高中数学人教版新课标A必修12.1.2指数函数及其性质第2课时精练

第二章　基本初等函数(Ⅰ)

2.1　指数函数

2.1.2　指数函数及其性质

第2课时　指数函数的性质及其应用

基础过关练

题组一　指数型函数的单调性及其应用

1.设y1=40.9,y2=,y3=,则(　　)

A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3

C.y1>y3>y2 D.y3>y2>y1

2.若函数f(x)=在定义域上单调递增,则实数a的取值范围是(　　)

A.,3 B.,3

C.(1,3) D.(2,3)

3.函数f(x)=(-1的单调增区间为　　　　. 

4.若函数y=|2x-1|在(-∞,m]上单调递减,则m的取值范围是　　　　. 

5.(1)判断f(x)= 的单调性,并求其值域;

(2)求函数y= (a>0,且a≠1)的单调区间.

题组二　指数方程与指数不等式

6.方程4x-3·2x+2=0的解构成的集合为(　　)

A.{0} B.{1} 

C.{0,1} D.{1,2}

7.(2018湖北武汉外国语学校高一上期末)已知集合M={-1,1,2,4},N=,则M∩N=(　　)

A.{-1,1,2} B.{4}

C.{1,2} D.{x|-1≤x≤2}

8.若<,则实数a的取值范围是(　　)

A.(1,+∞) B.

C.(-∞,1) D.

9.(2020广东珠海高一上期末学业质量检测)已知函数f(x)满足f(x+1)的定义域是[0,31),则f(2x)的定义域是(　　)

A.[1,32) B.[-1,30)

C.[0,5) D.(-∞,log230)10.已知函数f(x)=2x,g(x)=+2,当f(x)=g(x)时,求2x的值.

11.已知函数f(x)=2x+b的图象经过定点(2,8).

(1)求实数b的值;

(2)求不等式f(x)>的解集.

题组三　指数型函数的应用

12.若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则(　　)

A.f(x)与g(x)均为偶函数

B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数

C.f(x)与g(x)均为奇函数

D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数

13.(2020浙江杭州高级中学高一上期末)函数f(x)=的单调增区间为　　　　;奇偶性为　　　　(填奇函数、偶函数或者非奇非偶函数). 

14.设函数f(x)=,a是不为零的常数.

(1)若f(3)=,求使f(x)≥4的x的取值范围;

(2)当x∈[-1,2]时, f(x)的最大值是16,求a的值.

能力提升练

一、选择题

1.(2020浙江温州十五校联合体高一上期中联考,★★☆)函数f(x)=的定义域为(　　)

A.[-1,0)∪(0,+∞) B.(-1,+∞)

C.[-1,+∞) D.(0,+∞)

2.(2020甘肃兰州一中高一月考,★★☆)若≤的解集是函数y=2x的定义域,则函数y=2x的值域是(　　)

A. B.

C. D.[2,+∞)

3.(2020福建厦外高一上期中,★★☆)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是(　　)

4.(2020安徽安庆高一上期末教学质量调研监测,★★☆)某数学课外兴趣小组对函数f(x)=2|x-1|的图象与性质进行了探究,得到下列四条结论:①该函数的值域为(0,+∞);②该函数在区间[0,+∞)上单调递增;③ 该函数的图象关于直线x=1对称;④该函数的图象与直线y=-a2(a∈R)不可能有交点.则其中正确结论的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

5.(2020江苏如东高级中学高一上阶段性测试,★★★)函数f(x)=-a2x-1+5ax-8(a>0,a≠1)在[2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围为(　　)

A.(0,1)∪ B.∪(1,+∞)

C.(0,1)∪ D.

6.(2020陕西西安中学高一上期中,★★★)已知实数a,b满足等式2 020a=2 019b,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b=0,其中不可能成立的关系式有(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二、填空题

7.(★★☆)函数y=的单调递增区间为　　　　. 

8.(2020山东烟台高一上期末,★★☆)已知函数f(x)=3|x+a|(a∈R)满足f(x)=f(2-x),则实数a的值为　　　　;若f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于　　　　. 

9.(2019湖南长郡中学高一上第一次模块检测,★★☆)已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是　　　　. 

