高中数学北师大版必修11正整数指数函数第2课时同步训练题

这是一份高中数学北师大版必修11正整数指数函数第2课时同步训练题，共22页。试卷主要包含了1　指数函数的概念，已知a=0，已知定义在R上的偶函数f满足等内容，欢迎下载使用。

第三章　指数函数和对数函数
§3　指数函数
第3.1　指数函数的概念
第3.2　指数函数y=2x和y=12x的图像和性质
第3.3　指数函数的图像和性质
第2课时　指数函数的性质及其应用
基础过关练
题组一　指数型函数的单调性及其应用
1.已知a=5-12,函数f(x)=ax,若实数m、n满足f(m)>f(n),则m、n的关系为 (　　)
A.m+n<0 B.m+n>0 C.m>n D.m 2.(2020湖南长郡中学高一下联考)已知a=0.30.6,b=0.30.5,c=0.40.5,则 (　　)
A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a
3.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)1-x在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是 (　　)
A.12,1 B.0,12 C.[0,1] D.(0,1]
4.(2021山西大学附中高一上期中)函数f(x)=13-x2+2x的单调递增区间为　　　　. 
5.若函数y=|2x-1|在(-∞,m]上单调递减,则m的取值范围是　　　　. 
6.已知定义在R上的偶函数f(x)满足:当x≥0时, f(x)=2x+a2x, f(1)=52.
(1)求实数a的值;
(2)用定义法证明f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)求函数f(x)在[-1,2]上的值域.







题组二　含指数的方程与不等式
7.方程4x-3·2x+2=0的解构成的集合为 (　　)
A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{1,2}
8.(2020湖南株洲高一下调研)设集合M={x|-1 A.(-1,0) B.[0,3]
C.[1,3] D.[3,+∞)
9.若132a+1<133-2a,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(1,+∞) B.12,+∞
C.(-∞,1) D.-∞,12
10.(2020广东深圳高一上期末)设函数f(x)=-x+1,x<0,2-x,x≥0,则f(x)≤14的解集是　　　　. 
11.已知集合A=x|12≤2x-4<4,B={x|x2-11x+18<0}.
(1)求∁R(A∩B);
(2)已知C={x|a















12.已知函数y=22x-1-3·2x+5.
(1)如果y<13,求x的取值范围;
(2)如果0≤x≤2,求y的取值范围.















题组三　指数型函数的应用
13.已知函数f(x)=3x-13x,则f(x)是 (　　)
A.奇函数,且在R上是增函数
B.偶函数,且在R上是增函数
C.奇函数,且在R上是减函数
D.偶函数,且在R上是减函数
14.某种细菌在培养过程中,每15 min分裂一次(由1个分裂成2个),这种细菌由1个分裂成4 096个需经过 (　　)
A.12 h B.4 h C.3 h D.2 h
15.函数f(x)=13x+1+a是奇函数,则实数a的值是 (　　)
A.0 B.12 C.-12 D.1
16.若定义运算:f(a*b)=b,a≥b,a,a A.(0,1] B.[1,+∞)
C.(0,+∞) D.(-∞,+∞)
17.某林区2020年木材蓄积量为200万立方米,由于采取了封山育林、严禁采伐等措施,木材蓄积量的年平均增长率能达到5%,试问经过多少年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米?(参考数据:1.058≈1.48,1.059≈1.55)












18.已知函数f(x)=3x-13x+1.
(1)证明f(x)为奇函数;
(2)判断f(x)的单调性,并用定义加以证明;
(3)求f(x)的值域.














19.设函数f(x)=1210-ax,a是不为零的常数.
(1)若f(3)=12,求使f(x)≥4的x的取值范围;
(2)当x∈[-1,2]时, f(x)的最大值是16,求a的值.











