x2+32=3x2-2x-12x2=(3x+1)(x-1)2x2,令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-13(因x2=-13不在定义域内,舍去),当x∈(0,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上单调递增.故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3,无极大值.
19.(2021甘肃兰州一中高二月考)已知函数f(x)=x+aln x+1.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为-a+1,求实数a的值.
解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+ax=x+ax.
当a≥0时,f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值;
当a<0时,令f'(x)>0,解得x>-a,令f'(x)<0,解得0 此时f(x)有极小值f(-a)=-a+aln(-a)+1,无极大值.
综上,当a≥0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间,无极值;当a<0时,f(x)的单调递增区间为(-a,+∞),单调递减区间为(0,-a),极小值为f(-a)=-a+aln(-a)+1,无极大值.
(2)f'(x)=1+ax=x+ax,x∈[1,e],由f'(x)=0得x=-a.
①若a≥-1,则x+a≥0,即f'(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上单调递增,∴f(x)min=f(1)=-a+1,即2=-a+1,则a=-1,符合条件;
②若a≤-e,则x+a≤0,即f'(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上单调递减,∴f(x)min=f(e)=-a+1,即e+a+1=-a+1,则a=-e2,不符合条件;
③若-e0,∴f(x)在(-a,e)上单调递增,∴f(x)min=f(-a)=-a+1,即-a+aln(-a)+1=-a+1,则a=-1,不符合条件.综上所述,a=-1.
20.已知函数f(x)=ln x-4ax,g(x)=xf(x).
(1)若a=18,求g(x)的单调区间;
(2)若a>0,求证:f(x)≤14a-2.
(1)解由a=18,得g(x)=xln x-12x2(x>0),
则g'(x)=ln x-x+1.
令h(x)=ln x-x+1,则h'(x)=1-xx.
故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,h(x)max=h(1)=0.
从而当x>0时,g'(x)≤0恒成立,故g(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间.
(2)证明f'(x)=1x-4a=1-4axx.
由a>0,令f'(x)=0,得x=14a,故f(x)在0,14a上单调递增,在14a,+∞上单调递减.
所以f(x)max=f14a=ln14a-1.
只需证明ln14a-1≤14a-2.
令t=14a>0,即证ln t-t+1≤0(*),由(1)易知(*)式成立,故原不等式成立.
21.(2020安徽高二期末)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度),设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
解(1)∵蓄水池的侧面的建造成本为200πrh元,底面的建造成本为160πr2元,
∴蓄水池的总建造成本为(200πrh+160πr2)元,
即200πrh+160πr2=12 000π,
∴h=15r(300-4r2),
∴V(r)=πr2h=πr2×15r(300-4r2)=π5(300r-4r3),
又由r>0,h>0可得0 故函数V(r)的定义域为0,53.
(2)由(1)中V(r)=π5(300r-4r3),0 可得V'(r)=π5(300-12r2)(0 令V'(r)=π5(300-12r2)=0,则r=5,
∴当r∈(0,5)时,V'(r)>0,函数V(r)单调递增,
当r∈(5,53)时,V'(r)<0,函数V(r)单调递减,
所以当r=5,h=8时该蓄水池的体积最大.
22.设函数f(x)=ln x-1-1x.
(1)求证:当x>1时,f(x)>0;
(2)若关于x的不等式lnxx (1)证明∵f(x)=ln x-1-1x,
∴f'(x)=1x−1x2=x-1x2.当x>1时,f'(x)>0.
∴f(x)在(1,+∞)内单调递增,∴f(x)>f(1)=0,得证.
(2)解设h(x)=lnxx-a(x-1),x∈(1,+∞),
则h'(x)=1-lnxx2-a=1-lnx-ax2x2,
当a≥1时,1-ax2<0,ln x>0,∴h'(x)<0,
∴h(x)在x∈(1,+∞)内单调递减,
∴h(x) 当a≤0时,在(1,+∞)内有h(e)=1e-a(e-1)>0,故不合题意;
当01-1x对任意x∈(1,+∞)恒成立;
∴h(x)=lnxx-a(x-1)>1-1xx-a(x-1)=x-1x2-a(x-1)=x-1x2(1-ax2),∴当x∈1,1a时,h(x)≥0,故不合题意.
综上,实数a的取值范围为[1,+∞).