2023高考数学二轮名师原创数学专题卷：专题14 计数原理

2022衡水名师原创数学专题卷

专题十四《计数原理》

考点45：排列与组合（1-4题，9题，13,14题，17-19题）

考点46：二项式定理（5-8题，10-12题，15,16题，20-22题）

考试时间：120分钟   满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.六人并排站成一行，如果甲乙两人必须不相邻，那么不同的排法共有(   )种

A.                  B.              C.                  D.

2.从10名男生6名女生中任选3人参加竞赛，要求参赛的3人中既有男生又有女生，则不同的选法有(   )种

A. 1190 B. 560 C. 420 D. 3360

3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(   )

A.120种 B.90种 C.60种 D.30种

4.如图,给7条线段的5个端点涂色,要求同一条线段的两个端点不能同色,现有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法种数有(  )

A.24     B.48    C.96     D.120

5.设，则的值为(   )

A．2 B． C．1 D．

6.在的展开式中，的系数为（   ）

A. B.5 C. D.10

7.展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是(   )

A．180          B．90          C．-180          D．-90

8.的展开式中的系数为(   )

A. 5 B. 10 C. 15 D. 20

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）

9.有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为，则下列等式能成为的算式是(   ).

A.； B.；

C.； D.；

10.已知的展开式中第5项与第七项的二项数系数相等,且展开式的各项系数之和为1024,则下列说法正确的是(    )

A.展开式中奇数项的二项式系数和为256

B. 展开式中第6项的系数最大

C. 展开式中存在常数项

D. 展开式中含项的系数为45

11.对于二项式，以下判断正确的有(   )

A.存在，展开式中有常数项；

B.对任意，展开式中没有常数项；

C.对任意，展开式中没有的一次项；

D.存在，展开式中有的一次项.

12.若且，则实数的值可以为(   )

A. B. C.0 D.1

第II卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.四位同学站成一排照相，则中至少有一人站在两端的概率为________.

14.将编号为1，2，3，4，5的5个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不同的概率为_______.

15.若的展开式中常数项为150，则的最小值为______．

16.已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中的系数为_____.（用数字作答）

四、解答题（本题共6小题，共70分。）

17.（本题满分10分）周末老师带领学生去南山公园旅游，为了留下美好的回忆，决定在公园门口合影留念。现有7名师生站成一排照相，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(每题都要用数字作答)

（1）两名女生必须相邻而站；

（2）4名男生互不相邻；

（3）若4名男生身高都不等，从左向右看，男生按从高到低的顺序站．

18.（本题满分12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，己知可引起感冒以及中东呼吸综合征（）和严重急性呼吸综合征（）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.应国务院要求，黑龙江某医院选派医生参加援鄂医疗，该院呼吸内科有3名男医生，2名女医生，其中李亮（男）为科室主任；该院病毒感染科有2名男医生，2名女医生，其中张雅（女）为科室主任，现在院方决定从两科室中共选4人参加援鄂医疗（最后结果用数字表达）

（1）若至多有1名主任参加，有多少种派法？

（2）若呼吸内科至少2名医生参加，有多少种派法？

（3）若至少有1名主任参加，且有女医生参加，有多少种派法？

19.（本题满分12分）一个正方形花圃被分成5份.

（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，己知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法?                                         

（2）若将6个不同的盆栽都摆放入这5个部分，且要求每个部分至少有一个盆栽，问有多少种不同的放法?

20.（本题满分12分）在的展开式中，

（1）求展开式中各项的二项式系数和；

（2）求第4项的二项式系数和第4项的系数．

（3）设，求的值．

21.（本题满分12分）若，且.

（1）求的展开式中二项式系数最大的项；

（2）求的值

22.（本题满分12分）设，若，，成等差数列．
求展开式的中间项；
求展开式中所有含x奇次幂的系数和；
求展开式中系数最大项

参考答案及解析

1.答案：B

解析：∵甲、乙两人必须不相邻∴先排列其他4个人，共有种排法，再在4个人形成的5个空中选2个位置排列，共有种排法；∴不同的排法有（种）

2.答案：C

解析：这3人中既有男生又有女生，包括2男1女和1男2女两种情况。

若3人中有2男1女,则不同的选法共有种，

若3人中有1男2女,则不同的选法共有种，

根据分类计数原理，所有的不同的选法共有种，

故选：C

3.答案：C

解析：.