能力提升练
一、选择题
1.()函数y=ex-e-x的图像为 (　　)

2.(2019山西大学附中高一上期中,)已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则a、b、c的大小关系是 (　　)
A.a>b>c B.c>a>b
C.b>a>c D.c>b>a
3.(2021河北安平中学高一上月考,)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=19,则f(x)的单调递减区间是 (　　)
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
4.()已知函数f(x)=ax-2(a>0,且a≠1), f(x0)=0且x0∈(0,1),则　 (　　)
A.12 C.a≥2 D.a=2
5.(2021广东汕头澄海中学高一上期中,)若不等式3x2-2ax>13x+1对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围为 (　　)
A.-12,32
B.-12,32
C.-∞,-12∪32,+∞
D.-∞,-12∪32,+∞
6.(2019福建福州八县(市)一中高一上期末联考,)已知集合A={x|x>1},B=x|12x>14,则A∩B=　 (　　)
A.R B.(1,+∞)
C.(-∞,2) D.(1,2)
7.(2020湖北黄冈育才高中高一上期中,)设函数f(x)=2-x,x≤0,1,x>0,则满足f(x+1) A.(-∞,-1] B.(0,+∞)
C.(-1,0 D.(-∞,0)
8.(2021山西运城高中联合体高一上12月段测,)若函数f(x)=a2x2-ax+1(a>0,且a≠1)在区间(1,3)上单调递增,则实数a的取值范围为 (　　)
A.(1,2) B.(0,1) C.(1,4] D.[4,+∞)
9.(2021河北定州二中高一上月考,)若一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL之后停止喝酒,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL,那么这个人至少经过　　　　小时才能开车(精确到1小时) (　　) 
A.3 B.4 C.5 D.6
10.()已知y=f(x+1)是偶函数,且当x<1时, f(x)是减函数,则f(2x)与f(3x)的大小关系为 (　　)
A.f(2x)>f(3x) B.f(2x) 二、填空题
11.(2019浙江温州十五校联合体高一上期中联考,)设函数f(x)=ex-e-x2,函数g(x)=ex+e-x2,则f(-x)g(-x)+f(x)g(x)=　　　　. 
12.(2019湖南长郡中学高一上第一次模块检测,)已知函数f(x)=ax,x>1,4-a2x+2,x≤1是R上的增函数,则实数a的取值范围是　　　　. 
13.()函数f(x)=ex-e-xex+e-x+2,若有f(a)+f(a-2)>4,则a的取值范围是　　　　. 
三、解答题
14.()已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时, f(x)=e-x.
(1)求函数f(x)在R上的解析式,并作出函数f(x)的大致图像;
(2)根据图像写出函数f(x)的单调区间和值域.



15.()已知定义域为R的函数f(x)=-2x+a2x+1是奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)用定义证明:函数f(x)在R上是减函数.









16.()设函数f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0,且a≠1)是定义域为R的奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)若f(1)<0,求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0恒成立的实数t的取值范围;
(3)若f(1)=32,g(x)=a2x+a-2x-2mf(x),且g(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,求实数m的值.











17.(2019河南郑州高一上期末,)设函数f(x)=2kx2+x(k为实常数)为奇函数,函数g(x)=af(x)+1(a>0,且a≠1).
(1)求k的值;
(2)求函数g(x)在[-2,1]上的最大值和最小值;
(3)当a=2时,g(x)≤-2mt+3对所有的x∈[-1,0]及m∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围.








答案全解全析
第三章　指数函数和对数函数
§3　指数函数
第3.1　指数函数的概念
第3.2　指数函数y=2x和
y=12x的图像和性质
第3.3　指数函数的图像和性质
第2课时　指数函数的性质
及其应用
基础过关练
1.D
2.D
3.D
7.C
8.B
9.B
13.A
14.C
15.C
16.A
1.D　∵0<5-12<1,∴f(x)=ax=5-12x在R上单调递减,又∵f(m)>f(n),∴m 2.D　根据函数y=0.3x单调递减,知a=0.30.6 根据函数y=x0.5单调递增,知b=0.30.5b>a.故选D.
3.D　由f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2在区间[1,2]上递减得a≤1,由g(x)=(a+1)1-x在区间[1,2]上递减得a+1>1,解得a>0.因此a的取值范围是(0,1],故选D.
4.答案　[1,+∞)
解析　函数f(x)的定义域为R,设u=g(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,则函数u在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减,而y=13u为减函数,所以函数f(x)=13-x2+2x的单调递增区间为[1,+∞).
5.答案　(-∞,0]
解析　在平面直角坐标系中作出y=2x的图像,把图像沿y轴向下平移1个单位长度得到y=2x-1的图像,再把y=2x-1的图像在x轴下方的部分关于x轴翻折,其余部分不变,如图实线部分,得到y=|2x-1|的图像.由图可知y=|2x-1|在(-∞,0]上单调递减,∴m∈(-∞,0].