10.(★★★)已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,a>0,且a≠1)的图象经过A(1,6),B(2,18).若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,则实数m的最大值为　　　　. 

三、解答题

11.(2020山东泰安一中高一上期中,★★☆)已知函数f(x)=a+.

(1)求f(x)的定义域;

(2)若 f(x)为奇函数,求a的值,并求f(x)的值域.

12.(2020山东泰安高一上期末,★★☆)已知函数f(x)=+m,m∈R.

(1)判断函数f(x)在(-∞,0)上的单调性,并证明你的结论;

(2)是否存在m,使得f(x)为奇函数?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

13.(★★☆)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时, f(x)=e-x(e为自然对数的底数).

(1)求函数f(x)在R上的解析式,并作出函数f(x)的大致图象;

(2)根据图象写出函数f(x)的单调区间和值域.

14.(★★★)设函数f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0,且a≠1)是定义域为R的奇函数.

(1)求实数k的值;

(2)若f(1)<0,求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0恒成立的实数t的取值范围;

(3)若f(1)=,g(x)=a2x+a-2x-2mf(x),且g(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,求实数m的值.

15.(2019河南郑州高一上期末,★★★)设函数f(x)=2kx2+x(k为常实数)为奇函数,函数g(x)=af(x)+1(a>0,且a≠1).

(1)求k的值;

(2)求函数g(x)在[-2,1]上的最大值和最小值;

(3)当a=2时,g(x)≤-2mt+3对所有的x∈[-1,0]及m∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围.

第二章　基本初等函数(Ⅰ)

2.1　指数函数

2.1.2　指数函数及其性质

第2课时　指数函数的性质

及其应用

基础过关练

1.B　由题意知,y1=40.9=21.8,y2=80.61=23×0.61=21.83,y3==21.5,∵y=2x在R上是增函数,∴y2>y1>y3.故选B.

2.B　由函数f(x)=在定义域上单调递增,可得

解得3>a≥.

所以实数a的取值范围是,3 .

3.答案　(-∞,1]

解析　设u=x2-2x-3,则y=(-1)u.由0<-1<1得y=(-1)u是减函数,又u=x2-2x-3=(x-1)2-4在(-∞,1]上是减函数,因此y=f(x)在(-∞,1]上递增.

4.答案　(-∞,0]

解析　在平面直角坐标系中作出y=2x的图象,把图象沿y轴向下平移1个单位得到y=2x-1的图象,再把y=2x-1的图象在x轴下方的部分关于x轴翻折,其余部分不变,得到y=|2x-1|的图象,如图实线部分,由图可知,y=|2x-1|在(-∞,0]上单调递减,∴m∈(-∞,0].

5.解析　(1)令u=x2-2x,易知u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.又0<<1,所以y=在R上单调递减.根据“同增异减”规律可得,f(x)=在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减.

因为u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,所以y=u,u∈[-1,+∞),所以0<u≤-1=3,由此可得函数f(x)的值域为(0,3].

(2)令u=x2+2x-3,则y=au(a>0,且a≠1),

由u=x2+2x-3=(x+1)2-4,得u=x2+2x-3在(-∞,-1]上为减函数,在[-1,+∞)上为增函数.

当a>1时,y=au在R上为增函数,此时函数y= 的增区间为[-1,+∞),减区间为(-∞,-1];当0<a<1时,y=au在R上为减函数,此时函数y= 的增区间为(-∞,-1],减区间为[-1,+∞).

6.C　令2x=t(t>0),则4x=(2x)2=t2,

原方程可化为t2-3t+2=0,

解得t=1或t=2.

当t=1时,2x=1=20,解得x=0;

当t=2时,2x=2=21,解得x=1.

因此原方程的解构成的集合为{0,1},

故选C.

7.C　由<2x<8知,2-1<2x<23,即-1<x<3,

因此N={x|-1<x<3},

又M={-1,1,2,4},

∴M∩N={1,2},故选C.

8.B　∵函数y=在R上为减函数,

∴2a+1>3-2a,∴a>.

9.C　∵f(x+1)的定义域是[0,31),即0≤x<31,∴1≤x+1<32,∴要使f(x)有意义,需1≤x<32,∴要使f(2x)有意义,需20=1≤2x<32=25,∴0≤x<5.

