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第24讲 角的概念与运算及余角补角（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）
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这是一份第24讲 角的概念与运算及余角补角（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版），文件包含第24讲角的概念与运算及余角补角解析版docx、第24讲角的概念与运算及余角补角原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
第24讲 角的概念与运算及余角补角（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
【模块一】角的有关概念及表示法
考点一 角的定义及其表示法
典例1 （2020秋•唐山期中）下列关于角的说法正确的是（ ）
A．角是由两条射线组成的图形
B．角的边越长，角越大
C．在角一边延长线上取一点
D．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
思路引领：根据角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角的大小与边的长度无关分别进行分析．
解：A、角是由两条射线组成的图形，说法错误；
B、角的边越长，角越大，说法错误；
C、在角一边延长线上取一点，说法错误，角的边是射线，只有反向延长线；
D、角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，说法正确；
故选：D．
解题秘籍：此题主要考查了角的概念，关键是掌握有公共端点是两条射线组成的图形叫做角．
典例2（2022春•文登区校级期中）∠O，∠AOB，∠1表示同一角是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领：根据角的表示方法和图形进行判断即可．
解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
C、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；
D、图中的∠1不能用∠O表示，故本选项错误；
故选：C．
解题秘籍：本题考查了角的表示方法的应用，角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．
针对训练1
1．（2021秋•丛台区校级期末）如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠AOB也可用∠O来表示
B．∠β与∠BOC是同一个角
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠1与∠AOB是同一个角
思路引领：根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示进行分析即可．
解：A、∠1与∠AOB是同一个角，不可用∠O来表示，说法错误；
B、∠β与∠BOC是同一个角，说法正确；
C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，说法正确；
D、∠1与∠AOB是同一个角，说法正确；
故选：A．
解题秘籍：此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法．
考点二 角的单位及其换算
典例3（2022春•单县校级月考）度、分、秒的计算
①56°18′+72°48′＝
②131°28′﹣51°32′15″＝
③12°30′20″×2＝
④12°31′21″÷3＝
思路引领：单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．
解：①56°18′+72°48′＝129°6′；
②131°28′﹣51°32′15″＝79°55′45″
③12°30′20″×2＝25°40″；
④12°31′21″÷3＝4°10′27″．
解题秘籍：本题考查了度分秒的换算．相同单位相加，满60时向上一单位进1．
针对训练2
2．（2022春•江阴市校级月考）计算：
（1）45°10′﹣21°35′20″；
（2）48°39′+67°31′﹣21°17′；
（3）42°16′+18°23′×2．
思路引领：（1）根据度分秒之间的进率解答；
（2）根据度分秒之间的进率解答；
（3）先计算乘法，再计算加法．
解：（1）原式＝44°69′60″﹣21°35′20″
＝23°34′40″；
（2）原式＝115°70′﹣21°17′
＝94°53′；
（3）原式＝42°16′+36°46′
＝79°2′．
解题秘籍：本题考查度分秒的计算，熟练掌握度分秒之间的进率是解题关键．
考点三 钟面上角的特征
典例4 下列关于钟表上时针与分针所成角的问题．
（1）上午3时整，时针与分针的夹角是多少度？是什么角？
（2）下午2点32分时，时针与分针的夹角是多少度？是什么角？
（3）一天中有多少次时针与分针成直角？
思路引领：（1）钟面上有12个大格，每个大格的度数是：360°÷12＝30°，然后根据时针与分针之间夹得格子的个数计算即可，根据角的度数就能知道是什么角；
（2）画出图形，利用钟表表盘的特征解答；
（3）一天24h中时针转2圈，分针转24圈，所以分针要超过时针24﹣2＝22（圈），分针每超过一圈，前后各有一次垂直，所以一天中有22×2＝44（次）时针与分针垂直．
解：（1）3点整，时针指向3，分针指向12，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，因此3点整分针与时针的夹角正好是3×30°＝90°，是直角；
（2）如图，
分针由起始位置12开始，旋转了32分钟，
∴共计6°×32＝192°
时针由起始位置2开始，旋转了192°×112=16°，
∴时针分针夹角为192°﹣（30°×2+16°）＝116°；
（3）一天24h中时针转2圈，分针转24圈，所以分针要超过时针24﹣2＝22（圈），分针每超过一圈，前后各有一次垂直，所以一天中有22×2＝44（次）时针与分针垂直．
所以一天中有44次时针与分针成直角．
解题秘籍：本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（112）°；两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
针对训练3
3．（2017秋•兴化市期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点O为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径OA表示时针，半径OB表示分针，它们所成的钟面角为∠AOB；本题中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间．
（1）时针每分钟转动的角度为 °，分针每分钟转动的角度为 °；
（2）8点整，钟面角∠AOB＝ °，钟面角与此相等的整点还有： 点；
（3）如图，设半径OC指向12点方向，在图中画出6点15分时半径OA、OB的大概位置，并求出此时∠AOB的度数．
思路引领：（1）根据时针旋转一周12小时，可得时针旋转的速度，根据分针旋转一周60分钟，可得分针旋转的速度；
（2）根据时针与分针相距的份数乘每份的度数，可得答案；
（3）根据时针旋转的角度减去分针旋转的角度，可得答案．
解：（1）时针每分钟转动的角度为0.5°，分针每分钟转动的角度为6°；
故答案为：0.5，6；
（2）0.5×60×4＝120°，4点时0.5×60×4＝120°，
故答案为：120，4；
（3）如图，
∠AOB＝6×30+15×0.5﹣15×6＝97.5°．
解题秘籍：本题考查了钟面角，利用时针时针旋转的角度减去分针旋转的角度是解题关键．
【模块二】 角的比较与运算
考点一 角的大小比较
典例5（2020秋•麦积区期末）如图，射线OC、OD在∠AOB的内部．
（1）∠AOB＝169°，∠AOC＝∠BOD＝90°，求∠COD的度数．
（2）当∠AOC＝∠BOD＝90°，试判断∠AOD与∠BOC的关系，说明理由．
（3）当∠AOC＝∠BOD＝α，（2）中的结论还存在吗？为什么？
思路引领：（1）根据角的和差关系可得∠BOC的度数，再根据∠COD＝∠BOD﹣∠BOC计算即可；
（2）根据角的和差关系求解即可；
（3）根据等角的余角相等可得∠AOD＝∠BOC．
解：（1）因为∠AOB＝169°，∠AOC＝∠BOD＝90°，
所以∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝169°﹣90°＝79°，
所以∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣79°＝11°；
（2）∠AOD＝∠BOC，理由：
因为∠AOC＝∠BOD＝90°，
所以∠AOD+∠DOC＝90°，∠BOC+∠DOC＝90°
所以∠AOD＝∠BOC．
（3）存在，仍然有∠AOD＝∠BOC．理由：
因为∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC，∠BOC＝∠BOD﹣∠DOC．
又因为∠AOC＝∠BOD＝α，
所以∠AOD＝∠BOC．
解题秘籍：本题主要考查了余角，熟记余角的定义与性质是解答本题的关键．
考点二 角的和差
典例6 如图，∠AOC，∠BOD都是直角，∠AOB：∠AOD＝5：17，求∠AOB与∠COD的度数．
思路引领：设∠AOB＝5x，则∠AOD＝17x，利用∠AOD﹣∠AOB＝90°得到17x﹣5x＝90°，可解得x＝7.5°，则∠AOB＝5x＝37.5°，然后利用等角的余角相等得到∠COD的度数．
解：∵∠AOC，∠BOD都是直角，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°，
设∠AOB＝5x，则∠AOD＝17x，
∵∠AOD﹣∠AOB＝90°，
∴17x﹣5x＝90°，解得x＝7.5°
∴∠AOB＝5x＝37.5°，
∵∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD＝90°，
∴∠COD＝∠AOB＝37.5°，
即∠AOB与∠COD的度数都是37.5°．
解题秘籍：本题考查了角的计算：会进行角的和差倍分计算．也考查了度、分、秒的加减运算．
针对训练4