6.解析　(1)由题意得f(1)=2+a2=52,
∴a=1.
(2)证明:由(1)可知a=1,∴f(x)=2x+12x.
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1 f(x1)-f(x2)=2x1+12x1-2x2+12x2=2x1-2x2+2x2-2x12x1·2x2=(2x1-2x2)(2x1+x2-1)2x1+x2.
∵01,
即2x1-2x2<0,2x1+x2-1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1) ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(3)∵函数f(x)为偶函数,
且在[0,+∞)上是增函数,
∴f(x)在(-∞,0]上是减函数,
∴在区间[-1,2]上, f(x)min=f(0)=2,
又∵f(2)=174, f(-1)=52,174>52,
∴在区间[-1,2]上, f(x)max=f(2)=174,
∴f(x)在[-1,2]上的值域为2,174.
7.C　令2x=t(t>0),则4x=(2x)2=t2,
原方程可化为t2-3t+2=0,解得t=1或t=2.
当t=1时,2x=1=20,解得x=0;
当t=2时,2x=2=21,解得x=1.
因此原方程的解构成的集合为{0,1},
故选C.
8.B　∵N={x|2x≥1}={x|2x≥20}={x|x≥0},M={x|-1 9.B　∵函数y=13x在R上为减函数,
∴2a+1>3-2a,∴a>12.
10.答案　[2,+∞)
解析　当x<0时,f(x)≤14⇔-x+1≤14,解集为⌀;
当x≥0时,f(x)≤14⇔2-x≤14,解得x≥2,所以不等式的解集是[2,+∞).
11.解析　由12≤2x-4<4得2-1≤2x-4<22,
因此-1≤x-4<2,即3≤x<6,
∴A={x|3≤x<6}.
由x2-11x+18<0得(x-2)(x-9)<0,
解得2 (1)∵A∩B={x|3≤x<6},
∴∁R(A∩B)={x|x<3或x≥6}.
(2)∵a+1>a恒成立,∴C≠⌀.
由C⊆B,且C≠⌀得a≥2,a+1≤9,解得2≤a≤8,故实数a的取值集合为{a|2≤a≤8}.
12.解析　由题意知y=12·(2x)2-3·2x+5.
(1)由y<13,得(2x)2-6·2x-16<0,
所以(2x-8)(2x+2)<0.
因为2x+2>0,所以2x-8<0,解得x<3,
所以x的取值范围为(-∞,3).
(2)因为0≤x≤2,所以1≤2x≤4,
又因为y=12(2x-3)2+12,
所以当2x=3时,y取得最小值,
且最小值为12;
当2x=1时,y取得最大值,
且最大值为52,
所以y的取值范围为12,52.
13.A　易知f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=3-x-13-x=13x-3x=-f(x),∴f(x)是奇函数,又y=3x是增函数,且y=13x是减函数,从而y=-13x是增函数,∴f(x)=3x-13x是R上的增函数,故选A.
14.C　设这种细菌由1个分裂成4 096个需分裂x次,则4 096=2x,解得x=12,故这种细菌由1个分裂成4 096个需经过15×12=180 (min),即3 h,故选C.
15.C　函数f(x)=13x+1+a的定义域为R,因此f(0)=0,即130+1+a=0,解得a=-12.
此时, f(x)=13x+1-12=1-3x2(3x+1)符合题意,故选C.
16.A　由定义可知该函数是求a,b中较小的那一个,所以分别画出y=3x与y=3-x=13x的图像,如图所示,实线部分为函数f(3x*3-x)的图像.

