2023高考数学二轮名师原创数学专题卷：专题15 概率

2022衡水名师原创数学专题卷

专题十五《概率》

考点47：古典概型、几何概型(1-6题，9题，13,14题）

考点48：事件的独立性与条件概率（7题，15题，19题）

考点49：独立重复试验与二项分布、正态分布（9-12题，18题，20题，22题）

考点50：离散型随机变量的分布列、期望与方差（8题，11,12题，16题，17题，19题，21,22题）

试时间：120分钟   满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.设为正方形的中心,在中任取3点,则取到的3点共线的概率为(   )

A. B. C. D.

2.从3名男生和1名女生中选出2人去参加社会实践活动，则这名女生被选中的概率是(   )

A．             B.             C.               D.

3.在1,2,3,6这组数据中随机取出3个数,则数字2是这3个不同数字的平均数的概率是(   )

A. B. C. D.

4.如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为．则阴影区域的面积约为(   )

A． B． C． D．无法计算

5.如图，若在矩形中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为(   )

A． B．     C． D．

6.已知正方体的棱长为1，则在该正方体内任取一点，则其到顶点的距离小于1的概率为(   )

A.  B.  C.  D.

7.盒内有5个红球、11个蓝球，红球中有2个玻璃球、3个塑料球，蓝球中有4个玻璃球、7个塑料球，假设每个球被摸到的可能性相同，现从中任取一球，若已知取到的球是玻璃球，则它是蓝球的概率是(　　)

A．         B．　　         C．　　             D．      

8.已知某离散型随机变量的分布列为

则的数学期望(   )

A．  B．1 C．  D．2

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）

9.下列结论正确的有(   )

A.公共汽年上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种.

B.两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是；

C.若随机変量服从二项分布，则；

D.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数、中位数，众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为12.

10.下面给出了关于正态曲线的 4 个说法,其中正确的说法是（   )

 A.曲线在 轴上方且与 轴不相交;

 B.当 时,曲线下降,当 时,曲线上升

 C.当 一定时, 越小,总体分布越分散, 越大,总体分布越集中;

 D.曲线关于直线对称, 且当 时位于最高点.

11.随机变量服从正态分布，则下述正确的是(   )

A. B.

C. D.

12.江先生朝九晚五上班,上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行.江先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟.公交车多且路程近一些,但乘坐公交路上经常拥堵,所需时间Z(单位:分)服从正态分布,下车后从公交站步行到单位要12分钟;乘坐地铁畅通,但路线长且乘客多,所需时间Z(单位:分)服从正态分布,下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.从统计的角度看,下列说法合理的是(   )

参考数据:若,则,,.

A.若8:00出门,则乘坐公交上班不会迟到

B.若8:02出门,则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大

C.若8:06出门,则乘坐公交上班不迟到的可能性更大

D.若8:12出门,则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到

第II卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．

14.如图所示的三角形称为希尔宾斯基三角形,现分别从图(2)和图(3)中各随机选取一个点,则此两点均取自阴影部分的概率为______.

15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是______.

16.随机变量的取值为，若，，则          .

四、解答题（本题共6小题，共70分。）

17.（本题满分10分）抛掷一枚质地均匀的硬币2次，记正面朝上的次数为.

（1）求随机变量的分布列；   

（2）若随机变量，求随机变量均值、方差．

18.（本题满分12分）第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：

（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求的值（的值四舍五入取整数），并计算；

（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望.

（参考数据：；；.）

19.（本题满分12分）空气质量指数（单位：）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：

甲、乙两城市2020年5月份中的15天对空气质量指数进行监测，获得日均浓度指数数据如茎叶图所示：

（1）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？并简要说明理由.