10.解析　由f(x)=g(x),得2x=+2.当x≥0时,得2x=+2,即(2x)2-2·2x+1=2,所以(2x-1)2=2,得2x-1=(舍去2x-1=-),所以2x=1+.当x<0时,得2x=+2,即1=1+2·2-x,该方程无解.综上可知,2x=1+.

11.解析　(1)∵函数f(x)=2x+b的图象经过定点(2,8),∴22+b=8,即2+b=3,故b=1.

(2)由(1)得,f(x)=2x+1,由f(x)>,得2x+1>,∴x+1>,即x>,∴不等式f(x)>的解集为.

12.B　∵f(x)与g(x)的定义域均为R,且f(-x)=3-x+3x=f(x),g(-x)=3-x-3x=-g(x),

∴f(x)为偶函数,g(x)为奇函数.

13.答案　[0,+∞);偶函数

解析　设μ=-|x|+1,则y=μ.

∵μ=-|x|+1的递减区间为[0,+∞),y=μ是减函数,

∴y=-|x|+1的递增区间是[0,+∞).

又f(-x)=-|-x|+1=-|x|+1=f(x),

∴f(x)是偶函数.

14.解析　(1)由f(3)=得a=3,不等式f(x)≥4可化为23x-10≥22,

由此可得3x-10≥2,∴x≥4,

故x的取值范围是[4,+∞).

(2)当a>0时, f(x)==2ax-10是增函数,则当x∈[-1,2]时, f(x)max=f(2)=22a-10=16,所以a=7;当a<0时, f(x)==2ax-10是减函数,

则当x∈[-1,2]时, f(x)max=f(-1)=2-a-10=16,所以a=-14.

综上,a=-14或a=7.

能力提升练

一、选择题

1.A　依题意得⇒故f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,+∞),故选A.

2.B　由≤得≤2-2x+4,因为f(t)=2t在定义域上单调递增,所以x2+1≤-2x+4,即x2+2x-3=(x+3)(x-1)≤0,解得-3≤x≤1,所以函数y=2x的定义域为[-3,1].由于函数y=2x在R上递增,故当x=-3时,y取得最小值,当x=1时,y取得最大值2,所以函数的值域为.故选B.

3.A　由题中函数f(x)的图象知,b<-1<0<a<1,∴g(x)=ax+b的图象是递减的.又g(0)=a0+b=1+b<0,故选A.

4.B　函数f(x)的值域为[1,+∞),①错误;函数f(x)在区间[0,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,②错误;函数f(x)的图象关于直线x=1对称,③正确;因为y=-a2≤0,所以函数f(x)的图象与直线y=-a2(a∈R)不可能有交点,④正确.所以正确结论的个数为2,故选B.

5.A　令y=f(x)=-·a2x+5ax-8,设ax=μ,μ>0,

则y=-μ2+5μ-8=-μ-2+-8.

∴y=-μ2+5μ-8在-∞,上递增,在,+∞上递减.

①当0<a<1时,μ=ax是减函数,

∵x≥2,∴0<μ≤a2≤,

此时,y=-μ2+5μ-8是增函数,

从而f(x)是减函数,适合题意.

②当a>1时,μ=ax是增函数,

∵x≥2,∴μ≥a2,

由f(x)在[2,+∞)上递减得,a2≥,又a>0,

∴a≥,即当a≥时,f(x)是减函数,

综上所述,a的取值范围是(0,1)∪,+∞,故选A.

6.B　在同一平面直角坐标系中作出y=t,y=2 020x与y=2 019x的图象如图所示.

设2 020a=2 019b=t,

当t>1时,0<a<b,③正确;

当t=1时,a=b=0,⑤正确;

当0<t<1时,b<a<0,④正确,故①②中的关系式不可能成立.

故选B.

二、填空题

7.答案　[-1,+∞)

解析　函数y=在R上递减,函数y=-x2-2x+8的图象的对称轴是x=-1,且在(-∞,-1]上单调递增,在[-1,+∞)上单调递减.根据复合函数单调性同增异减可知,函数y=的单调递增区间为[-1,+∞).

