人教A版必修第一册基础重点难点题型高分突破第2章一元二次函数、方程和不等式单元综合检测（重点）（Word版附解析）

第2章 一元二次函数、方程和不等式 单元综合检测（重点）

一、单选题

1．下列命题正确的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】D

【分析】由不等式性质依次判断各个选项即可.

【解析】对于A，若，由可得：，A错误；

对于B，若，则，此时未必成立，B错误；

对于C，当时，，C错误；

对于D，当时，由不等式性质知：，D正确.

故选：D.

2．若，则有（       ）

A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值

【答案】D

【分析】根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.

【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故有最大值．

故选：D.

3．不等式的解集是（       ）

A． B．

C．或 D．

【答案】B

【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．

【解析】解：不等式可转化为，即，即，

所以不等式等价于解得：，

所以原不等式的解集是

故选：B

4．已知，则且是且成立的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分不必要条件的定义和不等式的性质进行判断可得答案.

【解析】因为且，所以且；

取，，则且，但不满足，所以前者是后者的充分不必要条件.

故选：A.

5．不等式的解集为，则不等式的解集为（       ）

A．或 B．

C． D．或

【答案】A

【分析】由题意可知-1、2是关于x的二次方程的两根，利用韦达定理可求得a、b的值，进而可求得不等式的解集．

【解析】由题意可知：-1、2是关于x的二次方程的两根，由韦达定理可得，解得，

不等式即为，解得或．

因此，不等式的解集为或．

故选：A．

6．若实数满足：，则的最小值为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据基本不等式可求的最小值.

【解析】因为，所以，

由基本不等式可得，

故，解得或（舍），即

当且仅当时等号成立，

故的最小值为1，

故选：A.

7．已知正实数，且，则 的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将变为，即可得，因此将变为，结合基本不等式即可求得答案.

【解析】因为正实数，，故，

所以，

故，

当且仅当时取得等号，

故选：C

8．已知集合，对于任意的，使不等式恒成立的x的取值范围为（       ）

A．或 B．或

C． D．

【答案】B

【分析】解不等式求出集合，原不等式可转化为对恒成立，由或即可求解.

【解析】由，得，所以，

由不等式对于任意的恒成立，

即不等式对于任意的恒成立，

所以即不等式对恒成立，

所以只需或对于任意的恒成立，

只需或对于任意的恒成立.

因为，所以只需或，

故选：B.

二、多选题

9．若正实数，满足，则下列说法正确的是（       ）

A．有最大值 B．有最大值

C．有最小值4 D．有最小值

【答案】ABC

【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别分析各选项即可判断．

【解析】解：因为正实数，满足，所以，当且仅当时取等号，所以，故有最大值，故A正确；，当且仅当时取等号，

故，即有最大值，故B正确；

，当且仅当时取等号，故有最小值4，故C正确；

，当且仅当时取等号，所以有最小值，故D错误．

故选：ABC．

10．若不等式的解集为，则下列说法正确的是（       ）

A． B．

C．关于的不等式解集为 D．关于的不等式解集为

【答案】ABD

【分析】先由题意及根与系数的关系得到，，即可判断A、B；对于C、D：把不等式转化为，即可求解.

【解析】因为不等式的解集为，

所以，故，此时，所以A正确, B正确；

，解得：或.所以D正确；C错误.

故选：ABD

11．2022年1月，在世界田联公布的2022赛季首期各项世界排名中，我国一运动员以1325分排名男子100米世界第八名，极大地激励了学生对百米赛跑的热爱．甲、乙、丙三名学生同时参加了一次百米赛跑，所用时间（单位：秒）分别为，，．甲有一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑，另一半的时间以速度奔跑；乙全程以速度奔跑；丙有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑．其中，．则下列结论中一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】首先利用时间和速度的关系表示三人的时间，再利用不等式的关系，结合选项，比较大小，即可判断选项.

【解析】由题意，所以，，，

根据基本不等式可知，故，当且仅当时等号全部成立，故A选项正确，B选项错误；

，故C选项正确；，故D选项错误．

故选：AC．

12．若关于x的一元二次方程有实数根，且，则下列结论中正确的说法是（       ）

A．当时，， B．

C．当时， D．当时，

【答案】ABD

【解析】根据题意得，函数与图象有两个交点，进而数形结合即可得答案.

【解析】解：A中，时，方程为，解为：，，所以A正确；

B中，方程整理可得：，由不同两根的条件为：，所以，所以B正确.

当时，在同一坐标系下，分别作出函数和的图像，如图，

可得，所以C不正确，D正确，

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题考查根据一元二次方程的实数根求参数问题，解题的关键是将问题转化为函数与图象有两个交点问题，进而数形结合解决.考查数形结合思想和化归转化思想，是中档题.

三、填空题

13．若．则P，Q的大小关系__________（用“”，“”，“”连接两者的大小关系）

【答案】

【分析】通过平方的方法来判断的大小关系.

