2023高考数学二轮名师原创数学专题卷：专题05 导数及其应用

2022衡水名师原创数学专题卷

专题五《导数及其应用》

考点13：导数的概念及运算（1-4题）

考点14：导数的几何意义（5-6题，13题）

考点15：导数的应用（7-12题，13-16题，17-22题）

考试时间：120分钟   满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.已知,则(   )

A.  B.

C.  D.

2.设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，，有，若，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

3.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立.则有（  ）

A．  B．

C．  D．

4.设定义在R上的函数满足任意都有，且时，，则，，的大小关系是（   ）

A．

B．

C．

D．

5.已知曲线在每一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

6.已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于(   )

A. B.3 C. D.2

7.若函数的一个极大值点为,则（    ）

A．0 B． C． D．

8.已知函数，若存在唯一的整数，使,则实数a的取值范围是（   ）

A. B. C. D.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）

9.对于函数，下列说法正确的是(   )

A. 在处取得极大值

B. 有两个不同的零点

C.

D.若在上恒成立，则

10.已知函数，则下列结论正确的是(   )

A.函数存在两个不同的零点

B.函数既存在极大值又存在极小值

C.当时，方程有且只有两个实根

D.若时，，则的最小值为2

11.已知函数，则下列结论正确的是(   )

A.是周期为的奇函数

B.在上为增函数

C.在内有21个极值点

D.在上恒成立的充要条件是

12.关于函数，下列判断正确的是(   )

A.是的极大值点

B.函数有且只有1个零点

C.存在正实数，使得成立

D.对任意两个正实数，且，若，则.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.曲线在点处的切线与直线垂直，则______.

14.若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________．

15.已知为函数的两个极值点，则的最小值为_______.

16.若函数在上的最大值为，则实数a的值为___________.

四、解答题（本题共6小题，共70分。）

17.（本题满分10分）已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，记函数在上的最大值为，最小值为，求的取值范围.

18.（本题满分12分）设函数

（1）当时，求函数的极值；

（2）当时，讨论函数的单调性．

（3）若对任意及任意，恒有 成立，求实数m的取值范围.

19.（本题满分12分）若函数，当时，函数有极值．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的极值；

（3）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.

20.（本题满分12分）已知函数.

1.判断的单调性；

2.若函数存在极值，求这些极值的和的取值范围.

21.（本题满分12分）已知函数，其中.

（1）求函数的单调区间；

（2）若对，任意，不等式恒成立时最大的记为，当时，的取值范围.

22.（本题满分12分）已知函数

（1）若 ，求 在区间 上的单调区间；

（2）若 ，证明： 时恒有

参考答案及解析

1.答案：D

解析：,所以选D.

2.答案：D
解析： 奇函数的定义域为,且的图象是连续不间断，

令,则.

因为,有，

所以当时, ,则在单调递减。

又是定义域在上的奇函数,所以

则也是的奇函数并且单调递减。

又等价于，

即，

所以,又，

所以.

3.答案：D

解析：由得，，即，亦即函数在上是单调增加的。故

4.答案：A

解析：函数满足，可得，∴是周期为4的函数．．令，，则，∵时，，∴在递增，∴，可得：，即．

5.答案：B

解析：由得，因为曲线在每一点处的切线的斜率都小于1，所以在上恒成立，即在上恒成立.因为当时，，当且仅当，即时等号成立，所以实数a的取值范围是，故选B.

6.答案：D

解析：设直线与曲线分别切于点，又因为，所以，即，

所以，解得，故，所以.

7.答案：D

解析：

∵的一个极大值点为,∴.

∴，

又,∴.

故选：D.

8.答案：C

解析：由，得令则，则在上单调递增，在上单调递减，作出的大致图象如图所示，

易知的图象是恒过点的直线，若，则显然不符合题意，若，则，即，解得，故选C.

9.答案：ACD

解析：由已知，，令得，令得，故在上单调递增，在单调递减，所以的极大值为，

A正确；

又令得，即，当只有1个零点，B不正确；

，所以，故C正确；

若在上恒成立，即在上恒成立，设，

，令得，令得，故

在上单调递增，在单调递减，所以，，

故D正确.

故选：ACD.

10.答案：ABC

解析：A.,解得，所以A正确；

B.，

当时，，当时，或

是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，

所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确.

C.当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；

D.由图像可知，的最大值是2，所以不正确.

故选ABC.

