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课时跟踪检测（十八） 棱柱、棱锥、棱台
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这是一份课时跟踪检测（十八） 棱柱、棱锥、棱台，共5页。试卷主要包含了四棱柱有几条侧棱，几个顶点，故选C.，下面图形中，为棱锥的是等内容，欢迎下载使用。
1．四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )
A．四条侧棱、四个顶点
B．八条侧棱、四个顶点
C．四条侧棱、八个顶点
D．六条侧棱、八个顶点
解析：选C 四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)．故选C.
2．下面图形中，为棱锥的是( )
A．①③ B．①③④
C．①②④ D．①②
解析：选C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.
3．[多选]下列关于棱柱的说法中不正确的是( )
A．棱柱的侧面是平行四边形，但它一定不是矩形
B．棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高
C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
解析：选ABC 由棱柱的定义，知A不正确，例如长方体；只有直棱柱才满足选项B的条件，故B不正确；C不正确，例如正六棱柱的相对侧面互相平行；D显然正确．故选A、B、C.
4.如图所示，在三棱台A′B′C′ABC中，截去三棱锥A′ABC，则剩余部分是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．组合体
解析：选B 余下部分是四棱锥A′BCC′B′.故选B.
5．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
解析：选D A、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱．故选D.
6．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．
解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．
答案：5 6 9
7．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.
解析：该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12 cm.
答案：12
8．下列说法正确的是________．
①一个棱锥至少有四个面；
②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；
③五棱锥只有五条棱；
④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．
解析：①正确．②不正确，四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等．也可以不等．③不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共10条棱．④正确．
答案：①④
9.如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成，有几个面、几个顶点、几条棱？
解：这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体，有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．
10．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体；
(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．
(2)这是一个六棱锥．
(3)这是一个三棱台．
B级——面向全国卷高考高分练
1．下列说法中正确的是( )
A．所有的棱柱都有一个底面
B．棱柱的顶点至少有6个
C．棱柱的侧棱至少有4条
D．棱柱的棱至少有4条
解析：选B 棱柱有两个底面，所以A项不正确；棱柱底面的边数至少是3，则在棱柱中，三棱柱的顶点数是6，三棱柱的侧棱数是3，三棱柱的棱数是9，所以C、D项不正确，B项正确．故选B.
2．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
解析：选D 由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．故选D.
3．下列说法正确的是( )
A．多面体至少有3个面
B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
解析：选D 一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项A错误；选项B错误，反例如图1；选项C错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．故选D.
4．如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为( )
A．模块①②⑤ B．模块①③⑤
C．模块②④⑤ D．模块③④⑤
解析：选A 先补齐中间一层，只能用模块⑤或①，且如果补①则后续两块无法补齐，所以只能先用⑤补齐中间一层，然后用①②补齐．故选A.
5．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是________．(填序号)
①三角形；②四边形；③五边形；④不可能为四边形．
解析：按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．
答案：①②
6.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.
解析：由题意，若以BC为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是eq \r(13) cm.若以BB1为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是eq \r(17) cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是eq \r(13) cm.
答案：eq \r(13)
7.如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？
解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．
(2)S△PEF＝eq \f(1,2)a2，S△DPF＝S△DPE＝eq \f(1,2)×2a×a＝a2，
S△DEF＝eq \f(3,2)a2.
C级——拓展探索性题目应用练
长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线．
解：沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：
(1)若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得AC1＝ eq \r(42＋5＋32)＝eq \r(80)＝4 eq \r(5).
(2)若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝ eq \r(32＋5＋42)＝eq \r(90)＝3eq \r(10).
(3)若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝ eq \r(4＋32＋52)＝eq \r(74).
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为eq \r(74).
1．四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )
A．四条侧棱、四个顶点
B．八条侧棱、四个顶点
C．四条侧棱、八个顶点
D．六条侧棱、八个顶点
解析：选C 四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)．故选C.
2．下面图形中，为棱锥的是( )
A．①③ B．①③④
C．①②④ D．①②
解析：选C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.
3．[多选]下列关于棱柱的说法中不正确的是( )
A．棱柱的侧面是平行四边形，但它一定不是矩形
B．棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高
C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
解析：选ABC 由棱柱的定义，知A不正确，例如长方体；只有直棱柱才满足选项B的条件，故B不正确；C不正确，例如正六棱柱的相对侧面互相平行；D显然正确．故选A、B、C.
4.如图所示，在三棱台A′B′C′ABC中，截去三棱锥A′ABC，则剩余部分是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．组合体
解析：选B 余下部分是四棱锥A′BCC′B′.故选B.
5．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
解析：选D A、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱．故选D.
6．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．
解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．
答案：5 6 9
7．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.
解析：该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12 cm.
答案：12
8．下列说法正确的是________．
①一个棱锥至少有四个面；
②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；
③五棱锥只有五条棱；
④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．
解析：①正确．②不正确，四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等．也可以不等．③不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共10条棱．④正确．
答案：①④
9.如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成，有几个面、几个顶点、几条棱？
解：这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体，有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．
10．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体；
(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．
(2)这是一个六棱锥．
(3)这是一个三棱台．
B级——面向全国卷高考高分练
1．下列说法中正确的是( )
A．所有的棱柱都有一个底面
B．棱柱的顶点至少有6个
C．棱柱的侧棱至少有4条
D．棱柱的棱至少有4条
解析：选B 棱柱有两个底面，所以A项不正确；棱柱底面的边数至少是3，则在棱柱中，三棱柱的顶点数是6，三棱柱的侧棱数是3，三棱柱的棱数是9，所以C、D项不正确，B项正确．故选B.
2．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
解析：选D 由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．故选D.
3．下列说法正确的是( )
A．多面体至少有3个面
B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
解析：选D 一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项A错误；选项B错误，反例如图1；选项C错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．故选D.
4．如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为( )
A．模块①②⑤ B．模块①③⑤
C．模块②④⑤ D．模块③④⑤
解析：选A 先补齐中间一层，只能用模块⑤或①，且如果补①则后续两块无法补齐，所以只能先用⑤补齐中间一层，然后用①②补齐．故选A.
5．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是________．(填序号)
①三角形；②四边形；③五边形；④不可能为四边形．
解析：按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．
答案：①②
6.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.
解析：由题意，若以BC为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是eq \r(13) cm.若以BB1为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是eq \r(17) cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是eq \r(13) cm.
答案：eq \r(13)
7.如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？
解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．
(2)S△PEF＝eq \f(1,2)a2，S△DPF＝S△DPE＝eq \f(1,2)×2a×a＝a2，
S△DEF＝eq \f(3,2)a2.
C级——拓展探索性题目应用练
长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线．
解：沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：
(1)若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得AC1＝ eq \r(42＋5＋32)＝eq \r(80)＝4 eq \r(5).
(2)若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝ eq \r(32＋5＋42)＝eq \r(90)＝3eq \r(10).
(3)若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝ eq \r(4＋32＋52)＝eq \r(74).
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为eq \r(74).
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