【解析】依题意可知，

所以，所以.

故答案为：

14．已知a，b∈R，且，则的最小值是 _____．

【答案】2

【分析】两次利用基本不等式即可得出结论.

【解析】∵，

∴ ，当且仅当a＝1＝b时取等号，

其最小值是2，

故答案为：2．

15．已知关于的不等式组的解集为，则实数的值为_________.

【答案】

【分析】结合解集区间为闭区间可知，是方程的解，且，然后结合方程的根与系数关系可求．

【解析】因为关于的不等式组的解集为，，

结合解集区间为闭区间可知，是方程的解，且，

所以，

解可得或或（舍，

当，时，不等式组为，解得且不合题意；

当，时，不等式组，解得，此时符合题意．

故，

故答案为：．

16．，，且，若对于任意的x，y不等式恒成立，则实数k的取值范围为______.

【答案】

【分析】先求的最小值，再求解二次不等式可得结果.

【解析】因为，，且，所以

又，当且仅当时，即时，等号成立；

所以的最小值为.

所以有，解得，

故答案为：.

四、解答题

17．已知a＞0，b＞0且1，

(1)求ab最小值；

(2)求a+b的最小值．

【答案】(1)8

(2)

【分析】（1）由基本不等式直接得出不等关系后可得最小值．

（2）利用已知凑配出定值后，由基本不等式得最小值．

（1）

由已知，解得，当且仅当即时等号成立，

所以最小值是8；

（2）

由已知，

当且仅当，即时，等号成立．

所以的最小值是．

18．求解下列各题：

（1）求的最大值；

（2）求的最小值.

【答案】（1）；（2）8.

【分析】（1）因为，所以利用均值不等式即可求解；

（2）因为，所以利用均值不等式即可求解.

【解析】解：（1）因为，又，

所以，

所以，当且仅当，即时取等号，

故y的最大值为；

（2）由题意，，

因为，所以，

所以，当且仅当，即时等号成立，

故y的最小值为8.

19．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：（＞0）．

（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）

（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

【答案】（1）当v＝40km/h时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；（2）25＜v＜64．

【分析】（1）根据基本不等式性质可知，进而求得y的最大值．根据等号成立的条件求得此时的平均速度．

（2）解不等式，即可求出v的范围．

【解析】（1）依题意知，，当且仅当v，即v＝40时，上式等号成立，∴ymax（千辆/时）．

∴当v＝40km/h时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时．

（2）由条件得，整理得v2﹣89v+1600＜0，

即．解得25＜v＜64．

20．设a0，b0，a+b＝2．

（1）证明：≥4；

（2）证明：a3+b3≥2．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【分析】（1）把展开化简，利用基本不等式即可得证；

（2）结合已知条件，利用两数和的立方公式展开，再用基本不等式即可得证.

【解析】（1）证明：因为，，.

.

且（当且仅当时取等号），

故.

所以

（2）证明：

当且仅当时取等号，

又，

故.

21．已知不等式．

（1）若对于所有的实数不等式恒成立，求的取值范围；

（2）设不等式对于满足的一切的值都成立，求的取值范围．

【答案】（1），；（2），，．

【分析】（1）分时和时两种情况讨论求解即可；

（2）由题知，设，进而根据函数单调性得，解不等式即可得答案.

【解析】解:（1）时，恒成立，

时，，解得：，

综上，的范围是，；

（2）由题意易知，设，

因为不等式对于满足的一切的值都成立，所以，

，

或，

故的范围是，，．

22．已知二次函数.

(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式；

(2)若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）设二次函数的两个零点分别为，，由求出t，直接解得；

（2）由根的分布情况列不等式组，求出实数t的取值范围．

（1）

设二次函数的两个零点分别为，，

由已知得，

而，所以，故，

不等式即，解得或，

故不等式的解集为或.

（2）

因为方程的两个实根均大于且小于4，所以，即，

解得：，即实数t的取值范围为.

23．已知关于x的不等式的解集为M．

(1)若，求k的取值范围；

(2)若存在两个不相等的负实数a、b，使得，求实数k的取值范围；

(3)证明：存在实数k，满足：“对于任意，都有；对于任意负整数m，都有”．

【答案】(1)或

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）讨论二次项系数及不为0时，求出原不等式的解集为时的取值范围．

（2）若存在两个不相等负实数、，使得，，，列出不等式组即可求出的取值范围．

（3）根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即可．

(1)

当时，解得，或，

①当时，不等式化为，时，解集为，

②当时，不等式化为，对任意实数不等式不成立，

③当时，解得，，，

综上，的取值范围是，，．

(2)

若存在两个不相等负实数、，使得，，，

则，

解得，

实数的取值范围为．

(3)

根据题意，得出解集，，，

当时，解得，或，

时，不等式的解集为，，满足条件，

时，恒成立，不满足条件，

当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件，

当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件，

综上，存在满足条件的值为3．