人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示习题

平面向量基本定理

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、多选题

1．已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（    ）

A．若实数m，n使，则

B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数

C．对于m，，不一定在该平面内

D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使

2．如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（    ）

A．与 B．与 C．与 D．与

二、单选题

3．设，是同一平面内的两个向量，则有　(　　)

A．，一定平行 B．，的模相等

C．同一平面内的任一向量都有=λ+μ (μ，λ∈R) D．若，不共线，则同一平面内的任一向量都有=λ+μ (μ，λ∈R)

4．若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

5．设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

6．如图，点O是正六边形的中心，则下面结论正确的是（    ）

A． B． C． D．向量与能构成一组基底

7．在中，D在上，，设，，则（    ）

A． B．

C． D．

8．如图，在中，为的中点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（    ）

A． B．

C． D．

9．如图，在平行四边形中，、分别为、的中点，设，，则向量=（    ）

A． B．

C． D．

10．如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且．记，，则（    ）

A． B． C． D．

11．在平行四边形中，点在对角线上，点在边上，，，且，，则（    ）

A． B． C． D．

12．在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（    ）

A． B． C． D．

13．如图，在中，M为BC的中点，则=（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

14．如图，在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若，，则的最小值为（    ）

A．3 B．12 C．4 D．16

三、填空题

15．已知不共线，，要使能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________________.

16．如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________.

17．如图，A，B，C，D为平面内的四个点，，为线段的中点，若，则______．

18．如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若，则_________

四、解答题

19．如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设，，试用基底表示向量.

20．如图所示，在△OAB中，，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，求.

21．如图．在中，是的中点，点在上，且，与交于点．若，求的值．

22．如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.

(1)若，求的值；

(2)设，，，，求的值；

参考答案：

1．AB

【分析】根据基底的定义逐项判断即可.

【详解】解：根据基底的定义知AB正确；

对于C，对于m，，在该平面内，故C错误；

对于D，m，n是唯一的，故D错误.

故选:AB.

2．BC

【分析】根据平面向量基底的定义，结合平行四边形的性质逐一判断即可.

【详解】A项中与共线，D项中与共线，B，C项中两向量不共线，

故选：BC

3．D

【详解】由已知，，是是平面内的两个向量不一定平行，向量长度不一定相等，即模不一定相等；所以A，B错误；

同理，如果，是平面内的两个共线向量，C 错误；

由平面向量基本定理可得，D正确；

故选：D．

4．C

【分析】根据向量共线定理逐一判断.

【详解】对于A，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，A不选；

对于B，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，B不选；

对于C，假设存在实数，使，则，解得，即与共线，选C；

对于D，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，D不选；

故选：C

5．D

【分析】利用基底的定义对四个选项一一验证.

【详解】，是平面内所有向量的一组基底.

对于A：和不共线，可以作为平面的一组基底.

对于B：和不共线，可以作为平面的一组基底.

对于C：和不共线，可以作为平面的一组基底.

对于D：因为，所以和共线，所以不能作为平面的一组基底.

故选：D

6．A

【分析】由正六边形性质及向量加法的线性运算可判断每一个选项.

【详解】对于A，由正六边形的性质可知，所以，故A正确；

对于B，由正六边形的性质可知，从而可知与不可能共线，故B不正确；

对于C，，故C不正确；

对于D，由正六边形的性质可知与平行，故向量与不能构成一组基底，故D不正确.

故选：A

7．D

【分析】根据平面向量的线性运算法则，计算即可得出答案.

【详解】解：因为，所以，

则.

故选：D.

8．A

【分析】利用向量的加减法运算法则，化简求解即可．

【详解】解：因为为的中点，则．

因为为的中点，则．

所以，即.

故选：A．

9．B

【分析】由已知可得出，，将等式相加结合向量加法的平行四边形法则可得出关于、的表达式.

【详解】由向量加法的平行四边形法则可得，

由已知，

同理可得，

所以，，因此，.

故选：B.

10．D

【分析】由题，，，结合向量加法法则即可求得

【详解】

，

故选：D

11．C

【分析】运用向量的分解和加减运算即可得出结果.

【详解】解析：

．

故选：C．

12．D

【分析】设，根据三点共线，即共线，可设，用表示出关系，即可解出结果.

【详解】.

设，

则,

又，且三点共线，则共线，

即，使得，即，

又不共线，则有，解得，

所以，.

故选：D.

13．C

【分析】以为基底，表示，又，则可得出的关系式，求解计算可得结果.

【详解】，，故.

故选：C

14．C

【分析】根据和向量的线性运算可得，再利用“1”的代换结合基本不等式可求的最小值.

【详解】连接，

因为，故，故，

故，

而三点共线，故，

故，

当且仅当时等号成立，

故的最小值为4，

故选：C

15．

【分析】根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线的性质进行求解即可.

【详解】当平面向量共线时，有，即，因此有，

因此要想能作为平面内的一组基底，则必有平面向量不共线，所以，

故答案为：

16．##

【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示即可求出的值

【详解】因为，所以为的中点，

因为是的中点，

所以，

所以,

因为，

所以，

故答案为：

17．##1.25

【分析】根据向量的线性运算即可结合平面向量基本定理求解.

【详解】因为，即，所以．

又为线段的中点，所以，所以，，则．

故答案为:

18．##0.4

【分析】利用表示向量，再借助平面向量基本定理计算作答.

【详解】在长方形ABCD中，向量不共线，M，N分别为线段BC，CD的中点，

则有，，

，因，

则有，

于是得，解得，所以.

故答案为：

19．

【详解】试题分析：

根据N，E，B三点共线和C，E，M三点共线分别得到向量关于基底的分解式，根据分解式的唯一性可得系数相等，由此可得向量关于基底的表达式．

试题解析：

由题意得，，

由N，E，B三点共线知存在实数m，满足.

由C，E，M三点共线知存在实数n，满足.

所以.

由于为基底，

所以，解得

所以.

点睛：应用平面向量基本定理应注意的问题

（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，平面的基底可以有无穷多组．在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．

（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．

20．

【解析】由，转化为以为起点，求出用基底表示，由三点共线，和三点共线，将用表示，结合向量基本定理建立等量关系，即可求解.

【详解】点M是AB上靠近B的一个三等分点，,

，

，

因为与共线，

故可设，

又共线，可设，

所以解得

所以.

【点睛】本题考查向量线性关系、向量基本定理，要注意三点共线充要条件的应用，属于中档题.

21．

【分析】设，，由向量线性运算得，

由此可构造方程组求得，由可求得，由此可得结果.

【详解】设，又，则；

设，

，

又，，，

，解得：，，，

，

，，即.

22．(1)；

(2)3.

【分析】（1）利用向量的线性运算的几何表示，将用表示，进而即得；

（2）由，将用表示，利用三点共线即得.

【详解】（1）因，

所以，

又因为的中点，

所以，

所以，又，

所以；

（2）因，，，，

所以，，又因，

所以，

又因，，三点共线，

所以，即.