由图像知,函数f(3x*3-x)的值域是(0,1],故选A.
17.信息提取　①2020年木材蓄积量为200万立方米; ②木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.
数学建模　本题以木材蓄积量的增长为背景,构建指数型函数模型,利用指数函数知识来解决实际问题.对于增长率问题一般建立指数型函数模型,此时还要注意实际问题中函数的定义域.
解析　现有木材蓄积量为200万立方米,
经过1年后木材蓄积量为200+200×5%=200(1+5%);
经过2年后木材蓄积量为200(1+5%)+200(1+5%)×5%=200(1+5%)2;
……
经过x年后木材蓄积量为y=200(1+5%)x(x≥0),
由于200×1.058≈296<300,200×1.059≈310>300,故经过9年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米.
方法技巧
由于增长率问题多抽象为指数函数形式,而由指数函数形式来确定相关量的值时计算量大,因此常采用近似计算的方法求解.
18.解析　(1)证明:由题意知f(x)的定义域为R,关于原点对称, f(-x)=3-x-13-x+1=(3-x-1)·3x(3-x+1)·3x=1-3x1+3x=-f(x),∴f(x)为奇函数.
(2)f(x)在定义域上是增函数.证明如下:
任取x1,x2∈R,且x1 则f(x2)-f(x1)=3x2-13x2+1-3x1-13x1+1=1-23x2+1-1-23x1+1=2(3x2-3x1)(3x1+1)(3x2+1).
∵x10,3x1+1>0,3x2+1>0,
∴f(x2)-f(x1)>0,∴f(x2)>f(x1),
∴f(x)为R上的增函数.
(3)由题得f(x)=3x-13x+1=1-23x+1.
∵3x>0⇒3x+1>1⇒0<23x+1<2⇒-2<-23x+1<0,∴-1<1-23x+1<1,
即f(x)的值域为(-1,1).
19.解析　(1)由f(3)=12得a=3,不等式f(x)≥4可化为23x-10≥22,
由此可得3x-10≥2,∴x≥4,
故x的取值范围是[4,+∞).
(2)当a>0时, f(x)=1210-ax=2ax-10是增函数,则当x∈[-1,2]时, f(x)max=f(2)=22a-10=16,所以a=7;
当a<0时, f(x)=1210-ax=2ax-10是减函数,则当x∈[-1,2]时, f(x)max=f(-1)=2-a-10=16,所以a=-14.
综上,a=-14或a=7.


能力提升练
1.A
2.B
3.B
4.B
5.A
6.D
7.D
8.C
9.C
10.C

一、选择题
1.A　设f(x)=ex-e-x,由定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=-f(x)知,函数f(x)是R上的奇函数,又f(x)=ex-e-x是增函数,故选A.
2.B　∵y=0.8x在R上是减函数,且0<0.7<0.9,∴0.80.9<0.80.7<0.80=1.
又y=1.2x在R上是增函数,且0.8>0,
∴1.20<1.20.8,即1<1.20.8.
综上所述,b 3.B　由f(1)=19得a2=19,∴a=13或a=-13(舍去),即f(x)=13|2x-4|.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.
4.B　∵x0∈(0,1), f(x0)=0,且函数f(x)是单调函数,∴f(0)·f(1)<0,∴(1-2)(a-2)<0,∴a>2.故选B.
5.A　因为不等式3x2-2ax>13x+1对一切实数x恒成立,所以3x2-2ax>(3-1)x+1对一切实数x恒成立,即x2-2ax>-x-1对一切实数x恒成立,所以x2+(1-2a)x+1>0对一切实数x恒成立,故Δ=(1-2a)2-4<0,解得-12 6.D　∵集合B=x|12x>14=x12x>122={x|x<2},
∴A∩B={x|1 7.D　作出函数f(x)的图像如图,观察图像可知,有2x<0,2x
8.C　根据复合函数的单调性可知,当0 当a>1时,f(x)在-∞,a4上单调递减,在a4,+∞上单调递增.
因为函数f(x)在(1,3)上单调递增,所以a>1,a4≤1,解得1 9.答案　C
信息提取　①某人血液中的酒精含量为0.3 mg/mL;②血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少;③规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL.
数学建模　本题以酒后多少小时才能安全驾驶为背景,构建指数型函数模型,通过列不等式求解.
解析　设这个人经过x小时后才能开车,则有0.3×(1-0.25)x≤0.09,
即34x≤0.3,当x=3或x=4时不等式不成立,当x=5时,不等式成立,故x的最小值为5.
故选C.
10.C　由y=f(x+1)是偶函数得, f(1+x)=f(1-x),从而f(x)的图像关于直线x=1对称,
又∵f(x)在x<1时是减函数,
∴当x>1时, f(x)是增函数.
当x<0时,0<3x<2x<1,从而f(3x)>f(2x);
当x>0时,1<2x<3x,从而f(3x)>f(2x);
当x=0时,2x=3x=1,从而f(3x)=f(2x).
综上所述, f(2x)≤f(3x),故选C.