（2）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；

（3）在乙城市15个监测数据中任取2个，设为空气质量类别为优或良的天数，求的分布列及数学期望．

20.（本题满分12分）某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为 ，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验 5 件该产品，且每 件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检 验方案：将产品每 个 一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或 次．设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验次 数为．   

（1）求的分布列及其期望；   

（2）（i）试说明，当 越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少； 

（ii）当 时，求使该方案最合理时 的值及 1000 件该产品的平均检验次数．

21.（本题满分12分）随着经济的发展，个人收入的提高。自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整。调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额。依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表：

(1)假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记表示总收入，表示应纳的税，试写出调整前后关于的函数表达式；

(2)某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：

①先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人,再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员,用a表示抽到作为宣讲员的收人在元的人数, 表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数，随机变量，求的分布列与数学期望；

②小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收人比调整前增加了多少?

22.（本题满分12分）为进一步深化“平安校园”创建活动,加强校园安全教育宣传,某高中对该校学生进行了安全教育知识测试(满分100分),并从中随机抽取了200名学生的成绩,经过数据分析得到如表所示的频数分布表,并绘制了得分在以及的茎叶图，分别如图1、2所示.

(1)求这200名同学得分的平均数;(同组数据用区间中点值作代表)

(2)如果变量满足且,则称变量X“近似满足正态分布的概率分布”。经计算知样本方差为210,现在取和分别为样本平均数和方差,以样本估计总体,将频率视为概率,如果该校学生的得分“近似满足正态分布的概率分布”，则认为该校的校园安全教育是成功的，否则视为不成功。试判断该校的安全教育是否成功，并说明理由。

(3)学校决定对90分及以上的同学进行奖励，为了体现趣味性，采用抽奖的方式进行，其中得分不低于94的同学有两次抽奖机会，低于94的同学只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率分别为：

现在从不低于90同学中随机选一名同学,记其获奖金额为，以样本估计总体,将频率视为概率,求的分布列和数学期望.(参考数据：)


 

参考答案及解析

1.答案：A

解析：根据题意作出图形，如图所示，在中任取3点，有10种可能情况，分别为，其中取到的3点共线有和2种可能情况，所以在中任取3点，则取到的3点共线的概率为，故选A.

2.答案：B

解析：基本事件总数为（种），这名女生被选中的有（种）故概率

3.答案：A

解析：在1,2,3,6这组数据中随机取出3个数,基本事件总数有4个,分别为,数字2是这3个不同数字的平均数所包含的基本事件只有,共1个,所以数字2是这3个不同数字的平均数的概率是.故选A.

4.答案：A

解析：正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率，,又∵故选：A

5.答案：A

解析：，，故豆子落在图中阴影部分的概率为.故选：A.

6.答案：D

解析：由题意知，正方体的体积，其中满足的区域是以为球心，1为半径的球的，其体积为，所以所求概率为

7.答案：A

解析：记”取得篮球”为事件A,”取得玻璃球”为事件B,则已知取到的球为玻璃球,它时篮球的概率就是B发生的条件下发生的概率记作

因为,

所以

故选A

8.答案：B

解析：由题意可得：.

可得.

.

故选：B.

9.答案：BD

解析：解：对于A：公共汽年上有10位乘客，沿途5个车站，则每个乘客由5种下车的方式，则根据分步乘法计数原理可得乘客下车的可能方式有种，故A错误；

对于B：两位男生和两位女生随机排成一列共有(种)排法；两位女生不相邻的排法有(种)，故则两位女生不相邻的概率是，即B正确；

对于C：若随机変量服从二项分布，则，故C错误；

对于D：设这个数字是，则平均数为，众数是3，若，则中位数为3，此时，

若，则中位数为，此时，，

若，则中位数为5，，，所有可能值为，4，18，其和为12．

故D正确；

故选：BD.

10.答案：ABD

解析：根据正态曲线的性质知：正态曲线关于直线对称，故A正确；

当曲线上升，当 时曲线下降；B正确；

一定时，越小，曲线越“瘦高”，表示取值越集中，故C不正确；

曲线关于对称，D正确.

故答案为：ABD

11.答案：AC

解析：由随机变量服从正态分布，

所以，，

所以，，故A正确；B错误；

根据正态分布密度曲线的对称性，

，

，

即

所以，

故C正确；D错误；

故选：AC.

