数学必修 第二册8.1 基本立体图形练习题

课时跟踪检测 （十八） 棱柱、棱锥、棱台的结构特征

层级(一)　“四基”落实练

1．四棱柱有            (　　)

A．四条侧棱、四个顶点　 B．八条侧棱、四个顶点

C．四条侧棱、八个顶点  D．六条侧棱、八个顶点

解析：选C　四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)．故选C.

2．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为  (　　)

A．四棱柱  B．四棱锥

C．三棱柱  D．三棱锥

解析：选D　根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．故选D.

3．下面图形中，为棱锥的是         (　　)

A．①③  B．①③④

C．①②④  D．①②

解析：选C　根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.

4.如图所示，在三棱台A′B′C′­ABC中，截去三棱锥A′­ABC，则剩余部分是                                              (　　)

A．三棱锥　　　　　　 B．四棱锥

C．三棱柱  D．组合体

解析：选B　余下部分是四棱锥A′­BCC′B′.故选B.

5．如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为                                                                                                   (　　)

A．模块①②⑤  B．模块①③⑤

C．模块②④⑤  D．模块③④⑤

解析：选A　结合选项逐一判断，可知只有A符合，故选A.

6．一个棱柱至少有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．

解析：面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有3条侧棱．

答案：5　3

7．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是________．

解析：由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方．

答案：1∶4

8．如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？

解：①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台．

层级(二)　能力提升练

1．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是           (　　)

A．三棱锥  B．四棱锥

C．五棱锥  D．六棱锥

解析：选D　由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．故选D.

2．给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；

③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；

④棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形．

其中正确命题的序号是          (　　)

A．①②③④  B．①②③

C．②③  D．③

解析：选D　对于①，棱柱的侧面不一定全等，故错误；对于②，由棱台的定义可知只有当该平面与底面平行时，底面与截面之间的部分才是棱台，故错误；对于③，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相邻平面，故正确；对于④，棱台的侧棱延长后交于一点，但其侧面不一定是等腰梯形，故错误．故选D.

3．从正方体ABCD­A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：

①矩形的4个顶点；

②每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；

③每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；

④有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．

其中正确结论的个数为________．

解析：如图所示：四边形ABCD为矩形，故①满足条件；四面体D­A1BC1  为每个面均为等边三角形的四面体，故②满足条件；四面体D­B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故③满足条件；四面体C­B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故④满足条件．所以正确的结论有4个．

答案：4

4．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别是A1B1，A1C1的中点，连接

BE，EF，FC，试判断几何体A1EF­ABC是什么几何体，并指出它的底面     与侧面．

解：∵E，F分别是A1B1，A1C1的中点，且A1B1＝AB，A1C1＝AC，B1C1＝BC，

∴＝＝＝.

∴△A1EF∽△ABC，且AA1，BE，CF延长后交于一点．

又面A1B1C1与面ABC平行，∴几何体A1EF­ABC是三棱台．其中面ABC是下底面，面A1EF是上底面，面ABEA1，面BCFE和面ACFA1是侧面．

5.如图，在三棱锥V­ABC中，VA＝VB＝VC＝3，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝    30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值．

解：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在

一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．

∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，

∴∠AVA1＝90°.

又VA＝VA1＝3，∴AA1＝3.

∴△AEF周长的最小值为3.

层级(三)　素养培优练

1.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.

解析：由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角 三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm.若

以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm，

4 cm，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.

答案：

2．给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．

解：如图①所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底 面为正三角形的三棱锥．如图②所示，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．