4．（2022秋•通州区期末）如图，是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角．在54°，60°，63°，99°，120°，144°，150°，153°，171°的角中，能画出的角有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
思路引领：一副三角板中的度数，用三角板画出角，无非是用角度加减法，逐一分析即可．
解：54°＝90°﹣36°，则54°角能画出；
60°不能写成36°、72°和45°、90°的和或差的形式，不能画出；
63°＝90°﹣72°+45°，则63°可以画出；
99°＝90°+45°﹣36°，则99°角能画出；
120°不能写成36°、72°和45°、90°的和或差的形式，不能画出；
144°＝72°+72°，则144°角能画出；
150°不能写成36°、72°和45°、90°的和或差的形式，不能画出；
153°＝72°+72°+45°﹣36°，则153°可以画出；
171°＝90°+36°+45°，则171°可以画出．
总之，能画出的角有6个．
故选：B．
解题秘籍：此题考查的知识点是角的计算，关键是用三角板直接画特殊角的步骤：先画一条射线，再把三角板所画角的一边与射线重合，顶点与射线端点重合，最后沿另一边画一条射线，标出角的度数．
考点三 n等分线
典例7（2021秋•九龙县期末）如图，OE为∠AOD的平分线，∠COD=14∠EOC，∠COD＝15°
求：
①∠EOC的大小；
②∠AOD的大小．
思路引领：①由已知角度数以及两角之间的关系，求出所求即可；
②由∠COE﹣∠COD求出∠DOE度数，再利用角平分线性质求出所求即可．
解：①∵∠COD=14∠EOC，∠COD＝15°，
∴∠EOC＝60°；
②∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝∠AOE，
∵∠EOC＝60°，∠COD＝15°，
∴∠DOE＝45°，
则∠AOD＝2∠DOE＝90°．
解题秘籍：此题考查了角的计算，熟练掌握角平分线性质是解本题的关键．
考点四 证明角平分线
典例8（2021秋•高台县期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．
（1）求出∠BOD的度数；
（2）请通过计算说明OE是否平分∠BOC．
思路引领：（1）根据∠BOD＝∠DOC+∠BOC，首先利用角平分线的定义和邻补角的定义求得∠DOC和∠BOC即可；
（2）根据∠DOC与∠COE互余即可得出∠COE的度数，由（1）可知∠BOC＝130°，那么∠BOE＝∠BOC﹣∠COE＝65°，进而可得出结论，从而求解．
解：（1）因为∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，
所以∠DOC=12∠AOC＝25°，∠BOC＝180°﹣∠AOC＝130°，
所以∠BOD＝∠DOC+∠BOC＝155°；
（2）OE平分∠BOC．理由如下：
∵∠DOE＝90°，∠DOC＝25°，
∴∠COE＝90°﹣25°＝65°，
∵∠BOC＝130°，
∴∠BOE＝∠BOC﹣∠COE＝130°﹣65°＝65°，
∴∠COE＝∠BOE，
∴OE平分∠BOC．
解题秘籍：本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，以及邻补角的定义是解题的关键．
针对训练5
5．（2022秋•西青区校级期末）（1）如图1，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE 在∠BOC内，∠COE＝2∠BOE，∠DOE＝70°，求∠COE的度数．
（2）如图2，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．
①请你数一数，图中有 个小于平角的角；
②求出∠BOD的度数；
③请通过计算说明OE是否平分∠BOC．
思路引领：（1）先设∠BOE＝x，根据∠BOE=12∠EOC，得出∠COE＝2x，再根据角平分线的定义，得出∠AOD＝∠DOB＝70°﹣x，最后根据∠AOD+∠DOE+∠EOC＝180°，列出方程70°﹣x+70°+2x＝180°，求得x的值即可；
（2）①根据图形即可得出小于平角的角；②根据∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，得出∠AOD＝25°，最后根据∠BOD＝180°﹣∠AOD进行计算即可；③先根据∠AOC＝50°，得出∠BOC＝180°﹣50°＝130°，再根据∠DOE＝90°，求得∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝155°﹣90°＝65°，进而得出∠BOE=12∠BOC，即可得出结论．
解：（1）如图1，设∠BOE＝x，
∵∠BOE=12∠EOC，
∴∠COE＝2x，
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠DOB＝70°﹣x，
∵∠AOD+∠DOE+∠EOC＝180°，
∴70°﹣x+70°+2x＝180°，
解得x＝40°，
∴∠EOC＝80°；
（2）①由图可得，图中有9个小于平角的角，
故答案为：9；
②如图2，∵∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝25°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣25°＝155°；
③如图2，∵∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝155°﹣90°＝65°，
∴∠BOE=12∠BOC，
∴OE平分∠BOC．
解题秘籍：本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．
【模块三】余角与补角
考点一 余角与补角的定义
典例9 （2020秋•柘城县期末）如果一个角的补角比它的余角度数的3倍少10°，那么这个角的度数是 ．
思路引领：设这个角的度数是x，根据余角和补角的概念列出方程，解方程即可．
解：设这个角的度数是x，
由题意得180°﹣x＝3（90°﹣x）﹣10°，
解得x＝40°．
故答案为：40°．
解题秘籍：本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．
针对训练6
6．（2021春•电白区月考）如果一个角的余角是它的补角13，那么这个角的度数是（ ）
A．30° B．75° C．60° D．45°
思路引领：设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α，根据题意列出关系式，求出α的值即可
解：设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α．
由题意得，90°﹣α=13（180°﹣α），
解得：α＝45°．
故这个角的度数为45°．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了余角和补角的知识，解题的关键是掌握互余和补角的定义．
考点二 利用余角或补角的性质得角相等
典例10（2021秋•东城区期末）一条直线AB上有一点O，OM⊥AB于O，另有直角∠COD在平角∠AOB内，左右摆动（O点不动，OC与OA、OD与OB不重合），在摆动时，除直角外，保持相等的角有（ ）
A．一对 B．两对 C．三对 D．没有
思路引领：根据余角的性质：同角的余角相等，即可得到．
解：∠BOD＝∠COM，∠DOM＝∠AOC，共有2对．
故选：B．
解题秘籍：本题考查了余角的性质：同角的余角相等，正确理解性质是关键．
针对训练7
7．（2022春•单县期末）如图所示，∠AOC与∠BOD都是直角，且∠AOB：∠AOD＝2：11，则∠AOB＝（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
思路引领：由∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD知∠AOB＝∠COD，设∠AOB＝2α，则∠AOD＝11α，故∠AOB+∠BOC＝9α＝90°，解得α，从而可求解．
解：∵∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD＝90°，
∴∠AOB＝∠COD，
设∠AOB＝2α，
∵∠AOB：∠AOD＝2：11，
∴∠AOB+∠BOC＝9α＝90°，
解得α＝10°，
∴∠AOB＝20°．
故选：C．
解题秘籍：此题主要考查了角的计算以及余角和补角，正确表示出各角度数是解题关键．
考点三 求几何图形中互余或互补角的个数
典例11（2022秋•青山区期末）如图，AB、CD交于点O，∠AOE＝4∠DOE，∠AOE的余角比∠DOE小10°．
（1）求∠AOE的度数；
（2）请写出∠AOC在图中的所有补角 ；
（3）射线OP从OB出发以20°/秒的速度逆时针旋转至OC，设运动时间为t（0≤t≤13）．求t为何值时，∠COP＝∠AOE+∠DOP．
思路引领：（1）设∠DOE＝x°，∠AOE＝4x°，然后根据题目给出的等量关系即可求出答案；
（2）根据补角的定义即可求出答案；
（3）分0≤t≤4及4＜t≤9两种情况，根据∠COP＝∠AOE+∠DOP，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：（1）设∠DOE＝x°，则∠AOE＝4x°．
∵∠AOE的余角比∠DOE小10°，
∴90﹣4x＝x﹣10，
解得：x＝20，
∴∠AOE＝80°．
（2）观察图形可知：∠BOC，∠AOD均为∠AOC的补角；
∵∠AOE＝80°，∠DOE＝20°，
∴∠AOD＝100°．
∵∠BOD＝∠AOC＝80°，∠DOE＝20°，
∴∠BOE＝100°＝∠AOD，
∴∠BOE为∠AOC的补角．
故答案为：∠BOC，∠AOD，∠BOE．
（3）由题意可知：0≤t≤9．
①当0≤t≤4时，如图1所示．
∵∠COP＝100°+20t°，∠DOP＝80°﹣20t°，
∴100+20t＝80+80﹣20t，
解得：t=32；
②当4＜t≤9时，如图2所示．
∵∠COP＝260°﹣20t°，∠DOP＝20t°﹣80°，
∴260﹣20t＝80+20t﹣80，
解得：t=132．
综上所述：当t=32或132时，∠COP＝∠AOE+∠DOP．
解题秘籍：本题考查一元一次方程以及余角和补角，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据补角的定义，找出∠AOC的补角；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
针对训练8
8．如图，OC是平角∠AOB的平分线，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，图中和∠COD互补的角有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．0
