2023高考数学二轮名师原创数学专题卷：专题08 平面向量

2022衡水名师原创数学专题卷

专题八《平面向量》

考点21：平面向量的概念、线性运算与基本定理（1-5题，13,14题，17,18题）

考点22：平面向量的数量积及其应用（6-9题，15题，19,20题）

考点23：平面向量的综合应用（10-12题，16题，21,22题）

考试时间：120分钟   满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.已知在中，点在边上，且,点在边上，且，则向量(   )

A.  B.  C.  D.

2.已知向量,则可能是(   )。

A. B. C. D.

3.设向量,若表示向量的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量等于(   )。

A. B. C. D.

4.如图6-1,在三角形中,是边上的中线,是边的中点,若,则等于(   )。

A. B. C. D.

5.如图6-3-6所示,在四边形中,为的中点,且,则的值为(   )。

A. B. C.1 D.2

6.已知是边长为1的等边三角形,点分别是边的中点,连接并延长到点,使得,则的值为(   )。

A. B. C. D.

7.已知,则向量在方向的投影是(   )。

A. B. C. D.

8.已知向量,若向量的夹角为,则实数的值为(   )。

A. B. C.0 D.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）

9.已知是单位向量,且,则(   )

A.  B.与垂直

C.与的夹角为 D.

10.有下列说法，其中错误的说法为(   ).

A.若，，则

B.若，则是三角形的垂心

C.两个非零向量，，若，则与共线且反向

D.若，则存在唯一实数使得

11.如果都是非零向量，下列判断正确的有(   )

A.若，，则；

B.若，则；

C.若，则；

D.若，则．

12.已知,若,则下列说法正确的是(  )

A. B. C. D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.已知在直角梯形中, ,,,,是腰上的动点,则的最小值为__________.

14.如图，在平行四边形中，，为的中点，若线段上存在一点满足，则的值是_________.

15.已知向量,则______________。

16.已知点均位于同一单位圆上,且,若,则的取值范围为____________.

四、解答题（本题共6小题，共70分。）

17.（本题满分10分）已知,且。

(1)求向量；

(2)若,求和。

18.（本题满分12分）设向量满足的夹角为60°,若向量与向量的夹角为钝角,求实数的取值范围。

19.（本题满分12分）已知，，．求

（1）；

（2）．

20.（本题满分12分）如图，在等腰中，底边，，，若，则的值是多少？

21.（本题满分12分）设平面三点。

(1)试求向量的模；

(2)试求向量与的夹角的余弦值；

(3)试求与垂直的单位向量的坐标。

22.（本题满分12分）已知与的夹角为60°。

(1)求的值；

(2)当实数为何值时,与垂直?

参考答案及解析

1.答案：B

解析：如图，因为,所以,因为,所以,则故选:B

2.答案：D

解析：因为,所以可能是。

3.答案：D

解析：由题意，得,则。

4.答案：D

解析：在三角形中,是边上的中线,

,

是边的中点,,

.

所以D选项是正确的.

5.答案：C

解析：由题意得。因为,所以。因为与不共线,所以由平面向量基本定理,得所以。故选C。

6.答案：B

解析：由可得,且,则。

7.答案：C

解析：根据题意,向量,

则,

而,

则在方向上的投影为；

故选：C。

8.答案：B

解析：根据平面向量的夹角公式可得,即,两边平方并合并同类项得,解得,经检验符合题意。

9.答案：BC

解析：本题考查向量的运算及夹角.由两边平方,得则,因为是单位向量,所以,得,则,所以,所以,与的夹角为

10.答案：AD

解析：对于选项A，当时，与不一定共线，故A错误；

对于选项B，由，得，所以，，

同理，，故是三角形的垂心，所以B正确；

对于选项C，两个非零向量，，若，则与共线且反向，故C正确；

对于选项D，当，时，显然有，但此时不存在，故D错误.

故选：AD.

11.答案：ACD

解析：选项A，由向量平行的传递性可知，正确；

选项B，当时，不成立，错误；

选项C，因为，则，所以，正确；

选项D，因为，则是共线向量，则，正确.

故选：ACD.

12.答案：ABD

解析：因为,所以,,因为,所以,则,A正确;,B正确;,C错误,由于,D正确,所以选ABD.

13.答案：5

解析：如图,以为原点,直线,分别为轴建立平面直角坐标系,设,则,,,.设,则,,,
 

14.答案：

解析：因为，

所以所以．

15.答案：9

解析：。

16.答案：

解析：.又点均位于圆上,因此为直径.而,因此点在圆心为、半径为2的圆上.,当与同向时,取最大值,当与反向时,取最小值.

17.答案：(1)方法一：由,知,

设向量的夹角为,

。

则与共线且方向相同,

。

方法二：设,由,得。①

由,得,

即。②

由①②,得解方程组,得

则。

(2)由题意,得,

则。

又,

则。

解析：

18.答案：由题意知,

所以,因为向量与向量的夹角为钝角,所以,解得。

当与共线时,设,

所以当时,与的夹角为。

所以实数的取值范围是。

解析：

19.答案：解：⑴因为

         所以，解得        

   ⑵由

     得              

解析：

20.答案：这里给出向量和解析两种方法

解法一:向量法，.因为，故.

又因为，所以，所以，

所以.

解法二:解析法.取中点O为原点，分别为x轴，y轴正方向建立坐标系，以.

设，所以，，，所以.

所以，所以，所以.综上所述，的值为.

解析：

21.答案：(1),,

。

。

(2),

,

。

(3)设所求向量为,则,①

又,

由,得,②

由①②得或

或。

解析：

22.答案：(1)由已知得,

所以。

(2)因为与垂直,所以, 即,所以。

解析：