二、填空题
11.答案　0
解析　依题意得f(-x)=e-x-ex2=-f(x),
g(-x)=e-x+ex2=g(x),
∴f(-x)g(-x)+f(x)g(x)=-f(x)g(x)+f(x)g(x)=0.
12.答案　[4,8)
解析　当x>1时, f(x)=ax是增函数,
∴a>1.①
当x≤1时, f(x)=4-a2x+2是增函数,
∴4-a2>0,解得a<8.②
又f(x)在R上是增函数,
∴4-a2×1+2≤a1,
解得a≥4.③
由①②③得4≤a<8,
故实数a的取值范围是[4,8).
13.答案　(1,+∞)
解析　设F(x)=f(x)-2,则F(x)=ex-e-xex+e-x,易知F(x)是奇函数,且F(x)=ex-e-xex+e-x=e2x-1e2x+1=1-2e2x+1在R上是增函数,
由f(a)+f(a-2)>4得F(a)+F(a-2)>0,于是可得F(a)>F(2-a),即a>2-a,解得a>1.

三、解答题
14.解析　(1)当x<0时,-x>0,所以f(-x)=ex.
因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=ex(x<0),所以f(x)=ex,x<0,e-x,x≥0.
作出大致图像如图所示:

(2)由图像得,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是[0,+∞),值域是(0,1].
15.解析　(1)因为函数f(x)=-2x+a2x+1在R上是奇函数,所以f(0)=0,即a-12=0,所以a=1,此时f(x)=-2x+12x+1是奇函数,满足题意.
(2)证明:由(1)知f(x)=-2x+12x+1=-1+22x+1,任取x1,x2∈R,且x1 因为x10,
又2x1>0,2x2>0,
所以f(x1)-f(x2)=2(2x2-2x1)(2x1+1)(2x2+1)>0,
所以f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)在R上是减函数.
16.解析　(1)∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,
∴k=2.此时f(x)=ax-a-x为奇函数,
∴k=2符合题意.
(2)由(1)得f(x)=ax-a-x.
∵f(1)<0,∴a-1a<0,∴0 ∴f(x)在R上为减函数,
又∵f(x2+tx)+f(4-x)<0在R上恒成立,即f(x2+tx) ∴x2+tx>x-4在R上恒成立,
∴x2+(t-1)x+4>0在R上恒成立,
∴Δ<0,即(t-1)2-4×1×4<0,解得-3 ∴t的取值范围为(-3,5).
(3)∵f(1)=32,∴a=2,∴g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x).令t=2x-2-x,则h(t)=t2-2mt+2.∵x≥1,∴t≥32.函数g(x)在[1,+∞)上的最小值为-2可转化为函数h(t)=t2-2mt+2在区间32,+∞上的最小值为-2,当m≤32时,h(t)在区间32,+∞上单调递增,∴h(t)min=h32=-2,解得m=2512,舍去;当m>32时,h(t)在区间32,m上单调递减,在区间[m,+∞)上单调递增,∴h(t)min=h(m)=-2,解得m=2(负值舍去).综上所述,m=2.
17.解析　(1)因为函数f(x)=2kx2+x(k为实常数)为奇函数,
所以f(-x)=-f(x),即2kx2-x=-2kx2-x,所以k=0.
(2)由(1)知,g(x)=af(x)+1=ax+1(a>0,且a≠1).
当a>1时,g(x)在[-2,1]上是增函数,
g(x)的最大值为g(1)=a+1,g(x)的最小值为g(-2)=1a2+1;
当0 g(x)的最大值为g(-2)=1a2+1,g(x)的最小值为g(1)=a+1.
(3)当a=2时,g(x)=2x+1在[-1,0]上是增函数,则g(x)≤g(0)=2,
所以-2mt+3≥2,即2mt-1≤0对所有的m∈[-1,1]恒成立,
令h(m)=2tm-1,
则ℎ(-1)≤0,ℎ(1)≤0,即-2t-1≤0,2t-1≤0,
解得-12≤t≤12,
故实数t的取值范围是-12,12.