思路引领：由OC是平角∠AOB的平分线求∠AOC＝∠BOC＝90°，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线求45°的角，结合互补的定义找出∠COD互补的角．
解：∵OC是平角∠AOB的平分线，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∵OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，
∴∠AOD＝∠DOC=12∠AOC＝45°，
∠COE＝∠EOB＝45°，
∴∠AOE＝135°，∠BOD＝135°，
∴∠AOE+∠DOC＝180°，∠COD+BOD＝180°，
∴∠AOE，∠BOD都与∠DOC互补，
∴图中和∠COD互补的角有2个．
故选：B．
解题秘籍：本题考查了补角、角平分线的定义，掌握两个定义的熟练应用，两角的和为180°是解决本题关键．
第二部分 专题提优训练
1．（2022•南京模拟）下列说法中正确的是（ ）
①﹣a是负数；②角的大小与边的长短无关；③若线段AC＝BC，则点C是线段AB的中点；④x3+y3是6次多项式；⑤射线AB和射线BA是同一条射线；⑥连接两点间的线，叫做这两点间的距离．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路引领：根据负数的定义，角的大小的比较方法，线段的中点，多项式的次数，射线的定义，两点间的距离对各小题进行逐一判定即可．
解：①根据负数的定义可知，﹣a不一定是负数，如a＝0，故①不符合题意．
②根据角的度量知道：角的大小与边的长短无关，故②符合题意．
③点C不在线段AB上时，AC＝BC，点C不是线段AB的中点，故③不符合题意．
④x3+y3是三次二项式，故④不符合题意．
⑤射线AB和射线BA不是同一条射线，故⑤不符合题意．
⑥连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离，故⑥不符合题意．
本题说法正确是②，有1个．
故选：A．
解题秘籍：本题主要考查负数的定义，角的大小的比较方法，线段的中点，多项式的次数，射线的定义，两点间的距离，本题的关键是熟练掌握课本基础知识．
2．（2021春•沂源县期末）下列语句正确的是（ ）
A．一条直线可以看成一个平角
B．周角是一条射线
C．角是由一条射线旋转而成的
D．角是由公共端点的两条射线组成的图形
思路引领：根据角的概念即可求出答案．
解：A、平角有一个顶点和两条边，而直线则没有，故A错误．
B、周角是一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，故B错误．
C、角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，故C错误．
D、具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故D正确．
故选：D．
解题秘籍：本题考查角的概念，解题的关键是正确理解角的概念，本题属于基础题型．
3．（2020秋•二道区期末）钟表在3点30分时，它的时针和分针所成的角是（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
思路引领：根据钟面平均分成12份，可得每份的度数，根据每份的度数可得时针与分针相距的份数，可得答案．
解：3点30分时，它的时针和分针所成的角是30°×2.5＝75°，
故选：A．
解题秘籍：本题考查了钟面角，每份的度数成时针与分针相距的份数是解题关键．
4．（2021秋•泗阳县期末）如图，是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角．在下列选项中，不能画出的角度是（ ）
A．44° B．114° C．18° D．96°
思路引领：一副三角板中的度数，用三角板画出角，无非是用角度加减，逐一分析即可．
解：A．44°不能写成36°、72°、30°、60°、90°的和或差的形式，不能画出，故本选项符合题意；
B．114°＝90°+60°﹣36°，能画出，故本选项不符合题意；
C．18°＝90°﹣72°，能画出，故本选项不符合题意；
D．96°＝60°+36°，能画出，故本选项不符合题意．
故选：A．
解题秘籍：此题考查的知识点是角的计算，关键是用三角板直接画特殊角的步骤：先画一条射线，再把三角板所画角的一边与射线重合，顶点与射线端点重合，最后沿另一边画一条射线，标出角的度数．
5．（2021秋•丛台区校级期末）如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠AOB也可用∠O来表示
B．∠β与∠BOC是同一个角
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠1与∠AOB是同一个角
思路引领：根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示进行分析即可．
解：A、∠1与∠AOB是同一个角，不可用∠O来表示，说法错误；
B、∠β与∠BOC是同一个角，说法正确；
C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，说法正确；
D、∠1与∠AOB是同一个角，说法正确；
故选：A．
解题秘籍：此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法．
6．（2020春•潍坊期中）如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠DAO可用∠DAC表示 B．∠COB也可用∠O表示
C．∠2也可用∠OBC表示 D．∠CDB也可用∠1表示
思路引领：根据角的表示方法进行判断．
解：A、∠DAO可用∠DAC表示，本选项说法正确；
B、∠COB不能用∠O表示，本选项说法错误；
C、∠2也可用∠OBC表示，本选项说法正确；
D、∠CDB也可用∠1表示，本选项说法正确；
故选：B．
解题秘籍：本题考查的是角的概念，角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．
7．下列式子中错误的是（ ）
A．38.78°＝38°46′48″
B．50°42'＝50.7°
C．98°45'+2°35'＝101°20'
D．108°18'﹣57°23'＝51°55'
思路引领：根据“1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″”进行度分秒的换算和度分秒间的加减计算．
解：A、38.78°＝38°46′48''，计算正确，故本选项不符合题意．
B、50°42'＝50.7°，计算正确，故本选项不符题意．
C、98°45'+2°35'＝（98°+2°）+（45′+35′）＝100°+80′＝101°20'，计算正确，故本选项不符合题意．
D、108°18'﹣57°23'＝（107°﹣57°）+（78′﹣23′）＝50°55'，计算错误，故本选项符合题意．
故选：D．
解题秘籍：考查了度分秒的换算，角的度量单位度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
8．（2022春•文登区校级期中）∠O，∠AOB，∠1表示同一角是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领：根据角的表示方法和图形进行判断即可．
解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
C、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；
D、图中的∠1不能用∠O表示，故本选项错误；
故选：C．
解题秘籍：本题考查了角的表示方法的应用，角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．
9．（2021秋•潮南区月考）如图，以O为顶点且小于180°的角有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
思路引领：根据角的定义可得，大于0°小于180°的角，从而求解．
解：大于0°小于180°的角有∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠DOC，∠COE，∠DOE，共9个．
故选：C．
解题秘籍：此题主要考查了角的定义，即由一个顶点射出的两条射线组成一个角．
10．（2021秋•无为市期末）用一副三角板（两块，可以组合）画角，不可能画出的角的度数是（ ）
A．15° B．45° C．75° D．115°
思路引领：根据角的和差关系解决此题．
解：三角板的内角的度数分别为45°、90°、30°、60°．
A．因为15°＝45°﹣30°，所以用一副三角板（两块，可以组合）画角，可能画出15°，故A不符合题意．
B．因为45°＝90°﹣45°，所以用一副三角板（两块，可以组合）画角，可能画出45°，故B不符合题意．
C．因为75°＝30°+45°，所以用一副三角板（两块，可以组合）画角，可能画出75°，故C不符合题意．
D．因为115°＝90°+25°＝60°+55°，所以用一副三角板（两块，可以组合）画角，不可能画出115°，故D符合题意．
故选：D．
解题秘籍：本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系的表达式解决本题的关键．
11．（2021秋•通川区期末）如图，∠1还可以用 表示，若∠1＝62°9′36″，那么62°9′36″＝ 度．
思路引领：根据角的表示方法，度分秒的换算进行填空即可．
解：∠1还可以用∠BCE表示，62°9′36″＝62.16°，
故答案为∠BCE；62.16．
解题秘籍：本题考查了度分秒的换算，掌握度分秒的换算是解题的关键．
12．（2021秋•乐平市期末）某人下午6点多钟外出购物，表上时针和分针的夹角恰好是110°，将近7点钟回到家，此时，表上时针和分针的夹角又恰好是110°，则此人外出购物所用时间是 分钟．
思路引领：这是一个追及问题，分针走一分走了6度，即分针的角速度是6度/分，时针一分走0.5度，即时针的角速度是0.5度/分；由于开始时分针在时针后面110°，后来是分针在时针前面110°，依此列出方程求解即可．
解：设此人外出购物所用时间是x分钟，则
（6﹣0.5）x＝110+110，
5.5x＝220，
x＝40．
答：此人外出购物所用时间是40分钟．
故答案为：40．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，钟表时针与分针的夹角．本题关键是根据两个时刻的夹角找到等量关系建立方程求解．
