高中数学8.3 简单几何体的表面积与体积练习

课时跟踪检测 （二十一） 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

层级(一)　“四基”落实练

1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为           (　　)

A．48　　　　　　　　　 B．64

C．16   D．96

解析：选B　 设正方体的边长为a，则6a2＝96，

∴a＝4，∴V正方体＝a3＝64.故选B.

2．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为     (　　)

A．6   B．12

C．24   D．48

解析：选D　正四棱锥的斜高h′＝＝4，S侧＝4××6×4＝48.故选D.

3.如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积

   是        (　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　∵VC­A′B′C′＝VABC­A′B′C′＝，

∴VC­AA′B′B＝1－＝.故选C.

4.如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面的距  离为1 m，则这个六棱柱的体积为                                                                                      (　　)

A. m3   B. m3

C. m3   D. m3

解析：选B　设正六棱柱的底面边长为a m，高为h m，则2ah＝1，a＝1，解得a＝，h＝.所以六棱柱的体积V＝×2×6×＝(m3)．故选B.

5．(2020·全国卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为                                                                                                   (　　)

A.   B.

C.   D.

解析：C　设正四棱锥的高为h，底面正方形的边长为2a，斜高为m.依题意得h2＝×2a×m，即h2＝am　①，易知h2＋a2＝m2　②，由①②得m＝a，所以＝＝.故选C.

6．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1­ACD的体积是_______．

解析：三棱锥D1­ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝··AD·DC·D1D＝×

＝.

答案：

7．长方体过一个顶点的三条棱的棱长的比是1∶2∶3，体对角线长为2，则这个长方体的体积是________．

解析：依题意，设三条棱的长分别为x,2x,3x，则＝2，解得x＝2，即三条棱长分别为2,4,6，于是体积V＝2×4×6＝48.

答案：48

8.如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC 两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P­ABC的体积V.

解：三棱锥的体积V＝Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．

故VP­ABC＝S△PAC·PB＝××2×4×3＝4.

层级(二)　能力提升练

1.如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1­AEF的体积为2，则四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为                                            (　　)

A．12   B．8

C．20   D．18

解析：选A　设点F到平面ABB1A1的距离为h，

由题意得

VA1­AEF＝VF­A1AE＝S△A1AE·h＝×·h

＝(AA1·AB)·h＝·S四边形ABB1A1·h

＝VABCD­A1B1C1D1，

所以VABCD­A1B1C1D1＝6VA1­AEF＝6×2＝12.

所以四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为12.

2．若正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为a，则此正三棱台的侧面积为

           (　　)

A．a2   B.a2

C.a2   D.a2

解析：选C 如图，O1，O分别为上、下底面的中心，D，D1分别是  AC，A1C1的中点，过D1作D1E⊥OD于点E.在直角梯形ODD1O1中，OD＝××2a＝a，O1D1＝××a＝a，

∴DE＝OD－O1D1＝a.

在Rt△DED1中，D1E＝a，

则D1D＝ ＝＝a.

∴S侧＝3×(a＋2a)a＝a2.

3．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图①，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图②，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图①中水面的高度为                                                                                                                                (　　)

A.   B.

C．2   D.

解析：选D　因为E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，所以棱柱EFCB­E1F1C1B1的体积V＝S梯形EFCB×3＝S△ABC×3＝S△ABC.设如图①中水面的高度为h，则S△ABC×h＝S△ABC，解得h＝.故选D.

4.如图，已知正三棱锥S­ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．

解：如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.

∵S侧＝2S底，∴3×a×h′＝2×a2.

∴a＝h′.

∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.

∴32＋2＝h′2.

∴h′＝2，∴a＝h′＝6.

∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.

∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.

5．若E，F是三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A­BEFC的体积．

解：如图所示，连接AB1，AC1.

∵B1E＝CF，

∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．

又四棱锥A­BEFC的高与四棱锥A­B1EFC1的高相等，

∴VA­BEFC＝VA­B1EFC1＝VA­BB1C1C.

又VA­A1B1C1＝S△A1B1C1·h，VABC­A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，

∴VA­A1B1C1＝，

∴VA­BB1C1C＝VABC­A1B1C1－VA­A1B1C1＝m，

∴VA­BEFC＝×m＝，

即四棱锥A­BEFC的体积是.

层级(三)　素养培优练

1.一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1 000元，则气体费用最少为                                 (　　)

A．4 500元   B．4 000元

C．2 800元   D．2 380元

解析：选B　由题意可知， 文物底部是直径为0.9米的圆形，文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，

所以由正方形与圆的位置关系可知，底面正方形的边长为0.9＋2×0.3＝1.5 m.

文物高1.8米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，

所以正四棱柱的高为1.8＋0.2＝2 m.

则正四棱柱的体积V＝1.52×2＝4.5 m3.

因为文物体积为0.5 m3，

所以罩内空气的体积为4.5－0.5＝4 m3.

因为气体每立方米1 000元，

所以共需费用至少为4×1 000＝4 000元．

2.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.

(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；

(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积．

解：(1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.

(2)如图所示，

∵小棱锥的底面边长为4 cm，

∴大棱锥的底面边长为8 cm，

又PA＝12 cm，∴A1A＝6 cm.

又梯形ABB1A1的高h′＝

＝4(cm)，

∴S棱台侧＝6××4＝144(cm2)，

∴S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝144＋24＋96＝144＋120(cm2)．