2023高考数学二轮名师原创数学专题卷：专题11 立体几何

2022衡水名师原创数学专题卷

专题十一《立体几何》

考点33：空间几何体的结构特征、三视图、直观图表面积和体积(1-7题,13-14题，17-19题)

考点34：空间点、线、面的位置关系（9,10题）

考点35：直线、平面平行的判定与性质(16,17,20题）

考点36：直线、平面垂直的判定与性质（8,15,18,19-22题）

考点37：与空间角和距离有关的计算（11题,16题）

考试时间：120分钟   满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即

底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分

的三视图如图所示，则剩下部分的体积是(   )

A．50           B．75      C.25.5          D．37.5

2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(   )

A.            B.             C.2          D.4

3.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（   ）

A. B. C. D.

4.某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为，则图中的值为(   )

A． 2 B.  C.  1 D．

5.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位： ）是(   )

A. B. C. 3 D. 6

6.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是(   )

A.  B.  C.  D.

7.三棱锥中，互相垂直，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球表面积是(   )

A．             B．            C.                D．

8.平面四边形中,,将其沿对角线折成四面体,使平面平面,若四面体顶点在同一个球面上,则该球的体积为(  )

A. B.  C.  D.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）

9.如图，梯形中，，，将沿对角线折起.设折起后点的位置为，并且平面平面.给出下面四个命题正确的(   )

A.   B.三棱锥的体积为

C. 平面  D.平面平面

10.如图，正方体的棱长为3，线段上有两个动点，且，则当 移动时，下列结论正确的是(   )

A．平面  B．四面体的体积不为定值

C．三棱锥的体积为定值 D．四面体的体积不为定值

11.在长方体中，底面是边长为4的正方形，，则(   )

A.异面直线与所成角的余弦值为

B.异面直线与所成角的余弦值为

C.平面

D.点到平面的距离为

12.如图，平面平面是内不同的两点，是内不同的两点，且直线分别是线段的中点．下列判断正确的是(   )

A.若，则

B.若重合，则

C.若与相交，且，则可以与相交

D.若与是异面直线，则不可能与平行

第II卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.在体积为9的斜三棱柱中，是上的一点，的体积为2，则三棱锥的体积为_________.

14.已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积

为1, ,则此球的表面积等于_________.

15.将表面积为的圆锥沿母线将其侧面展开,得到一个圆心角为的扇形,则该圆锥的轴截面的面积________,圆锥的母线与圆锥的高线所成角的正切值为___________.

16.如图是正方体平面展开图,在这个正方体中：

①与平行；

②与是异面直线；

③与成角；

④与垂直．
以上四种说法中,正确说法的序号是______ ．

四、解答题（本题共6小题，共70分。）

17.（本题满分10分）如图，已知平面多边形中，，为的中点，现将三角形沿折起，使.

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积．

18.（本题满分12分）如图，四边形是边长为2的正方形，平面，且.

（1）求证：平面平面.

（2）线段上是否存在一点，使三棱锥的高？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

19.（本题满分12分）平行四边形中，，，分别是的中点.将四边形沿着折起，使得平面平面，得到三棱柱.

（1）证明：；

（2）若，求三棱柱的体积.

20.（本题满分12分）已知三棱锥中，，，为的中点，点在棱上，且．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值．

21.（本题满分12分）如图1，在中，分别为边的中点，为的中点，．将沿折起到的位置，如图2，使得平面平面，为的中点．

（1）求证： 平面；

（2）求二面角的余弦值．

22.（本题满分12分）如图①，在平面五边形中，是梯形，，，，，是等边三角形．现将沿折起，连接，得如图②的几何体．

（1）若点是的中点，求证：平面；

（2）若，在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

参考答案及解析

1.答案：D

解析：由已知得到几何体为直三棱柱截去一个四棱锥,如图：体积为；

故选：D.

2.答案：B

解析：根据题意，由三视图可知该几何体为三棱锥，如图：

其底面积是俯视囡所示三角形的面积，易知该三角形底为2，高为2，所以;该几何体的高由正视图可知等于2，故整个几何体的体积：故选：B

3.答案：D

解析：将三视图还原为直观图(图略)，知该三棱柱是正三棱柱，其高为2，底面是边长为2的等边三角形，正三棱柱的上、下两个底面的面积均为，三个侧面的面积均为，故其表面积为，选D.

4.答案：C

解析：根据几何体的三视图转换为几何体为：

该几何体为底面为直角三角形高为的三棱锥体.

如图所示：

所以，

解得：.

故选：C.

5.答案：A

解析：由二视图可知，该几何体是三棱柱和三棱锥的组合体，结合图中数据可得该几何体的体积，故选A.

6.答案：C

解析：由三视图可知该几何体为三棱锥，记为三棱锥，将其放入正方体中，如图，易知，，故其表面积为，故选C.

7.答案：B

解析：是线段上一动点，连接，

∵互相垂直，∴就是直线与平面所成角，

当最短时，即时直线与平面所成角的正切的最大.

此时，

在中，

三棱锥扩充为长方体,则长方体的对角线长为，

∴三棱锥的外接球的半径为，

∴三棱锥的外接球的表面积为.

故选：B.

8.答案:A

解析:由题意平面四边形,将其沿对角线折成四面体,使平面平面,若四面体顶点在同一个球面上,可知,所以是外接球的直径,所以,球的半径为:,所以球的体积为:,选A.