13．如图，∠AOC，∠BOD都是直角，∠AOB：∠AOD＝5：17，求∠AOB与∠COD的度数．
思路引领：设∠AOB＝5x，则∠AOD＝17x，利用∠AOD﹣∠AOB＝90°得到17x﹣5x＝90°，可解得x＝7.5°，则∠AOB＝5x＝37.5°，然后利用等角的余角相等得到∠COD的度数．
解：∵∠AOC，∠BOD都是直角，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°，
设∠AOB＝5x，则∠AOD＝17x，
∵∠AOD﹣∠AOB＝90°，
∴17x﹣5x＝90°，解得x＝7.5°
∴∠AOB＝5x＝37.5°，
∵∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD＝90°，
∴∠COD＝∠AOB＝37.5°，
即∠AOB与∠COD的度数都是37.5°．
解题秘籍：本题考查了角的计算：会进行角的和差倍分计算．也考查了度、分、秒的加减运算．
14．已知∠AOB＝80°，OE，OC分别平分∠AOD与∠BOD，∠COD＝15°，求∠DOE的度数．
思路引领：根据角平分线的定义得到∠BOD＝2∠COD＝30°，由∠AOB＝80°，求得∠AOD＝50°，再根据角平分线的定义即可得到结论．
解：∵OC平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠COD＝30°，
∵∠AOB＝80°，
∴∠AOD＝50°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=12∠AOD＝25°．
解题秘籍：本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．
15．已知∠AOB＝120°，射线OC、OD在∠AOB内部，∠COD＝40°．
（1）如图1，若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的度数；
（2）如图2，若OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；
（3）在（2）的条件下，若∠DON与∠BON的度数比为1：5，求∠AOC与∠DOM的度数比．
思路引领：（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
（3）根据已知条件列方程即可得到结论．
解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠COM=12∠AOC，∠DON=12∠BOD，
∴∠MON＝∠MOC+∠COD+∠DON
=12∠AOC+12∠BOD+∠COD
=12∠AOC+12∠BOD+12∠COD+12∠COD
=12（∠AOC+∠BOD+∠COD）+12∠COD
=12∠AOB+12∠COD
∵∠AOB＝120°，∠COD＝40°，
∴∠MON＝60°+20°＝80°．
（2）∵OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，
∴∠AOD＝2∠DOM、∠BOC＝2∠NOC，
又∵∠AOB＝∠AOD+∠BOC﹣∠COD，
∴∠AOB＝2∠DOM+2∠NOC﹣∠COD，
即∠AOB＝2（∠DOM+∠NOC）﹣∠COD，
∵∠AOB＝120°、∠COD＝40°，
∴∠DOM+∠NOC＝80°，
则∠MON＝∠DOM+∠NOC﹣∠COD＝40°；
（3）∵∠DON与∠BON的度数比为1：5，
∴设∠DON＝α，∠BON＝5α，
∴∠CON＝∠BON＝5α，
∴∠COD＝4α＝40°，
∴α＝10°，
∴∠DON＝10°，
∵∠MON＝∠COD＝40°，
∴∠COM＝∠DON＝10°，
∴∠DOM＝∠MON﹣∠DON＝30°，
∴∠AOM＝∠DOM＝30°，
∴∠AOC＝20°．
解题秘籍：本题考查了角度的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
16．（2019秋•龙湖区期末）如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°．
（1）求出∠AOB及其补角的度数；
（2）请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．
思路引领：（1）∠AOB的度数等于已知两角的和，再根据补角的定义求解；
（2）根据角平分线把角分成两个相等的角，求出度数后即可判断．
解：（1）∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝70°+50°＝120°，
其补角为180°﹣∠AOB＝180°﹣120°＝60°；
（2）∠DOC=12×∠BOC=12×70°＝35°
∠AOE=12×∠AOC=12×50°＝25°．
∠DOE与∠AOB互补，
理由：∵∠DOE＝∠DOC+∠COE＝35°+25°＝60°，
∴∠DOE+∠AOB＝60°+120°＝180°，
故∠DOE与∠AOB互补．
解题秘籍：本题主要考查角平分线的定义和补角的定义，需要熟练掌握．
17．（2021秋•应城市期末）已知O为直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF平分∠AOE．
（1）如图1．①若∠COF＝20°，求∠BOE的度数；
②若∠COF＝α，直接写出∠BOE的度数；（用含α的式子表示）
（2）如图2，若∠COE处于图2的位置，试探究∠BOE和∠COF之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．
思路引领：（1）①由OF平分∠AOE得∠AOF=12∠AOE，再代入∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE即得；
②由OF平分∠AOE得∠AOF=12∠AOE，再代入∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE即得；
（2）由OF平分∠AOE得∠AOE＝2∠EOF，再代入∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE即得．
解：（1）①∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF=12∠AOE，
∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣20°＝70°，
∴∠AOE＝2∠EOF＝140°，
∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝180°﹣140°＝40°；
②∠BOE＝2α．
（2）∠BOE＝2∠COF，
理由如下：
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF，
∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE，
＝∠AOB﹣2∠EOF，
＝180°﹣2（90°﹣∠COF），
＝2∠COF．
解题秘籍：本题考查了与角有关的计算及角平分线的定义，关键在于学生要认真读题，结合图形进行求解．
18．（2022春•香洲区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OF、OD分别是∠AOE、∠BOE的平分线．
（1）若∠DOE＝28°，求∠AOD的度数；
（2）请写出射线OD与OF之间有什么特殊的位置关系，并说明理由．
思路引领：（1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可；
（2）根据角平分线的定义、平角的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可．
解：（1）∵OD分别是∠BOE的平分线．
∴∠BOD＝∠DOE=12∠BOE＝28°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣28°＝152°；
（2）OD⊥OF，理由如下：
∵OF、OD分别是∠AOE、∠BOE的平分线．
∴∠AOF＝∠EOF=12∠AOE，∠BOD＝∠DOE=12∠BOE，
∴∠DOF＝∠EOF+∠DOE
=12（∠AOE+∠BOE）
=12×180°
＝90°，
即OD⊥OF．
解题秘籍：本题考查角平分线，对顶角、邻补角，掌握角平分线的定义以及邻补角是正确解答的前提．
19．（2017春•单县校级月考）度、分、秒的计算
①56°18′+72°48′＝
②131°28′﹣51°32′15″＝
③12°30′20″×2＝
④12°31′21″÷3＝
思路引领：单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．
解：①56°18′+72°48′＝129°6′；
②131°28′﹣51°32′15″＝79°55′45″
③12°30′20″×2＝25°40″；
④12°31′21″÷3＝4°10′27″．
解题秘籍：本题考查了度分秒的换算．相同单位相加，满60时向上一单位进1．
20．（2021秋•高台县期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．
（1）求出∠BOD的度数；
（2）请通过计算说明OE是否平分∠BOC．
思路引领：（1）根据∠BOD＝∠DOC+∠BOC，首先利用角平分线的定义和邻补角的定义求得∠DOC和∠BOC即可；
（2）根据∠DOC与∠COE互余即可得出∠COE的度数，由（1）可知∠BOC＝130°，那么∠BOE＝∠BOC﹣∠COE＝65°，进而可得出结论，从而求解．
解：（1）因为∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，
所以∠DOC=12∠AOC＝25°，∠BOC＝180°﹣∠AOC＝130°，
所以∠BOD＝∠DOC+∠BOC＝155°；
（2）OE平分∠BOC．理由如下：
∵∠DOE＝90°，∠DOC＝25°，
∴∠COE＝90°﹣25°＝65°，
∵∠BOC＝130°，
∴∠BOE＝∠BOC﹣∠COE＝130°﹣65°＝65°，
∴∠COE＝∠BOE，
∴OE平分∠BOC．
解题秘籍：本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，以及邻补角的定义是解题的关键．
21．（2021秋•九龙县期末）如图，OE为∠AOD的平分线，∠COD=14∠EOC，∠COD＝15°
求：
①∠EOC的大小；
②∠AOD的大小．
思路引领：①由已知角度数以及两角之间的关系，求出所求即可；
②由∠COE﹣∠COD求出∠DOE度数，再利用角平分线性质求出所求即可．
解：①∵∠COD=14∠EOC，∠COD＝15°，