11.答案：BD

解析：的定义域为，，

是奇函数，

但是，

不是周期为的函数，故选项A错误；

当时，，

，单调递增，

当时，，

，单调递增，

且在连续，故在单调递增，

故选项B正确；

当时，，，

令得，，

当时，，，

令得，,

因此，在内有20个极值点，故选项C错误；

当时，，则，

当时，，

设，，

令，

，单调递增，

，

，在单调递增，

又由洛必达法则知：

当时，

，故答案D正确.

故选：BD.

12.答案：BD

解析：A.函数的 的定义域为，

函数的导数上，，函数单调递减，上，，函数单调递增，

是的极小值点，即A错误；

B.，

函数在上单调递减，且，函数有且只有1个零点，即B正确；

C.若，可得，令，则，

令，则，

在上，函数单调递增，上函数单调递减，

，

在上函数单调递减，函数无最小值，

不存在正实数，使得恒成立，即C不正确；

D.令，则，

令，

则，

在上单调递减，

则，

令，

由，得，

则，

当时，显然成立，

对任意两个正实数，且，若，则，故D正确.

故正确的是BD，

故选：BD．

13.答案：

解析： ∵，

∴.

∴切线的斜率为2，

∵切线与直线垂直，

可得：；

故答案为：.

14.答案：

解析： ，
即，
，，
，由于在递减，最大值为，
所以，
故答案为：．
 

15.答案：

解析： ，所以，所以的最小值为．

16.答案：

解析：，当时，单调递减；当时，单调递增.若当时，在上取得最大值，则，解得，不合题意，所以，所以，满足题意.

17.答案：（1）∵                                      

∴当时，由得，或，由得，，  

当时，，                                                         

当时，由得，或，由得，，

∴当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；

当时，的单调递增区间是；

当时，的单调递增区间是，单调递减区间是

（2）∵当时，，又，       

∴由（1）知，在递减，在上递增，                              

故，                                                         

又，，

∴，最小值为，求的取值范围。                    

于是                                           

当时， 是关于的减函数，

∴                                                           

当时，也是关于的减函数，

∴                                                           

综上可得的取值范围是

解析：

18.答案：（1）函数的定义域为，
当时， ，
由，得，
由，得，
 ，无极大值．

（2）  ，
当，即时，
 ， 在上是减函数
当，即时，
令得或；
令，得．
当，即时，令，得或
令得．
综上，当时， 在上是减函数
当时， 在和单调递减，在上单调递增
当时， 在和单调递减，在上单调递增

（3）由（2）知，当时， 在上单减，是最大值， 是最小值．，，而经整理得，
由得，所以．

解析：

19.答案：函数，

（1）由题意知，当时，函数有极值，

即，解得

故所求函数的解析式为；

（2）由（1）得，令，得或

当变化时，的变化情况如下表：

因此，当时，有极大值，当时，有极小值.

（3）要使方程有三个不同的实数根，，则所以的取值范围是

解析：

20.答案：1.因为，所以，

令．

，即时，恒成立，

此时，所以函数在上为减函数；

，即或时，

有不相等的两根，

设为，则．

当或时，，此时，

所以函数在和上为减函数；

当时，，

此时，所以函数在上为增函数．

当时， 的两根为，

因为，

所以时，，

所以此时为定义域上为减函数.

2.对函数求导得.

因为存在极值，

所以在上有解，

即方程在上有解，

即.显然当时，无极值，

不合题意，

所以方程必有两个不等正根.

设方程的两个不等正根分别为，

则，

由题意知

，

由得，

即这些极值的和的取值范围为.

解析：

21.答案：(1)∵，

∴，

∵.

∴①当时, 的减区间为，没有增区间；

②当时, 的增区间为,减区间为；

(2)原不等式恒成立，

∵，

∴，

令，

令在上递增；

①当时，即，

∵,所以时，

∴在上递增，

∴.

②当,即时，

∴在上递减；

∴.

③当时, 在上递增；

存在唯一实数,使得,则当时，

当时，

∴，

∴.此时，

令在上递增, ，

∴.

综上所述, .

解析：

22.答案：（1） ；

，令 及 ，

得或

由上述表格可知： 在递减，在递增，在递减

（2）证明：，, ,设

而 在 为增函数，又 ，

所以存在唯一 ,使得 ，在 上， ， 递减， ，在 上，递增，

因此在 总有， 即 在递减，所以有：

解析：