9.答案：CD

解析：如图所示：为中点，连接 ,

，，,得到 ,

又,故为等腰直角三角形,

平面平面，，所以平面，所以C正确;

为中点，,则平面,所以,

如果，则可得到平面，故与已知矛盾.故A错误;

三棱锥的体积为.故B错误;

在直角三角形中， ,

在三角形中， 满足,

又,所以平面，所以平面平面，故D正确.

综上所述：答案为CD.

10.答案：ACD

解析：对于,如图所示,易证平面,同理平面,且平面平面,所以平面平面,又平面， ,所以平面故A正确.

对于B，如图所示，点C到平面的距离为点到平面的距离为定值，所以为定值，故B错误；

对于C，如图所示，点到平面的距离为到平面的距离为定值，所以为定值，故C正确；

对于D，如图所示四面体的体积为为定值，故D正确.

正确的答案是ACD

 

11.答案：ACD

解析：依题意，

由于，所以异面直线与所成角即或其补角.在三角形中，，所以异面直线与所成角的余弦值为.故A选项正确，B选项错误.

由于平面，平面，所以平面，故C选项正确.

设点到平面的距离为，由，

所以，解得，故D选项正确.

故选：ACD.

12.答案：BD

解析：解：若，则四点共面，当时，

平面两两相交有三条交线，分别为，则三条交线交于一点，

则与平面交于点，与不平行，故A错误；

若,两点重合，则，四点共面，

平面两两相交有三条交线，分别为，

由，得，故B正确；

若与相交，确定平面，平面两两相交有三条交线，分别为，

由，得，故C错误；

当，是异面直线时，如图，连接，取中点，连接，．

则，，，则，假设，

，，，

又，平面，同理可得，平面，则，与平面平面矛盾．

假设错误，不可能与平行，故D正确．

故选：BD．

13.答案：1

解析：设三棱柱的底面积为，高为，

则，

再设到底面的距离为，则，得，

所以，

则到上底面的距离为，

所以三棱锥的体积为．

故答案为1．

14.答案：

解析：设球的半径为，如图所示

在,则为直角三角形,解得

三棱锥的各顶点都在同一球面上，所以与球心的连线垂直于平面ABC，

且平面，若该棱锥的体积为1，

所以,解得.

故，解得，

所以

故答案为：

15.答案：；

解析：设圆锥的母线长为,底面半径为,则有得,所以圆锥的高,所以该圆锥的轴截面面积,圆锥的母线与圆锥的高线所成角的正切值为.

16.答案：④

解析：由正方体的平面展开图可得原正方体如图：

由图可知，与异面，故①错误；

与平行，故②错误；

为与所成角,为，故③错误；

∵，且，∴与垂直，故④正确。

故答案为：④.

17.答案：（1）如图所示，

取的中点，连接，

为中点，为的中位线，

，且，又，且，

，且，

∴四边形为平行四边形，，

，，

综上所述，结论是：

（2）由题意可知，为等腰直角三角形，为直角梯形，

如上图所示，取中点，连接,

，

，

平面，

平面，，

∴在直角三角形中，，

∴三角形为等边三角形，

取的中点，则，，

，

为的中点，到平面的距离等于到平面的距离的一半，

综上所述，结论是：.

解析：

18.答案：（1）∵平面，平面，平面.

∴.

又∵，平面.

又面，平面.

（2）∵，∴，假设线段上存在一点满足题意，

由（1）知，平面平面，平面平面.

又∵，∴平面，则.

∵，，∴平面，又平面，，.

∵，平面，平面，∴平面，

∴点到平面的距离与点到平面的距离相等.

又.∴

又，∴.

∵,∴,∴.

解析：

19.答案：（1）取的中点，连接，易知是等边三角形.

∴，. 

∵，

∴平面，

而平面，

∴.

（2）三棱柱可分为四棱锥与三棱锥.

由（1）知，而平面平面，且交线为，

∴平面.              

同理可证平面.

四棱锥的体积， 

三棱锥的体积，

∴三棱柱的体积.   

解析：

20.答案：（1）如图所示：

连接，

在中：，则，

在中：，为的中点，则，且

在中：，满足：

根据勾股定理逆定理得到相交于 ，

故平面

（2）因为两两垂直，建立空间直角坐标系 如图所示．

因为,

则

由所以，

设平面的法向量为，则

令，得

因为平面，所以为平面的法向量，

所以与所成角的余弦为．

所以二面角的正弦值为

解析：

21.答案：（1）证明：取线段的中点，连接．

因为在中, 分别为的中点，所以 ，．

因为分别为的中点，所以 ， ，    

所以，所以四边形为平行四边形，

所以 ．

因为 平面，平面，

所以平面．

（2）分别以为轴建立空间直角坐标系，则面的法向量，，

则

设面的法向量，则，

解得，

所以

所以二面角的余弦值.

解析：

22.答案：（1）取中点,连接,,则是的中位线,

且

且四边形是平行四边形

平面平面平面

（2）取中点,连接,易得,.

在中，由已知.

以为原点，分别以射线为轴正半轴建立如图所示空间直角坐标系，

则

则

假设在棱上存在点满足题意，设,

则，.

设平面的一个法向量为，

则即

令，得平面的一个法向量

又平面的一个法向量，

由已知，，

整理得，解得，

在棱上存在点，使得二面角的余弦值为，且

解析：