∴∠EOC＝60°；
②∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝∠AOE，
∵∠EOC＝60°，∠COD＝15°，
∴∠DOE＝45°，
则∠AOD＝2∠DOE＝90°．
解题秘籍：此题考查了角的计算，熟练掌握角平分线性质是解本题的关键．
22．（2016秋•西青区校级期末）（1）如图1，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE 在∠BOC内，∠COE＝2∠BOE，∠DOE＝70°，求∠COE的度数．
（2）如图2，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．
①请你数一数，图中有 个小于平角的角；
②求出∠BOD的度数；
③请通过计算说明OE是否平分∠BOC．
思路引领：（1）先设∠BOE＝x，根据∠BOE=12∠EOC，得出∠COE＝2x，再根据角平分线的定义，得出∠AOD＝∠DOB＝70°﹣x，最后根据∠AOD+∠DOE+∠EOC＝180°，列出方程70°﹣x+70°+2x＝180°，求得x的值即可；
（2）①根据图形即可得出小于平角的角；②根据∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，得出∠AOD＝25°，最后根据∠BOD＝180°﹣∠AOD进行计算即可；③先根据∠AOC＝50°，得出∠BOC＝180°﹣50°＝130°，再根据∠DOE＝90°，求得∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝155°﹣90°＝65°，进而得出∠BOE=12∠BOC，即可得出结论．
解：（1）如图1，设∠BOE＝x，
∵∠BOE=12∠EOC，
∴∠COE＝2x，
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠DOB＝70°﹣x，
∵∠AOD+∠DOE+∠EOC＝180°，
∴70°﹣x+70°+2x＝180°，
解得x＝40°，
∴∠EOC＝80°；
（2）①由图可得，图中有9个小于平角的角，
故答案为：9；
②如图2，∵∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝25°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣25°＝155°；
③如图2，∵∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝155°﹣90°＝65°，
∴∠BOE=12∠BOC，
∴OE平分∠BOC．
解题秘籍：本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．
23．（2021秋•高州市期末）已知：∠AOB＝60°，∠COD＝90°，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOD．
（1）如图1，OC在∠AOB内部时，∠AOD+∠BOC＝ ，∠BOD﹣∠AOC＝ ；
（2）如图2，OC在∠AOB内部时，求∠MON的度数；
（3）如图3，∠AOB，∠COD的边OA、OD在同一直线上，将∠AOB绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转直至OB边第一次与OD边重合为止，整个运动过程时间记为t秒．若∠MON＝5∠BOC时，求出对应的t值及∠AOD的度数．
思路引领：（1）根据角平分线定义计算
（2）根据角平分线定义和角的和差运算．
（3）根据角的旋转变化列式计算．
解：（1）∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝90°+60°＝150°．∠BOD﹣∠AOC＝∠COD﹣∠AOB＝90°﹣60°＝30°．
（2）∵OM、ON分别平分∠AOC、∠BOD．
∴∠MOC=12∠AOC，∠NOB=12∠BOD．
∴∠MON=12（∠AOB﹣∠BOC+∠COD﹣∠BOD）+∠BOC=12（∠AOB+∠COD）＝75°．
（3）当∠AOB，∠COD的边OA、OD在同一直线上时，∠AOD为平角，
∴∠BOC＝180°﹣90°﹣60°＝30°．∠BOD＝90°+30°＝120°．
30÷3＝10（秒），120÷3＝40（秒）．
当0≤t≤10时，OB在OC右侧，∠BOC＝（30﹣3t）度．
∠MON=12（∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC）﹣∠BOC=12（∠AOB+∠COD）＝75°．
∴5（30﹣3t）＝75时t＝5．
∠AOD＝180﹣3t＝165°．
当10＜t≤30时，∠BOC＝3（t﹣10）度．由（2）问可得∠MON＝75°．
∴75＝5×3（t﹣10），t＝15．
此时∠AOD＝180﹣3t＝135°．
解题秘籍：本题考查角平分线相关知识及角的计算，解题关键是熟练掌握角的和差关系，注意分类讨论．
第24讲 角的概念与运算及余角补角（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
【模块一】角的有关概念及表示法
考点一 角的定义及其表示法
典例1 （2020秋•唐山期中）下列关于角的说法正确的是（ ）
A．角是由两条射线组成的图形
B．角的边越长，角越大
C．在角一边延长线上取一点
D．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
思路引领：根据角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角的大小与边的长度无关分别进行分析．
解：A、角是由两条射线组成的图形，说法错误；
B、角的边越长，角越大，说法错误；
C、在角一边延长线上取一点，说法错误，角的边是射线，只有反向延长线；
D、角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，说法正确；
故选：D．
解题秘籍：此题主要考查了角的概念，关键是掌握有公共端点是两条射线组成的图形叫做角．
典例2（2022春•文登区校级期中）∠O，∠AOB，∠1表示同一角是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领：根据角的表示方法和图形进行判断即可．
解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
C、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；
D、图中的∠1不能用∠O表示，故本选项错误；
故选：C．
解题秘籍：本题考查了角的表示方法的应用，角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．
针对训练1
1．（2021秋•丛台区校级期末）如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠AOB也可用∠O来表示
B．∠β与∠BOC是同一个角
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠1与∠AOB是同一个角
思路引领：根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示进行分析即可．
解：A、∠1与∠AOB是同一个角，不可用∠O来表示，说法错误；
B、∠β与∠BOC是同一个角，说法正确；
C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，说法正确；
D、∠1与∠AOB是同一个角，说法正确；
故选：A．
解题秘籍：此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法．
考点二 角的单位及其换算
典例3（2022春•单县校级月考）度、分、秒的计算
①56°18′+72°48′＝
②131°28′﹣51°32′15″＝
③12°30′20″×2＝
④12°31′21″÷3＝
思路引领：单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．
解：①56°18′+72°48′＝129°6′；
②131°28′﹣51°32′15″＝79°55′45″
③12°30′20″×2＝25°40″；
④12°31′21″÷3＝4°10′27″．
解题秘籍：本题考查了度分秒的换算．相同单位相加，满60时向上一单位进1．
针对训练2
2．（2022春•江阴市校级月考）计算：
（1）45°10′﹣21°35′20″；
（2）48°39′+67°31′﹣21°17′；
（3）42°16′+18°23′×2．
思路引领：（1）根据度分秒之间的进率解答；
（2）根据度分秒之间的进率解答；
（3）先计算乘法，再计算加法．
解：（1）原式＝44°69′60″﹣21°35′20″
＝23°34′40″；
（2）原式＝115°70′﹣21°17′
＝94°53′；
（3）原式＝42°16′+36°46′
＝79°2′．
解题秘籍：本题考查度分秒的计算，熟练掌握度分秒之间的进率是解题关键．
考点三 钟面上角的特征
典例4 下列关于钟表上时针与分针所成角的问题．
（1）上午3时整，时针与分针的夹角是多少度？是什么角？
（2）下午2点32分时，时针与分针的夹角是多少度？是什么角？
（3）一天中有多少次时针与分针成直角？
思路引领：（1）钟面上有12个大格，每个大格的度数是：360°÷12＝30°，然后根据时针与分针之间夹得格子的个数计算即可，根据角的度数就能知道是什么角；
（2）画出图形，利用钟表表盘的特征解答；
（3）一天24h中时针转2圈，分针转24圈，所以分针要超过时针24﹣2＝22（圈），分针每超过一圈，前后各有一次垂直，所以一天中有22×2＝44（次）时针与分针垂直．
解：（1）3点整，时针指向3，分针指向12，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，因此3点整分针与时针的夹角正好是3×30°＝90°，是直角；
（2）如图，
分针由起始位置12开始，旋转了32分钟，
∴共计6°×32＝192°
时针由起始位置2开始，旋转了192°×112=16°，
∴时针分针夹角为192°﹣（30°×2+16°）＝116°；
（3）一天24h中时针转2圈，分针转24圈，所以分针要超过时针24﹣2＝22（圈），分针每超过一圈，前后各有一次垂直，所以一天中有22×2＝44（次）时针与分针垂直．
所以一天中有44次时针与分针成直角．
解题秘籍：本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（112）°；两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
