高中人教A版 (2019)4.2 指数函数复习练习题
展开专题4.2 指数函数
1、指数函数的概念:一般地,函数 叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.即 a>0且a≠1
2、指数函数的图象和性质
| 0<a<1 | a>1 | |||
图 像 | |||||
性质 | 定义域R , 值域(0,+∞) | ||||
(1)过定点(0,1),即x=0时,y=1 | |||||
(2)在R上是减函数 | (2)在R上是增函数 | ||||
(3)当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>1 | (3)当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 | ||||
| 图象特征 | 函数性质 | |||
共性 | 向x轴正负方向无限延伸 | 函数的定义域为R | |||
函数图象都在x轴上方 | 函数的值域为R+ | ||||
图象关于原点和y轴不对称 | 非奇非偶函数 | ||||
函数图象都过定点(0,1) | 过定点(0,1) | ||||
0<a<1 | 自左向右看,图象逐渐下降 | 减函数 | |||
在第一象限内的图象纵坐标都小于1 | 当x>0时,0<y<1; | ||||
在第二象限内的图象纵坐标都大于1 | 当x<0时,y>1 | ||||
图象上升趋势是越来越缓 | 函数值开始减小极快, 到了某一值后减小速度较慢; | ||||
a>1 | 自左向右看,图象逐渐上升 | 增函数 | |||
在第一象限内的图象纵坐标都大于1 | 当x>0时,y>1; | ||||
在第二象限内的图象纵坐标都小于1 | 当x<0时,0<y<1 | ||||
图象上升趋势是越来越陡 | 函数值开始增长较慢, 到了某一值后增长速度极快; | ||||
注意: 指数增长模型:y=N(1+p)x 指数型函数: y=kax
3 考点:(1)ab=N, 当b>0时,a,N在1的同侧;当b<0时,a,N在1的 异侧。
(2)指数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较幂的大小,同底找对应的指数函数,底数不同指数也不同插进1(=a0)进行传递或者利用(1)的知识。
(3)求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子,值域求法用单调性。
(4)分辨不同底的指数函数图象利用a1=a,用x=1去截图象得到对应的底数。
一、单选题
1.若函数是指数函数,则等于( )
A.或 B.
C. D.
【来源】4.2.2 指数函数的图象与性质
【答案】C
【解析】由题意可得,解得.故选:C.
2.函数,(且)的图象必经过一个定点,则这个定点的坐标是( )
A. B. C. D.
【来源】江西省铜鼓中学2021-2022学年新高一衔接班期末数学试题
【答案】B
【解析】解:令,解得,
所以当时,,
所以函数过定点.故选:B
3.若函数为上的奇函数,则实数的值为( )
A. B. C.1 D.2
【来源】河北省保定市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】A
【解析】函数为上的奇函数,
故,得,
当时,满足 ,
即此时为奇函数,
故,故选:A
4.已知是定义在R上的奇函数,且,当时,,则( )
A.2 B.-2 C.0 D.
【来源】吉林省松原市重点高中2021-2022学年高一3月联考数学试卷
【答案】B
【解析】由题意,的周期为4,又是定义在R上的奇函数,
所以.故选:B.
5.已知f(x)=,则f(4)+f(-4)=( )
A.63 B.83 C.86 D.91
【来源】新疆阿勒泰地区2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题
【答案】C
【解析】依题意,当x<5时,f(x)=f(x+3),于是得f(-4)= f(-1)=f(2)=f(5),f(4)=f(7),
当x≥5时,f(x)=2x-x2,则f(5)=25-52=7,f(7)=27-72=79,
所以f(4)+f(-4)=86.故选:C
6.函数的图象大致为( )
A. B
C.D
【来源】河南省豫北名校2021-2022学年高一下学期第一次联考数学试题
【答案】A
【解析】由题意,得,所以,所以是奇函数,其图象关于原点对称,所以排除B,D.
又因为,,所以排除C.
故选:A
7.若,则a、b、c的大小关系是( )
A. B. C. D.
【来源】云南省丽江市2021-2022学年高一下学期期末教学质量监测数学试题
【答案】A
【解析】因为在上单调递增,且,
所以,即,因为在上单调递减,且,
所以,即,所以,即故选:A
8.设函数对任意的,都有,,且当时,,则( )
A. B. C. D.
【来源】宁夏吴忠中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题
【答案】A
【解析】由得,
所以,即,
所以的周期为4,,
由得,
所以.故选:A.
