高中2.2 基本不等式同步练习题

这是一份高中2.2 基本不等式同步练习题，共5页。试卷主要包含了思考辨析等内容，欢迎下载使用。

课程标准
(1)了解基本不等式的代数和几何背景．(2)能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．(3)能利用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 基本不等式
如果a，b∈R＋，那么ab________a+b2，当且仅当❶________时，等号成立．其中a+b2叫做正数a，b的____________，ab叫做正数a，b的____________．所以两个正数的________平均数不小于它们的________平均数．
要点二 基本不等式与最值❷
已知x，y都是正数．
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值________．
(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值________．
助 学 批 注
批注❶ “当且仅当”的含义：
(1)当a＝b时，a+b2≥ab的等号成立，即a＝b⇒a+b2＝ab；
(2)仅当a＝b时，a+b2≥ab的等号成立，即a+b2＝ab⇒a＝b.
批注❷ 牢记三个关键词：一正、二定、三相等．
(1)一正：各项必须为正．
(2)二定：各项之和或各项之积为定值．
(3)三相等：必须验证取等号时条件是否具备．
基 础 自 测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是相同的．( )
(2)当a＞0，b＞0时，a＋b≥2ab.( )
(3)当a＞0，b＞0时，ab≤(a+b2)2.( )
(4)函数y＝x＋1x的最小值是2.( )
2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0
3．已知x＞0，则x＋2x的最小值为( )
A．2 B．2 C．22 D．4
4．下列条件中能使ba+ab≥2成立的条件是________
①ab＞0 ②ab＜0 ③a＞0，b＞0 ④a＜0，b＜0
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 利用基本不等式判断命题真假
例1 (1)下列不等式一定成立的是( )
A．x2+14＞x(x＞0)
B．x＋1x≥2(x≠0)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D．1x2+1＞1(x∈R)
(2)(多选)若ab＞0，则下列不等式中恒成立的有( )
A．a2＋b2≥2ab B．a＋b≥2ab
C．(a＋1b)(b＋1a)≥4 D．ba+ab≥2
方法归纳
利用基本不等式判断命题真假的一般步骤
巩固训练1 [2022·湖南岳阳高一期末]若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式恒成立的是( )
A．a＋b≥2ab B．1a+1b≥2ab
C．ba+ab≤2 D．a2＋b2≥2ab
题型 2 直接利用基本不等式求最值
例2 (1)已知a＞0，b＞0，ab＝36，求a＋b的最小值．
(2)已知a＞0，b＞0，a＋b＝18，求ab的最大值．
方法归纳
利用基本不等式求最值的策略
巩固训练2 (1)已知正数a，b满足a＋b＝4，则ab的最大值为( )
A．2 B．1
C．2 D．4
(2)已知x<0，求函数y＝x＋1x的最大值．
题型 3 利用基本不等式证明不等式
例3 已知a、b、c为正数，求证b+c-aa+c+a-bb+a+b-cc≥3.
方法归纳
利用基本不等式证明不等式的方法
利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形等，使之转化为能使用基本不等式的形式．
巩固训练3 已知a，b，c＞0，求证：a2b+b2c+c2a≥a＋b＋c.
第1课时 基本不等式
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
≤ a＝b 算术平均数 几何平均数 算术 几何
要点二
(1)14S2 (2)2P
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0即a＝1时，“＝”成立．
答案：B
3．解析：因为x＞0，则x＋2x≥ 2x·2x＝22，当且仅当x＝2x，即x＝2时取“＝”，所以x＋2x的最小值为22.
答案：C
4．解析：要使ba+ab≥2成立，只需ba＞0，ab＞0即可，此时ba+ab≥2 ba·ab＝2，当且仅当ba＝ab等号成立，若ba＜0，则不等式不成立，即只需a，b同号即可，故选项①③④满足．
答案：①③④
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)选项A中，x2＋14≥x(当且仅当x＝12时，x2＋14＝x)，故选项A不正确；选项B中，x＋1x≥2(x>0)，x＋1x≤－2(x<0)，故选项B不正确；选项C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R)，故选项C正确；选项D中，x2＋1≥1，则0<1x2+1≤1，故选项D不正确．
(2)A.因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab恒成立，
B．当a＜0，b＜0时，显然ab>0成立，但是a＋b≥2ab不成立，
C．因为ab＞0，所以(a＋1b)(b＋1a)＝ab＋1ab＋2≥2ab·1ab＋2＝4
(当且仅当ab＝1ab时取等号，即ab＝1时取等号)，所以本选项符合题意，
D．因为ab＞0，所以ba+ab≥2 ba·ab＝2(当且仅当ba＝ab时取等号，即a＝b＞0或a＝b＜0时取等号)，所以本选项符合题意．
答案：(1)C (2)ACD
巩固训练1 解析：由于ab＞0，可知a与b同号，显然当a＜0，b＜0时，选项A，B中的不等式不成立，所以选项A，B错误；
由ab＞0，得ba＞0，ab＞0，所以ba+ab≥2 ba·ab＝2，选项C错误；
显然∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab，选项D正确．
答案：D
例2 解析：(1)∵a+b2≥ab，
∴a＋b≥2ab＝236＝12，
(当且仅当a＝b＝6时取等号)
故a＋b的最小值为12.
(2)∵ab≤a+b2，
∴ab≤(a+b2)2＝(182)2＝81，
(当且仅当a＝b＝9时取等号)
故ab的最大值为81.
巩固训练2 解析：(1)当a，b为正实数时，由ab≤a+b2，得ab≤(a+b2)2＝(42)2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，
∴ab的最大值为4.
(2)x<0，－x>0，－x＋1-x≥2，∴x＋1x≤－2，
当且仅当－x＝1-x，即x＝－1时取得最大值－2.
答案：(1)D (2)见解析
例3 证明：∵ba+ab≥2 ba·ab＝2同理可证，ca+ac≥2，cb+bc≥2，
∴(ba+ab)＋(ca+ac)＋(cb+bc)≥2＋2＋2＝6，
∴ba+ca－1＋cb+ab－1＋ac+bc－1≥3，
即：b+c-aa+c+a-bb+a+b-cc≥3.
巩固训练3 证明：∵a，b，c，a2b，b2c，c2a均大于0，
∴a2b＋b≥2 a2b·b＝2a.
当且仅当a2b＝b时等号成立．即a＝b，
b2c＋c≥2 b2c·c＝2b.
当且仅当b2c＝c时等号成立．即b＝c，
c2a＋a≥2 c2a·a＝2c，
当且仅当c2a＝a时等号成立．即a＝c，
相加得a2b＋b＋b2c＋c＋c2a＋a≥2a＋2b＋2c，
∴a2b+b2c+c2a≥a＋b＋c.(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)