针对训练3
3．（2017秋•兴化市期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点O为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径OA表示时针，半径OB表示分针，它们所成的钟面角为∠AOB；本题中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间．
（1）时针每分钟转动的角度为 °，分针每分钟转动的角度为 °；
（2）8点整，钟面角∠AOB＝ °，钟面角与此相等的整点还有： 点；
（3）如图，设半径OC指向12点方向，在图中画出6点15分时半径OA、OB的大概位置，并求出此时∠AOB的度数．
思路引领：（1）根据时针旋转一周12小时，可得时针旋转的速度，根据分针旋转一周60分钟，可得分针旋转的速度；
（2）根据时针与分针相距的份数乘每份的度数，可得答案；
（3）根据时针旋转的角度减去分针旋转的角度，可得答案．
解：（1）时针每分钟转动的角度为0.5°，分针每分钟转动的角度为6°；
故答案为：0.5，6；
（2）0.5×60×4＝120°，4点时0.5×60×4＝120°，
故答案为：120，4；
（3）如图，
∠AOB＝6×30+15×0.5﹣15×6＝97.5°．
解题秘籍：本题考查了钟面角，利用时针时针旋转的角度减去分针旋转的角度是解题关键．
【模块二】 角的比较与运算
考点一 角的大小比较
典例5（2020秋•麦积区期末）如图，射线OC、OD在∠AOB的内部．
（1）∠AOB＝169°，∠AOC＝∠BOD＝90°，求∠COD的度数．
（2）当∠AOC＝∠BOD＝90°，试判断∠AOD与∠BOC的关系，说明理由．
（3）当∠AOC＝∠BOD＝α，（2）中的结论还存在吗？为什么？
思路引领：（1）根据角的和差关系可得∠BOC的度数，再根据∠COD＝∠BOD﹣∠BOC计算即可；
（2）根据角的和差关系求解即可；
（3）根据等角的余角相等可得∠AOD＝∠BOC．
解：（1）因为∠AOB＝169°，∠AOC＝∠BOD＝90°，
所以∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝169°﹣90°＝79°，
所以∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣79°＝11°；
（2）∠AOD＝∠BOC，理由：
因为∠AOC＝∠BOD＝90°，
所以∠AOD+∠DOC＝90°，∠BOC+∠DOC＝90°
所以∠AOD＝∠BOC．
（3）存在，仍然有∠AOD＝∠BOC．理由：
因为∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC，∠BOC＝∠BOD﹣∠DOC．
又因为∠AOC＝∠BOD＝α，
所以∠AOD＝∠BOC．
解题秘籍：本题主要考查了余角，熟记余角的定义与性质是解答本题的关键．
考点二 角的和差
典例6 如图，∠AOC，∠BOD都是直角，∠AOB：∠AOD＝5：17，求∠AOB与∠COD的度数．
思路引领：设∠AOB＝5x，则∠AOD＝17x，利用∠AOD﹣∠AOB＝90°得到17x﹣5x＝90°，可解得x＝7.5°，则∠AOB＝5x＝37.5°，然后利用等角的余角相等得到∠COD的度数．
解：∵∠AOC，∠BOD都是直角，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°，
设∠AOB＝5x，则∠AOD＝17x，
∵∠AOD﹣∠AOB＝90°，
∴17x﹣5x＝90°，解得x＝7.5°
∴∠AOB＝5x＝37.5°，
∵∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD＝90°，
∴∠COD＝∠AOB＝37.5°，
即∠AOB与∠COD的度数都是37.5°．
解题秘籍：本题考查了角的计算：会进行角的和差倍分计算．也考查了度、分、秒的加减运算．
针对训练4
4．（2022秋•通州区期末）如图，是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角．在54°，60°，63°，99°，120°，144°，150°，153°，171°的角中，能画出的角有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
思路引领：一副三角板中的度数，用三角板画出角，无非是用角度加减法，逐一分析即可．
解：54°＝90°﹣36°，则54°角能画出；
60°不能写成36°、72°和45°、90°的和或差的形式，不能画出；
63°＝90°﹣72°+45°，则63°可以画出；
99°＝90°+45°﹣36°，则99°角能画出；
120°不能写成36°、72°和45°、90°的和或差的形式，不能画出；
144°＝72°+72°，则144°角能画出；
150°不能写成36°、72°和45°、90°的和或差的形式，不能画出；
153°＝72°+72°+45°﹣36°，则153°可以画出；
171°＝90°+36°+45°，则171°可以画出．
总之，能画出的角有6个．
故选：B．
解题秘籍：此题考查的知识点是角的计算，关键是用三角板直接画特殊角的步骤：先画一条射线，再把三角板所画角的一边与射线重合，顶点与射线端点重合，最后沿另一边画一条射线，标出角的度数．
考点三 n等分线
典例7（2021秋•九龙县期末）如图，OE为∠AOD的平分线，∠COD=14∠EOC，∠COD＝15°
求：
①∠EOC的大小；
②∠AOD的大小．
思路引领：①由已知角度数以及两角之间的关系，求出所求即可；
②由∠COE﹣∠COD求出∠DOE度数，再利用角平分线性质求出所求即可．
解：①∵∠COD=14∠EOC，∠COD＝15°，
∴∠EOC＝60°；
②∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝∠AOE，
∵∠EOC＝60°，∠COD＝15°，
∴∠DOE＝45°，
则∠AOD＝2∠DOE＝90°．
解题秘籍：此题考查了角的计算，熟练掌握角平分线性质是解本题的关键．
考点四 证明角平分线
典例8（2021秋•高台县期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．
（1）求出∠BOD的度数；
（2）请通过计算说明OE是否平分∠BOC．
思路引领：（1）根据∠BOD＝∠DOC+∠BOC，首先利用角平分线的定义和邻补角的定义求得∠DOC和∠BOC即可；
（2）根据∠DOC与∠COE互余即可得出∠COE的度数，由（1）可知∠BOC＝130°，那么∠BOE＝∠BOC﹣∠COE＝65°，进而可得出结论，从而求解．
解：（1）因为∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，
所以∠DOC=12∠AOC＝25°，∠BOC＝180°﹣∠AOC＝130°，
所以∠BOD＝∠DOC+∠BOC＝155°；
（2）OE平分∠BOC．理由如下：
∵∠DOE＝90°，∠DOC＝25°，
∴∠COE＝90°﹣25°＝65°，
∵∠BOC＝130°，
∴∠BOE＝∠BOC﹣∠COE＝130°﹣65°＝65°，
∴∠COE＝∠BOE，
∴OE平分∠BOC．
解题秘籍：本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，以及邻补角的定义是解题的关键．
针对训练5
5．（2022秋•西青区校级期末）（1）如图1，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE 在∠BOC内，∠COE＝2∠BOE，∠DOE＝70°，求∠COE的度数．
（2）如图2，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．
①请你数一数，图中有 个小于平角的角；
②求出∠BOD的度数；
③请通过计算说明OE是否平分∠BOC．
思路引领：（1）先设∠BOE＝x，根据∠BOE=12∠EOC，得出∠COE＝2x，再根据角平分线的定义，得出∠AOD＝∠DOB＝70°﹣x，最后根据∠AOD+∠DOE+∠EOC＝180°，列出方程70°﹣x+70°+2x＝180°，求得x的值即可；
（2）①根据图形即可得出小于平角的角；②根据∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，得出∠AOD＝25°，最后根据∠BOD＝180°﹣∠AOD进行计算即可；③先根据∠AOC＝50°，得出∠BOC＝180°﹣50°＝130°，再根据∠DOE＝90°，求得∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝155°﹣90°＝65°，进而得出∠BOE=12∠BOC，即可得出结论．
解：（1）如图1，设∠BOE＝x，
∵∠BOE=12∠EOC，
∴∠COE＝2x，
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠DOB＝70°﹣x，
∵∠AOD+∠DOE+∠EOC＝180°，
∴70°﹣x+70°+2x＝180°，
解得x＝40°，
∴∠EOC＝80°；
（2）①由图可得，图中有9个小于平角的角，
故答案为：9；
②如图2，∵∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝25°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣25°＝155°；
③如图2，∵∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝155°﹣90°＝65°，
∴∠BOE=12∠BOC，
∴OE平分∠BOC．
解题秘籍：本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．
【模块三】余角与补角
考点一 余角与补角的定义
典例9 （2020秋•柘城县期末）如果一个角的补角比它的余角度数的3倍少10°，那么这个角的度数是 ．
思路引领：设这个角的度数是x，根据余角和补角的概念列出方程，解方程即可．
解：设这个角的度数是x，
由题意得180°﹣x＝3（90°﹣x）﹣10°，
解得x＝40°．
故答案为：40°．
解题秘籍：本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．
针对训练6
6．（2021春•电白区月考）如果一个角的余角是它的补角13，那么这个角的度数是（ ）
A．30° B．75° C．60° D．45°
思路引领：设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α，根据题意列出关系式，求出α的值即可
