数学必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式随堂练习题

课时跟踪检测（十二） 一元二次不等式的综合问题

层级(一)　“四基”落实练

1．不等式≥0的解集为(　　)

A．{x|1≤x≤2}　　　　　　 B．{x|x≤1或x≥2}

C．{x|1≤x<2}   D．{x|x>2或x≤1}

解析：选D　由题意可知，不等式等价于∴x>2或x≤1.故选D.

2．不等式≥1的解集是(　　)

A．{x|x<－1或－1<x≤2}   B．{x|－1≤x≤2}

C．{x|x≤2}   D．{x|－1<x≤2}

解析：选D　∵≥1，∴－1≥0，∴≥0，

即≤0，等价于(x－2)(x＋1)<0或x－2＝0，

故－1<x≤2.

3．若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为(　　)

A．{x|x>1或x<－2}   B．{x|1<x<2}

C．{x|x>2或x<－1}   D．{x|－1<x<2}

解析：选C　x＝1为ax－b＝0的根，∴a－b＝0，即a＝b，

∵ax－b>0的解集为{x|x>1}，∴a>0，

故＝>0，等价为(x＋1)(x－2)>0.

∴x>2或x<－1.

4．(多选)某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为(　　)

A．12元　　　B．13元      C．14元　　　D．15元

解析：选BCD　设售价定为每件x元，利润为y，

则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，

依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，

即x2－28x＋192<0，解得12<x<16，

所以每件售价应定为12元到16元之间．故选B、C、D.

5．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．{a|－1<a<1}   B．{a|0<a<2}

C.   D.

解析：选C　∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，

∴不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，

即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，

即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，

∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，

解得－<a<，故选C.

6．已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．

解析：因为不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，

所以Δ＝(－a)2－8a＜0，解得0＜a＜8.

答案：{a|0＜a＜8}

7．若关于x的不等式ax＋b＞0的解集为{x|x＞1}，则关于x的不等式＞0的解集为________．

解析：关于x的不等式＞0等价于或又ax＋b＞0的解集为{x|x＞1}，∴解上述不等式组可得或∴x＞6或－1＜x＜1.

故原不等式的解集为{x|x＞6或－1＜x＜1}．

答案：{x|x＞6或－1＜x＜1}

8．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}．

(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；

(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?

解：(1)由题意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，

∴解得a＝3.

∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，

即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>，

∴所求不等式的解集为.

(2)ax2＋bx＋3≥0，即3x2＋bx＋3≥0，

若此不等式解集为R，则Δ＝b2－4×3×3≤0，

∴－6≤b≤6.

层级(二)　能力提升练

1．不等式>0的解集为(　　)

A．{x|x>－1且x≠2}   B．{x|x>－1}

C．{x|－1<x<2}   D．{x|x<－1或x>2}

解析：选A　原不等式可化为>0⇒∴x>－1且x≠2.故选A.

2．(多选)已知不等式x2－2x＋5≥a2－3a对∀x∈R恒成立，则a的可能取值为(　　)

A．－2   B．－1

C．1   D．2

解析：选BCD　∵x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥a2－3a恒成立，

∴a2－3a≤4，即a2－3a－4≤0，

∴(a－4)(a＋1)≤0，∴－1≤a≤4.

结合选项知选B、C、D.

3．不等式ax2－ax＋2≥0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是________．

解析：当a＝0时，不等式等价于2≥0，恒成立，所以a＝0符合条件．

当a≠0时，不等式等价于即解得0＜a≤8，所以a的取值范围是{a|0≤a≤8}．

答案：{a|0≤a≤8}

4．已知关于x的不等式2kx2＋kx－＜0.

(1)若不等式的解集为，求实数k的值；

(2)若不等式的解集为R，求实数k的取值范围．

解：(1)若关于x的不等式2kx2＋kx－＜0的解集为，

则－和1是2kx2＋kx－＝0的两个实数根，

由根与系数的关系可得－×1＝，求得k＝.

(2)当k＝0时，不等式等价于－＜0，显然成立．

当k≠0时，不等式等价于

解得－3＜k＜0.

综上可得实数k的取值范围为{k|－3＜k≤0}．

5．某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为a kW·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.

(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；

(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?

解：(1)设下调后的电价为x元/kW·h，依题意知，用电量增至，电力部门的收益为

y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．

(2)依题意，有

整理，得

解此不等式，得0.60≤x≤0.75.

∴当电价最低定为0.60元/kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.

层级(三)　素养培优练

某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．

(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？

解：(1)由题意得

y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0<x<1)，

整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0<x<1)．

(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，

必须有

即解得0<x<，

所以投入成本增加的比例x的取值范围为.