12.答案：CD

解析：对于选项A,江先生乘坐公交的时间不大于43分钟才不会迟到,因为,且,所以,所以“江先生上班迟到”还是有可能发生的,所以选项A不合理;对于选项B,若江先生乘坐地铁上班,则其乘坐地铁的时间不大于48分钟才不会迟到,因为,所以,所以“江先生8:02出门,乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性约为0.9773,若江先生乘坐公交上班,则其乘坐公交的时间不大于41分钟才不会迟到,因为,所以,所以“江先生8:02出门,乘坐公交上班不迟到”发生的可能性约为0.9773,二者可能性一样,所以选项B不合理;对于选项C,若江先生乘坐公交上班,则其乘坐公交的时间不大于37分钟才不会迟到,因为,所以,所以“江先生8:06出门,乘坐公交上班不迟到”发生的可能性约为0.8414,若江先生乘坐地铁上班,则其乘坐地铁的时间不大于44分钟才不会迟到,因为,所以“江先生8:06出门,乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性约为0.5,又所以选项C是合理的;对于选项D,江先生乘坐地铁的时间不大于38分钟才不会迟到,因为,所以,所以“江先生8:12出门,乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性非常小,所以选项D合理,所以选CD.

13.答案：

解析：由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有（种），其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为.

14.答案：

解析：依题意,设图①阴影面积为1,设图的阴影面积为,则，

则图②阴影为图①面积的,，

图③阴影为图②面积的,，

分别从图(2)和图(3)中各随机选取一个点,则此两点均取自阴影部分的概率为，

故答案为：.

15.答案：0.18

解析：甲队以4:1获胜，甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输.

若在主场输一场，则概率为 ;

若在客场输一场，则概率为.

∴甲队以4: 1获胜的概率

16.答案：

解析：本题主要考查方差与概率.

已知，设，.

故，

又因为，所以，，

故.

17.答案：（1）随机变量的取值可以为，，．

;；；．

因此，随机变量的分布列为：

（2）由（1）知．

．

（用，则，也可以）

，

解析：

18.答案：（1）由已知频数表得：，

，

由，则，而，所以，

则X服从正态分布，所以；

（2）显然，，

所以所有Y的取值为15，30，45，60，

，，

，，

所以Y的分布列为：

所以，

解析：

19.答案：（1）由茎叶图可知：甲城市空气质量一级和二级共有10天，而乙城市空气质量一级和二级只有5天，因此甲城市空气质量总体较好．

（2）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为，

乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为，

在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为

（3）的取值为0，1，2，

，，．

的分布列为：

数学期望．

解析：

20.答案：（1）解： 由题，的可能取值为  和    

，

故 的分布列为

（2）解：（i）由 (1) 记 ，因为 ，  

所以  在 上单调递增 ，

故 越小， 越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理

（ii） 记

当 且取最小值时，该方案最合理，

因为 ， ，

所以 时平均检验次数最少，约为 次．

解析：

21.答案：(1)调整前关于的解析式为；

调整后关于的解析式为；

(2)①由频率分布表可知,从收入在及的人群中抽取7人，

其中在元的人数为3人，

在元的人数为4人，

再从这7人中选4人，所以Z的取值可能为0，2，4；

则，

，

所以的分布列为，

数学期望为；

②由于小李的工资、薪金等税前收入为7500元，

按调整前起征点应纳个税为 (元)；

按调整后起征点应纳个税为 (元)，

比较两个纳税方案可知,按照调整后起征点应纳个税少交 (元)，

即个人的实际收入增加了220元，所以小李的实际收人比调整前增加了220元。

解析：

22.答案：(1)据频数分布表得，，

∴平均分为65；

(2)该校的安全教育是成功的，理由如下：

∵，

∴，

，，

而且据茎叶图知，得分小于36分的学生有3个，得分大于94分的有4个，

∴，

∵学生的得分都在之间，

∴，

∴学生的得分“近似满足正态分布的概率分布”，因此该校的安全教育是成功的；

(3)设这名同学获得的奖金为，则的可能值为50，100，150，200，

，

故的分布列为

∴.

解析：