解：设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α．
由题意得，90°﹣α=13（180°﹣α），
解得：α＝45°．
故这个角的度数为45°．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了余角和补角的知识，解题的关键是掌握互余和补角的定义．
考点二 利用余角或补角的性质得角相等
典例10（2021秋•东城区期末）一条直线AB上有一点O，OM⊥AB于O，另有直角∠COD在平角∠AOB内，左右摆动（O点不动，OC与OA、OD与OB不重合），在摆动时，除直角外，保持相等的角有（ ）
A．一对 B．两对 C．三对 D．没有
思路引领：根据余角的性质：同角的余角相等，即可得到．
解：∠BOD＝∠COM，∠DOM＝∠AOC，共有2对．
故选：B．
解题秘籍：本题考查了余角的性质：同角的余角相等，正确理解性质是关键．
针对训练7
7．（2022春•单县期末）如图所示，∠AOC与∠BOD都是直角，且∠AOB：∠AOD＝2：11，则∠AOB＝（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
思路引领：由∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD知∠AOB＝∠COD，设∠AOB＝2α，则∠AOD＝11α，故∠AOB+∠BOC＝9α＝90°，解得α，从而可求解．
解：∵∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD＝90°，
∴∠AOB＝∠COD，
设∠AOB＝2α，
∵∠AOB：∠AOD＝2：11，
∴∠AOB+∠BOC＝9α＝90°，
解得α＝10°，
∴∠AOB＝20°．
故选：C．
解题秘籍：此题主要考查了角的计算以及余角和补角，正确表示出各角度数是解题关键．
考点三 求几何图形中互余或互补角的个数
典例11（2022秋•青山区期末）如图，AB、CD交于点O，∠AOE＝4∠DOE，∠AOE的余角比∠DOE小10°．
（1）求∠AOE的度数；
（2）请写出∠AOC在图中的所有补角 ；
（3）射线OP从OB出发以20°/秒的速度逆时针旋转至OC，设运动时间为t（0≤t≤13）．求t为何值时，∠COP＝∠AOE+∠DOP．
思路引领：（1）设∠DOE＝x°，∠AOE＝4x°，然后根据题目给出的等量关系即可求出答案；
（2）根据补角的定义即可求出答案；
（3）分0≤t≤4及4＜t≤9两种情况，根据∠COP＝∠AOE+∠DOP，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：（1）设∠DOE＝x°，则∠AOE＝4x°．
∵∠AOE的余角比∠DOE小10°，
∴90﹣4x＝x﹣10，
解得：x＝20，
∴∠AOE＝80°．
（2）观察图形可知：∠BOC，∠AOD均为∠AOC的补角；
∵∠AOE＝80°，∠DOE＝20°，
∴∠AOD＝100°．
∵∠BOD＝∠AOC＝80°，∠DOE＝20°，
∴∠BOE＝100°＝∠AOD，
∴∠BOE为∠AOC的补角．
故答案为：∠BOC，∠AOD，∠BOE．
（3）由题意可知：0≤t≤9．
①当0≤t≤4时，如图1所示．
∵∠COP＝100°+20t°，∠DOP＝80°﹣20t°，
∴100+20t＝80+80﹣20t，
解得：t=32；
②当4＜t≤9时，如图2所示．
∵∠COP＝260°﹣20t°，∠DOP＝20t°﹣80°，
∴260﹣20t＝80+20t﹣80，
解得：t=132．
综上所述：当t=32或132时，∠COP＝∠AOE+∠DOP．
解题秘籍：本题考查一元一次方程以及余角和补角，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据补角的定义，找出∠AOC的补角；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
针对训练8
8．如图，OC是平角∠AOB的平分线，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，图中和∠COD互补的角有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．0
思路引领：由OC是平角∠AOB的平分线求∠AOC＝∠BOC＝90°，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线求45°的角，结合互补的定义找出∠COD互补的角．
解：∵OC是平角∠AOB的平分线，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∵OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，
∴∠AOD＝∠DOC=12∠AOC＝45°，
∠COE＝∠EOB＝45°，
∴∠AOE＝135°，∠BOD＝135°，
∴∠AOE+∠DOC＝180°，∠COD+BOD＝180°，
∴∠AOE，∠BOD都与∠DOC互补，
∴图中和∠COD互补的角有2个．
故选：B．
解题秘籍：本题考查了补角、角平分线的定义，掌握两个定义的熟练应用，两角的和为180°是解决本题关键．
第二部分 专题提优训练
1．（2022•南京模拟）下列说法中正确的是（ ）
①﹣a是负数；②角的大小与边的长短无关；③若线段AC＝BC，则点C是线段AB的中点；④x3+y3是6次多项式；⑤射线AB和射线BA是同一条射线；⑥连接两点间的线，叫做这两点间的距离．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路引领：根据负数的定义，角的大小的比较方法，线段的中点，多项式的次数，射线的定义，两点间的距离对各小题进行逐一判定即可．
解：①根据负数的定义可知，﹣a不一定是负数，如a＝0，故①不符合题意．
②根据角的度量知道：角的大小与边的长短无关，故②符合题意．
③点C不在线段AB上时，AC＝BC，点C不是线段AB的中点，故③不符合题意．
④x3+y3是三次二项式，故④不符合题意．
⑤射线AB和射线BA不是同一条射线，故⑤不符合题意．
⑥连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离，故⑥不符合题意．
本题说法正确是②，有1个．
故选：A．
解题秘籍：本题主要考查负数的定义，角的大小的比较方法，线段的中点，多项式的次数，射线的定义，两点间的距离，本题的关键是熟练掌握课本基础知识．
2．（2021春•沂源县期末）下列语句正确的是（ ）
A．一条直线可以看成一个平角
B．周角是一条射线
C．角是由一条射线旋转而成的
D．角是由公共端点的两条射线组成的图形
思路引领：根据角的概念即可求出答案．
解：A、平角有一个顶点和两条边，而直线则没有，故A错误．
B、周角是一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，故B错误．
C、角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，故C错误．
D、具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故D正确．
故选：D．
解题秘籍：本题考查角的概念，解题的关键是正确理解角的概念，本题属于基础题型．
3．（2020秋•二道区期末）钟表在3点30分时，它的时针和分针所成的角是（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
思路引领：根据钟面平均分成12份，可得每份的度数，根据每份的度数可得时针与分针相距的份数，可得答案．
解：3点30分时，它的时针和分针所成的角是30°×2.5＝75°，
故选：A．
解题秘籍：本题考查了钟面角，每份的度数成时针与分针相距的份数是解题关键．
4．（2021秋•泗阳县期末）如图，是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角．在下列选项中，不能画出的角度是（ ）
A．44° B．114° C．18° D．96°
思路引领：一副三角板中的度数，用三角板画出角，无非是用角度加减，逐一分析即可．
解：A．44°不能写成36°、72°、30°、60°、90°的和或差的形式，不能画出，故本选项符合题意；
B．114°＝90°+60°﹣36°，能画出，故本选项不符合题意；
C．18°＝90°﹣72°，能画出，故本选项不符合题意；
D．96°＝60°+36°，能画出，故本选项不符合题意．
故选：A．
解题秘籍：此题考查的知识点是角的计算，关键是用三角板直接画特殊角的步骤：先画一条射线，再把三角板所画角的一边与射线重合，顶点与射线端点重合，最后沿另一边画一条射线，标出角的度数．
5．（2021秋•丛台区校级期末）如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠AOB也可用∠O来表示
B．∠β与∠BOC是同一个角
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠1与∠AOB是同一个角
思路引领：根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示进行分析即可．
解：A、∠1与∠AOB是同一个角，不可用∠O来表示，说法错误；
B、∠β与∠BOC是同一个角，说法正确；
C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，说法正确；
D、∠1与∠AOB是同一个角，说法正确；
故选：A．
解题秘籍：此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法．
6．（2020春•潍坊期中）如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠DAO可用∠DAC表示 B．∠COB也可用∠O表示
C．∠2也可用∠OBC表示 D．∠CDB也可用∠1表示
思路引领：根据角的表示方法进行判断．
解：A、∠DAO可用∠DAC表示，本选项说法正确；
B、∠COB不能用∠O表示，本选项说法错误；
C、∠2也可用∠OBC表示，本选项说法正确；
D、∠CDB也可用∠1表示，本选项说法正确；
故选：B．
解题秘籍：本题考查的是角的概念，角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．
7．下列式子中错误的是（ ）
A．38.78°＝38°46′48″
B．50°42'＝50.7°
C．98°45'+2°35'＝101°20'
D．108°18'﹣57°23'＝51°55'
