【新教材精创】第四章 数列测试-B提高练- (人教A版 高二 选择性必修第二册)

第四章 数列复习与小结    -B提高练

一、选择题

1．（2021·四川南充高二期末）已知等比数列满足,,则（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可得,所以 ,故 .

2．（2020·全国高考真题）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（    ）

A．5 B．8 C．10 D．15

【答案】C

【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：．

∴；；；；．

原位小三和弦满足：．

∴；；；；．

故个数之和为10．

3．（2020·北京高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（    ）．

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

【答案】B

【详解】由题意可知，等差数列的公差，

则其通项公式为：，

注意到，

且由可知，由可知数列不存在最小项，

由于，故数列中的正项只有有限项：，.故数列中存在最大项，且最大项为.

4．（2020·浙江高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（    ）

A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．

【答案】D

【详解】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；对于B，由题意可知，，，

∴，，，．

∴，．根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；

对于C，，

当时，，C正确；对于D，，，

．当时，，∴即；当时，，∴即，所以，D不正确．

5. （多选题）（2021·山东济南市·高二期末）若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理､准晶体结构､化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【详解】按照规律有，，，，，，，，，故A对C错

…

故B对

，故D错，故选：AB

6. （多选题）（2021·浙江省桐庐中学高二期末）设为数列的前项和，若()等于一个非零常数，则称数列为“和等比数列”．下列命题正确的是（    ）．

A．等差数列可能为“和等比数列”

B．等比数列可能为“和等比数列”

C．非等差等比数列不可能为“和等比数列”

D．若正项数列是公比为的等比数列，且数列是“和等比数列”，则

【答案】ABD

【详解】若等差数列的公差为，则是非零常数，则此数列为“和等比数列”，A对

若等比数列的公比为，则是非零常数，则此数列为“和等比数列”，B对

若数列满足，则是非零常数，它既不是等差数列又不是等比数列，但它是“和等比数列”，C错；正项数列是公比为的等比数列，∴，

则，故数列是首项为，公差为的等差数列，又数列是“和等比数列”，

则

又为非零常数，则，即，即，D对

故选：ABD．

二、填空题

7．（2021·北京大兴区高二期末）在等比数列{an}中，a1=，a4=-4，则公比q=______________；_________________．

【答案】﹣2，

【解析】q===﹣2，|a1|+|a2|+…+|an|==.

8．（2020·江苏高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．

【答案】

【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.

等差数列的前项和公式为，

等比数列的前项和公式为，

依题意，即，

通过对比系数可知，故.

9．（2020·全国高考真题）数列满足，前16项和为540，则 ______________.

【答案】

【详解】，

当为奇数时，；当为偶数时，.

设数列的前项和为，

，.

10．（2021·江苏苏州高二期末）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．

【答案】27

【解析】设，则

由得

所以只需研究是否有满足条件的解，

此时，，为等差数列项数，且.

由

得满足条件的最小值为.

三、解答题

11．（2020·全国高考真题）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

【详解】

（1）设的公比为，为的等差中项，

，

；

（2）设的前项和为，，

，①

，②

①②得，

，

.

12．（2020·浙江高考真题）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．

（1）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．

【详解】

（1）依题意，而，即，由于，所以解得，所以.

所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.

所以（）.

所以，又，符合，

故.

（2）依题意设，由于，

所以，

故

.

又，而，

故

所以

.

由于，所以，所以.

即， .