9.是定义域为的函数,且为奇函数,为偶函数,则的值是( )
A. B. C. D.
【来源】内蒙古包头市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题
【答案】A
【解析】由题意,,即,
,即,
所以,可得,
故.故选:A.
10.若,则下列关系式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
【来源】陕西省榆林市神木中学、府谷中学和绥德中学2021-2022学年高一下学期期末联考数学试题
【答案】A
【解析】由可知:
,为偶函数,
又,
知在上单调递减,在上单调递增,
故,
故选:A.
11.已知函数是定义在上的偶函数,当时,,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【来源】浙江省温州市环大罗山联盟2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题
【答案】A
【解析】当时,,则在上单调递增,又函数是上的偶函数,且,
因此,,解得,
所以不等式的解集为.
故选:A
12.已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【来源】浙江省台州市玉环市坎门中学2021-2022学年高一下学期返校考试数学试题
【答案】B
【解析】∵在上单调递增,
∴,解得.故选:B.
13.函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
【来源】浙江省杭州学军中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】C
【解析】依题意,,解得:,即定义域为,
令,则函数在上单调递增,在上单调递减,
而函数在R上单调递减,因此,在上单调递减,在上单调递增,
所以函数的单调递增区间为.
故选:C
14.已知函数,,则函数的值域为( ).
A. B. C. D.
【来源】江西省丰城中学2021-2022学年高一下学期入学考试数学试题
【答案】B依题意,函数,,令,则在上单调递增,即,
于是有,当时,,此时,,
当时,,此时,,
所以函数的值域为.故选:B
15.函数,,若对,都存在,使成立,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】若对,都存在,使成立,则需,
又,,所以,
令,因为,所以,所以,
所以,解得,则m的取值范围是,
故选:B.
【点睛】
结论点睛:本题考查不等式的恒成立与有解问题,可按如下规则转化:
一般地,已知函数,
(1)若,,总有成立,故;
(2)若,,有成立,故;
(3)若,,有成立,故;
(4)若,,有,则的值域是值域的子集 .
二、多选题
16.已知函数,则( )
A.的值域为R B.是R上的增函数
C.是R上的奇函数 D.有最大值
【答案】ABC
【解析】,而,所以值域为R,A正确,D错误;
因为是递增函数,而是递增函数,所以是递增函数,B正确;
因为定义域为R,且,所以是R上的奇函数,C正确;
故选:ABC
17.已知函数,则下列结论正确的有( )
A.的图象关于坐标原点对称 B.的图象关于轴对称
C.的最大值为1 D.在定义域上单调递减
【来源】浙江省“新高考名校联盟”2021-2022学年高一下学期5月检测数学试题
【答案】AD
【解析】因为,所以为奇函数,图象关于坐标原点对称,故A正确;因为,,,所以不是偶函数,图象不关于轴对称,故不B正确;
因为,又,所以,所以,
所以,故C不正确;
因为,且为增函数,所以在定义域上单调递减,故D正确.故选:AD
18.下列结论中,正确的是( )
A.函数是指数函数
B.函数的单调增区间是
C.若则
D.函数的图像必过定点
【来源】广东省韶关市武江区市实验中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题
【答案】BD
【解析】由指数函数定义得函数不是指数函数,A错;
函数中,,在上递增,在上递减,因此函数的单调增区间是,B正确;
时,由得,C错;
函数中,由得,,即函数图象过点,D正确.
故选:BD.
19.已知函数,则下列结论正确的是( )
A.函数的定义域为R
B.函数的值域为
C.函数的图象关于y轴对称
D.函数在R上为增函数
【来源】重庆市九龙坡区2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】ABD
【解析】A:因为,所以函数的定义域为R,因此本选项结论正确;
B:,
由,所以函数的值域为,因此本选项结论正确;
C:因为,所以函数是奇函数,其图象关于原点对称,不关于y轴对称,因此本选项说法不正确;
D:因为函数是增函数,因为,所以函数是减函数,
因此函数是增函数,所以本选项结论正确,
故选:ABD
20.已知,都是定义在上的函数,其中是奇函数,为偶函数,且,则下列说法正确的是( )
A.为偶函数
B.
