第二章 章末测试题

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专项培优 2 章末复习课知识网络·形成体系　考点聚焦·分类突破考点一　不等式性质的应用1．利用不等式的性质可以比较两个数或式的大小，可以证明不等式等．另外，作差法、作商法也是常用的比较大小和证明不等式的一种方法．2．通过对不等式性质的考查，提升学生的逻辑推理素养．例1　(1)下列结论正确的是(　　)A．若a＜b，则a＜b B．若a2＞b2，则a＞bC．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac＞bc，则a＞b(2)(多选)下列命题为真命题的有(　　)A．若a＜b＜0, 则a2＜ab＜b2B．若a＜b＜0，则1a＞1bC．若a＞b＞0，c＜d＜0，m＜0，则ma-c＞mb-dD．若a，b，m均为正数，则b+ma+m＞ba考点二　一元二次不等式的解法1．解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的图象与x轴交点的横坐标是联系这三个“二次”的枢纽．(1)确定ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在判别式Δ＞0时解集的结构是关键．在未确定a的取值情况下，应先分a＝0和a≠0两种情况进行讨论．(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a，b，c之间的关系．(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．2．通过对一元二次不等式解法的考查，提升学生逻辑推理、数学运算素养．例2　已知不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．(1)求实数a，b的值；(2)解关于x的不等式cx2－(ac＋b)x＋ab＞0(其中c为实数). 考点三　基本不等式1．基本不等式为ab≤a+b2，其变式为ab≤(a+b2)2，(a+b2)2≤a2+b22等．基本不等式可用来比较代数式的大小、证明不等式、求函数的最值、求字母参数的取值范围、解实际应用题等．2．通过对基本不等式考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．例3　(1)若x＞2，则x＋1x-2的最小值为(　　)A．2　　　 B．3　　　 C．4　　　 D．5(2)(多选)设正实数m，n满足m＋n＝2，则(　　)A. 1m+2n的最小值为22B．m+n的最小值为2C．mn的最大值为1D．m2＋n2的最小值为2专项培优2　章末复习课考点聚集·分类突破例1　解析：(1)a＜b，显然a，b均大于等于0，两边平方得：a＜b，A正确；当a＝－1，b＝0时，满足a2＞b2，但a＜b，B错误；若a＞b，当c＝0时，则ac2＝bc2＝0，C错误；若ac＞bc，当c＜0，则a＜b，D错误．(2)对A，取a＝－2，b＝－1，则a2＞b2.A错误；对B，由a＜b＜0⇒1ab＞0，所以a·1ab＜b·1ab⇒1b＜1a.B正确；对C，由c＜d＜0⇒－c>－d>0，则a－c＞b－d＞0⇒1b-d＞1a-c＞0，又m＜0，所以mb-d＜ma-c.C正确；对D，b+ma+m-ba＝ma-ba+ma，而a，b，m均为正数，但若a＜b⇒a－b＜0，则ma-ba+ma＜0⇒b+ma+m＜ba，D错误．答案：(1)A　(2)BC例2　解析：(1)不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以1和b是方程ax2－3x＋2＝0的解，所以a－3＋2＝0，解得a＝1；由根与系数的关系知1×b＝2a，解得b＝2；所以a＝1，b＝2；(2)由(1)知，不等式cx2－(ac＋b)x＋ab＞0为cx2－(c＋2)x＋2＞0，即(x－1)(cx－2)＞0，当c＝0时，不等式化为－2(x－1)＞0，解得x＜1；当c＜0时，解不等式得2c＜x＜1；当c＞0时，若2c＞1，即0＜c＜2时，解不等式得x＜1或x＞2c，若2c＝1，即c＝2时，解不等式得x≠1，若2c＜1，即c＞2，解不等式得x＜2c或x＞1，综上知，c＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}；c＜0时，不等式的解集为{x|2c＜x＜1}0＜c＜2时，不等式的解集为xx＜1或x＞2c；c＝2时，不等式的解集为{x|x≠1}；c＞2时，不等式的解集为{x|x＜2c或x＞1}．例3　解析：(1)因为x＞2，则x－2＞0，则x＋1x-2＝(x－2)＋1x-2＋2≥2 x-2·1x-2＋2＝4，当且仅当x＝3时，等号成立，故当x＞2时，x＋1x-2的最小值为4.(2)对于选项A，1m+2n＝(m2+n2)(1m+2n)＝mn+n2m+32≥2 mn·n2m+32＝22+32，当且仅当mn＝n2m且m＋n＝2时，即m＝22－2，n＝4－22 时取等号，则A错误；对于选项B，(m+n) 2＝m＋n＋2mn＝2＋2mn≤2＋m＋n＝4，当且仅当m＝n＝1时等号成立，则m+n≤2，即m+n的最大值为2，则B错误；对于选项C，m＋n≥2mn，即mn≤(m+n2)2＝1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，则C正确；对于选项D，m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4－2mn≥4－2(m+n2)2＝2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，则D正确．答案：(1)C　(2)CD