人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）备课ppt课件

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4.5.3 函数模型的应用（第1课时）
第 4章 指数函数与对数函数
人教A版2019必修第一册
学习目标
1.会利用已知函数模型解决实际问题．(重点)2.能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点)3.了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点)4.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模，数据分析的能力．(重点)
函数是描述客观世界变化的规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述。例如：澳大利亚的兔子数“爆炸”.
澳大利亚兔子
一大群喝水、嬉戏的兔子，多可爱啊，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
想一想：这种现象可以用哪个函数模型来描述呢？
在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线； 在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．
可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的.
前期
后期
我们常见的函数模型有哪些？
1、常见函数模型
例3、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在 1978 年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthas，1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型y=y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．下表是1950～1959年我国的人口数据资料
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率 (精确到0.0001)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；(2)如果按上表的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？
 
事实上 ， 我国 1989年的人口数为 11.27亿 ， 直到 2005年才突破13 亿 ． 对由函数模型所得的结果与实际情况不符 ， 你有何看法 ？
因为人口基数较大 ， 人口增长过快 ， 与我国经济发展水平产生了较大矛盾 ， 所以我国从 ２０ 世纪 ７０ 年代逐步实施了计划生育政策 ． 因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件 ， 自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况 ．
例4、2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2％，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的?
分析：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数y=kax(k∈R,且k≠0;a>0,且a≠1)建立数学模型．
解：设样本中碳14的初始量为k，衰减率为p(0于是 ，所以　由样本中碳14 的残余量约为初始量的55.2％可知 ，即　　　　　　 解得 ．由计算工具得x≈4912．因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此水坝大概是公元前2902年建成的．
归纳总结
已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.
1.一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 ,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 .(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?分析可建立指数函数模型求解.
2.为落实国家“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某企业于2017年在其扶贫基地投入100万元研发资金,用于蔬菜的种植及开发,并计划今后十年内在此基础上每年投入的资金比上一年增长10%.(1)写出第x年(2018年为第一年)该企业投入的资金数y(单位:万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域;(2)该企业从第几年开始(2018年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元?(参考数据lg 0.11≈-0.959,lg 1.1≈0.041,lg 11≈1.041,lg 2≈0.301)
解:(1)第一年投入的资金数为100(1+10%)万元,第二年投入的资金数为100(1+10%)+100(1+10%)10%=100(1+10%)2万元,第x年(2018年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式为y=100(1+10%)x万元,其定义域为{x∈N*|x≤10}.即企业从第8年开始(2018年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元.
3.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现v与(1)求出v关于Q的函数解析式;(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数;(3)一条鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量的单位数应怎样变化?
2.解决函数模型应用问题的基本步骤：
课堂小结
提出问题
建立模型
检验模型
抽象概括
求解模型
还原说明
推理演算
1.两种模型
马尔萨斯人口增长模型和碳14年代推测模型