C.为定值
D.
【来源】浙江省金华十校2021-2022学年高一上学期期末联考数学试题
【答案】ACD
【解析】
令为得即
解得,
对于A. ,故为偶函数
对于B. ,故B错
C. ,故C对
D.当时,,
当时,,
故D对故选:ACD
三、填空题
21.已知函数,若,则实数的取值范围是___.
【答案】
【解析】:和在上都是单调递减,
在上单调递减,
由,可得,解得,即.
故答案为:
22.已知函数为定义在R上的奇函数,则____.
【来源】3.3 函数的奇偶性
【答案】##3.5
【解析】因为是定义在R上的奇函数,所以,特别地,当时,得到.由取,
所以,所以.再分别令和,得,,
两式相加得,且,则,所以.故答案为:.
23.已知是定义在上的奇函数,且,当时,,则___________.
【来源】江西省上饶市重点中学协作体2021-2022学年高一下学期期末联考数学试题
【答案】
【解析】:因为,
所以函数是以4为周期的周期函数,
又因是定义在上的奇函数,所以.故答案为:.
24.设不等式对于任意的恒成立,则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】:由,得,
即,
,,
则,
,则,即.故答案为:
四、解答题
25.已知定义在上的奇函数.在时,.
(1)试求的表达式;
(2)若对于上的每一个值,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】(1):是定义在上的奇函数,,
因为在时,,
设,则,
则,
故 .
(2):由题意,可化为
化简可得,
令,,
因为在定义域上单调递增,在上单调递减,
所以在上单调递减,
,故.
26.已知函数是定义域为的奇函数.
(1)若集合,,求;
(2)设,且在上的最小值为-7,求实数的值.
【来源】湖南省天壹名校联盟2021-2022学年高一下学期3月大联考数学试题
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)解:因为是定义域为的奇函数,
所以,可得,当时,,所以,,所以为奇函数,所以;
由,得,即,
因为,所以,所以,即;
由,且,得,即,
所以,所以;
(2)因为,
,令,因为,所以,
所以,
当时,在上为减函数,在上为增函数,
所以,即,
所以,解得,或(舍去);
当时,在上为增函数,所以,
即,所以,解得(舍去),
所以.
27.已知定义在上的奇函数,当时,函数解析式为.
(1)求a的值,并求出在上的解析式;
(2)若对任意的,总有,求实数t的取值范围.
【来源】河南省林州市第一中学2021-2022学年高一下学期开学检测数学试题
【答案】(1)-3,;
(2).
【解析】(1)根据题意,是定义在上的奇函数,则有,
当时,则,解得:,
当时,,
设,则,则,又为奇函数,
所以,
综上,,
(2)由(1),时,,
设,则,则原函数可化为:,
由,知:在上恒成立,
要使在上恒成立,只需,解得:,
所以t的取值范围为.
28.已知函数.
(1)求的值;
(2)求函数的值域;
(3)若,且对任意的、,都有,求实数的取值范围.
【来源】广东省深圳市光明区2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】(1);(2);(3).
【解析】(1):.
(2)解:.
,则 ,则 ,所以,,
函数的值域为 .
(3)解:,
令,则,,函数的对称轴为直线.
①当时,函数在上单调递减,,
,解得,此时的取值不存在;
②当时,函数在 上单调递增,,
,解得,此时的取值不存在;
③当时,函数在上单调递减,在上单调递增,
,且,
所以, ,解得,此时.
综上,实数的取值范围为.
29.设函数(且)是定义域为的奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)若,,且当时,恒成立,求实数m的取值范围.
【来源】河南省洛阳市2021-2022学年高一下学期期末数学文科试题
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)函数(且)是定义域为的奇函数,则,
所以,
又时,,对任意的,都有成立,满足题意,
所以;
(2)由(1)知,,且,
所以,,
所以,或(舍),
令,则,
由当时,恒成立,得在时恒成立,
则在时恒成立,又在上单调递增,
所以,,所以,.
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