4.答案：C

解析：分步如下:第一步先涂三点的颜色必须各异,不同的涂色方法种数为种;第二步涂两点,假设已涂的三色顺序分别为,那么可涂的分为: 涂, 可以选择中的一种颜色来涂，有种；涂，可以选择中的一种颜色来涂，有种；所以不同的涂色方法种数有种.

5.答案：D

解析：令，即令得

6.答案：C

解析：由二项式定理得的展开式的通项，令，得，所以，所以的系数为，故选C.

7.答案：A

解析：因为的展开式中只有第六项二项式系数最大,所以,则由,令,解得,所以展开式中的常数项是,故正确答案选A

8.答案：C

解析：因为的展开式的第项，所以的展开式中的系数为.故选C.

9.答案：BC

解析：解：13名医生，其中女医生6人，男医生7人．

利用直接法，2男3女：；3男2女：；4男1女：；5男：，所以；

利用间接法：13名医生，任取5人，减去4、5名女医生的情况，即；

所以能成为的算式是BC．

故选：BC．

10.答案：BCD

解析：因为的展开式中第5项与第7项的第二项式系数相等,所以

得,因为展开式中各项系数之和为1024,所以令,得得

故给定的二项式为展开式的系数与对应的二项式系数相等,故B正确,展开式的通项通项公式为,令,记得

即常数项为第9项,故C正确,令,得,故展开式中含项的系数为

故D正确

11.答案：AD

解析：设二项式展开式的通项公式为，

则，

不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；

令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确.

故答案选AD.

12.答案：AD

解析：因为，

令得：，

令得：，

因为，

所以，

所以，

所以或，

解得：或.

故选：AD.

13.答案：

解析： 四位同学站成一排照相，基本事件总数，中至少有一人站在两端包含的基本事件个数，故两人中至少有一人站在两端的概率

14.答案：

解析：由题意知，要求每个盒子都不空，

则三个盒子中放入小球的个数可以分别为3，1，1，或2，2，1，

若要求每个盒子中小球编号的奇偶性不同，则只能是2，2，1，

且放入同一盒子中的两个小球必须是编号为一奇一偶，

∴每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不相同的概率为：

.

15.答案：

解析：的展开式的通项为：

由得， 当且仅当时等号成立，的最小值为

16.答案：120

解析：令,则得

 展开式中的项为：

所以其系数为120.

17.答案：（1）∵两个女生必须相邻而站；

∴把两个女生看做一个元素，则共有6个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列共有．

（2）∵4名男生互不相邻；∴应用插空法，

要老师和女生先排列，形成四个空再排男生共有．

（3）根据题意，先安排老师和女生，在7个空位中任选3个即可，有种情况，

若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站，

则男生的顺序只有1种，将4人排在剩余的4个空位上即可．

则共有种不同站法．

解析：

18.答案：（1）直接法：若无主任：,若只有1名主任：，共105种.

间接法：

（2）直接法：

间接法：

（3）张雅即是主任，也是女医生.属于特殊元素，优先考虑，所以以是否有张雅来分类

第一类：若有张雅

第二类：若无有张雅，则李亮必定去：

共87种

解析：

19.答案：（1）先对部分种植，有4种不同的种植方法；

再对部分种植，又3种不同的种植方法；

对部分种植进行分类：

①若与相同，有2种不同的种植方法，有2种不同的种植方法，共有（种），

②若与不同，有2种不同的种植方法，有1种不同的种植方法，有1种不同的种植方法，

共有（种），

综上所述，共有72种种植方法。 

（2）将6个盆栽分成5组，则2-1-1-1-1，有种分法；  

将分好的5组全排列，对应5个部分，则一共有（种）放法，  

综上所述，答案：1800种不同的放法。  

解析：

20.答案：（1）展开式中各项二项式系数的和为：
（2）展开式的第四项是：，第四项的二项式系数为，第四项的系数为：
（3）因为，所以令上式中则令，则

解析：

21.答案：1. 2.

解析：1.因为，且，

所以，解得或（舍），

故的展开式中二项式系数最大的项为第5项，为；

2.令，可知，

令，得，

所以，

故

22.答案：1.依题意得  ，，，．
则，，，
由得可得舍去，或．
所以展开式的中间项是第五项为：．
2.，
即．
令则，
令则，
所以 ，所以展开式中含的奇次幂的系数和为．
假设第项的系数为，令解得：，
所以展开式中系数最大项为和

解析：