8.答案　-1;1

解析　由f(x)=f(2-x)得,f(x)的图象关于直线x=1对称,又f(x)=3|x+a|的图象关于x=-a对称,∴-a=1,即a=-1.

此时f(x)=3|x-1|,它的单调递增区间为[1,+∞),依题意得[m,+∞)⊆[1,+∞),从而m≥1,

因此m的最小值为1.

9.答案　[4,8)

解析　当x>1时, f(x)=ax是增函数,

∴a>1.①

当x≤1时, f(x)=x+2是增函数,

∴4->0,解得a<8.②

又f(x)在R上是增函数,

∴×1+2≤a1,

解得a≥4.③

由①②③得4≤a<8,

故实数a的取值范围是[4,8).

10.答案　

解析　由已知可得,解得即不等式为+-m≥0,设g(x)=+-m,显然函数g(x)=+-m在(-∞,1]上单调递减,

∴g(x)≥g(1)=+-m=-m,故-m≥0,解得m≤,

∴实数m的最大值为.

三、解答题

11.解析　(1)由2x-1≠0,可得x≠0,∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.

(2)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),

又f(-x)=a+=a+

=a-=(a-2)-,

-f(x)=-a-,

∴a-2=-a,解得a=1.因此f(x)=1+.

当x>0时,2x-1>0,∴f(x)>1;当x<0时,

-1<2x-1<0,∴f(x)<-1.

∴f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).

12.解析　(1)f(x)在(-∞,0)上单调递减,

证明:任取x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=+m-+m

=.

∵x1<x2<0,

∴0<<<1,

∴->0,-1<0,-1<0,

∴f(x1)-f(x2)>0,

∴f(x1)>f(x2),

∴f(x)在(-∞,0)上单调递减.

(2)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),

若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)恒成立,

即+m=--m恒成立,

解得m=-,

∴存在m=-,使得f(x)为奇函数.

13.解析　(1)当x<0时,-x>0,所以f(-x)=ex,

因为f(x)是偶函数,所以当x<0时,f(x)=f(-x)=ex,所以f(x)=

作大致图象如图所示.

(2)由图象得,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是[0,+∞),值域是(0,1].

14.解析　(1)∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,

∴k=2.此时f(x)=ax-a-x,为奇函数,

∴k=2符合题意.

(2)由(1)得f(x)=ax-a-x,

∵f(1)<0,∴a-<0,∴0<a<1,

∴f(x)在R上为减函数.

又∵f(x2+tx)+f(4-x)<0在R上恒成立,即f(x2+tx)<f(x-4)在R上恒成立,

∴x2+tx>x-4在R上恒成立,

∴x2+(t-1)x+4>0在R上恒成立,

∴Δ<0,即(t-1)2-4×1×4<0,解得-3<t<5,

∴t的取值范围为(-3,5).

(3)∵f(1)=,∴a=2,∴g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x).令t=2x-2-x,x≥1,∴h(t)=t2-2mt+2,t≥.函数g(x)在[1,+∞)上的最小值为-2可转化为函数h(t)=t2-2mt+2在区间上的最小值为-2,当m≤时,h(t)在区间,+∞上单调递增,∴h(t)min=h=-2,解得m=,舍去;当m>时,h(t)在区间,m上单调递减,在区间[m,+∞)上单调递增,∴h(t)min=h(m)=-2,解得m=2.综上所述,m=2.

15.解析　(1)因为函数f(x)=2kx2+x(k为常实数)为奇函数,

所以f(-x)=-f(x),即2kx2-x=-2kx2-x,所以k=0.

(2)由(1)知,g(x)=af(x)+1=ax+1(a>0,且a≠1).

当a>1时,g(x)在[-2,1]上是增函数,

g(x)的最大值为g(1)=a+1,g(x)的最小值为g(-2)=+1;

当0<a<1时,g(x)在[-2,1]上是减函数,

g(x)的最大值为g(-2)=+1,g(x)的最小值为g(1)=a+1.

(3)当a=2时,g(x)=2x+1,在[-1,0]上是增函数,则g(x)≤g(0)=2,

所以-2mt+3≥2,即2mt-1≤0对所有的m∈[-1,1]恒成立,

令h(m)=2tm-1,

则即

解得-≤t≤,

故实数t的取值范围是.