思路引领：根据“1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″”进行度分秒的换算和度分秒间的加减计算．
解：A、38.78°＝38°46′48''，计算正确，故本选项不符合题意．
B、50°42'＝50.7°，计算正确，故本选项不符题意．
C、98°45'+2°35'＝（98°+2°）+（45′+35′）＝100°+80′＝101°20'，计算正确，故本选项不符合题意．
D、108°18'﹣57°23'＝（107°﹣57°）+（78′﹣23′）＝50°55'，计算错误，故本选项符合题意．
故选：D．
解题秘籍：考查了度分秒的换算，角的度量单位度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
8．（2022春•文登区校级期中）∠O，∠AOB，∠1表示同一角是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领：根据角的表示方法和图形进行判断即可．
解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
C、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；
D、图中的∠1不能用∠O表示，故本选项错误；
故选：C．
解题秘籍：本题考查了角的表示方法的应用，角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．
9．（2021秋•潮南区月考）如图，以O为顶点且小于180°的角有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
思路引领：根据角的定义可得，大于0°小于180°的角，从而求解．
解：大于0°小于180°的角有∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠DOC，∠COE，∠DOE，共9个．
故选：C．
解题秘籍：此题主要考查了角的定义，即由一个顶点射出的两条射线组成一个角．
10．（2021秋•无为市期末）用一副三角板（两块，可以组合）画角，不可能画出的角的度数是（ ）
A．15° B．45° C．75° D．115°
思路引领：根据角的和差关系解决此题．
解：三角板的内角的度数分别为45°、90°、30°、60°．
A．因为15°＝45°﹣30°，所以用一副三角板（两块，可以组合）画角，可能画出15°，故A不符合题意．
B．因为45°＝90°﹣45°，所以用一副三角板（两块，可以组合）画角，可能画出45°，故B不符合题意．
C．因为75°＝30°+45°，所以用一副三角板（两块，可以组合）画角，可能画出75°，故C不符合题意．
D．因为115°＝90°+25°＝60°+55°，所以用一副三角板（两块，可以组合）画角，不可能画出115°，故D符合题意．
故选：D．
解题秘籍：本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系的表达式解决本题的关键．
11．（2021秋•通川区期末）如图，∠1还可以用 表示，若∠1＝62°9′36″，那么62°9′36″＝ 度．
思路引领：根据角的表示方法，度分秒的换算进行填空即可．
解：∠1还可以用∠BCE表示，62°9′36″＝62.16°，
故答案为∠BCE；62.16．
解题秘籍：本题考查了度分秒的换算，掌握度分秒的换算是解题的关键．
12．（2021秋•乐平市期末）某人下午6点多钟外出购物，表上时针和分针的夹角恰好是110°，将近7点钟回到家，此时，表上时针和分针的夹角又恰好是110°，则此人外出购物所用时间是 分钟．
思路引领：这是一个追及问题，分针走一分走了6度，即分针的角速度是6度/分，时针一分走0.5度，即时针的角速度是0.5度/分；由于开始时分针在时针后面110°，后来是分针在时针前面110°，依此列出方程求解即可．
解：设此人外出购物所用时间是x分钟，则
（6﹣0.5）x＝110+110，
5.5x＝220，
x＝40．
答：此人外出购物所用时间是40分钟．
故答案为：40．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，钟表时针与分针的夹角．本题关键是根据两个时刻的夹角找到等量关系建立方程求解．
13．如图，∠AOC，∠BOD都是直角，∠AOB：∠AOD＝5：17，求∠AOB与∠COD的度数．
思路引领：设∠AOB＝5x，则∠AOD＝17x，利用∠AOD﹣∠AOB＝90°得到17x﹣5x＝90°，可解得x＝7.5°，则∠AOB＝5x＝37.5°，然后利用等角的余角相等得到∠COD的度数．
解：∵∠AOC，∠BOD都是直角，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°，
设∠AOB＝5x，则∠AOD＝17x，
∵∠AOD﹣∠AOB＝90°，
∴17x﹣5x＝90°，解得x＝7.5°
∴∠AOB＝5x＝37.5°，
∵∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD＝90°，
∴∠COD＝∠AOB＝37.5°，
即∠AOB与∠COD的度数都是37.5°．
解题秘籍：本题考查了角的计算：会进行角的和差倍分计算．也考查了度、分、秒的加减运算．
14．已知∠AOB＝80°，OE，OC分别平分∠AOD与∠BOD，∠COD＝15°，求∠DOE的度数．
思路引领：根据角平分线的定义得到∠BOD＝2∠COD＝30°，由∠AOB＝80°，求得∠AOD＝50°，再根据角平分线的定义即可得到结论．
解：∵OC平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠COD＝30°，
∵∠AOB＝80°，
∴∠AOD＝50°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=12∠AOD＝25°．
解题秘籍：本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．
15．已知∠AOB＝120°，射线OC、OD在∠AOB内部，∠COD＝40°．
（1）如图1，若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的度数；
（2）如图2，若OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；
（3）在（2）的条件下，若∠DON与∠BON的度数比为1：5，求∠AOC与∠DOM的度数比．
思路引领：（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
（3）根据已知条件列方程即可得到结论．
解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠COM=12∠AOC，∠DON=12∠BOD，
∴∠MON＝∠MOC+∠COD+∠DON
=12∠AOC+12∠BOD+∠COD
=12∠AOC+12∠BOD+12∠COD+12∠COD
=12（∠AOC+∠BOD+∠COD）+12∠COD
=12∠AOB+12∠COD
∵∠AOB＝120°，∠COD＝40°，
∴∠MON＝60°+20°＝80°．
（2）∵OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，
∴∠AOD＝2∠DOM、∠BOC＝2∠NOC，
又∵∠AOB＝∠AOD+∠BOC﹣∠COD，
∴∠AOB＝2∠DOM+2∠NOC﹣∠COD，
即∠AOB＝2（∠DOM+∠NOC）﹣∠COD，
∵∠AOB＝120°、∠COD＝40°，
∴∠DOM+∠NOC＝80°，
则∠MON＝∠DOM+∠NOC﹣∠COD＝40°；
（3）∵∠DON与∠BON的度数比为1：5，
∴设∠DON＝α，∠BON＝5α，
∴∠CON＝∠BON＝5α，
∴∠COD＝4α＝40°，
∴α＝10°，
∴∠DON＝10°，
∵∠MON＝∠COD＝40°，
∴∠COM＝∠DON＝10°，
∴∠DOM＝∠MON﹣∠DON＝30°，
∴∠AOM＝∠DOM＝30°，
∴∠AOC＝20°．
解题秘籍：本题考查了角度的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
16．（2019秋•龙湖区期末）如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°．
（1）求出∠AOB及其补角的度数；
（2）请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．
思路引领：（1）∠AOB的度数等于已知两角的和，再根据补角的定义求解；
（2）根据角平分线把角分成两个相等的角，求出度数后即可判断．
解：（1）∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝70°+50°＝120°，
其补角为180°﹣∠AOB＝180°﹣120°＝60°；
（2）∠DOC=12×∠BOC=12×70°＝35°
∠AOE=12×∠AOC=12×50°＝25°．
∠DOE与∠AOB互补，
理由：∵∠DOE＝∠DOC+∠COE＝35°+25°＝60°，
∴∠DOE+∠AOB＝60°+120°＝180°，
故∠DOE与∠AOB互补．
解题秘籍：本题主要考查角平分线的定义和补角的定义，需要熟练掌握．
17．（2021秋•应城市期末）已知O为直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF平分∠AOE．
（1）如图1．①若∠COF＝20°，求∠BOE的度数；
②若∠COF＝α，直接写出∠BOE的度数；（用含α的式子表示）
（2）如图2，若∠COE处于图2的位置，试探究∠BOE和∠COF之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．
思路引领：（1）①由OF平分∠AOE得∠AOF=12∠AOE，再代入∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE即得；
②由OF平分∠AOE得∠AOF=12∠AOE，再代入∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE即得；
（2）由OF平分∠AOE得∠AOE＝2∠EOF，再代入∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE即得．
解：（1）①∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF=12∠AOE，
∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣20°＝70°，
∴∠AOE＝2∠EOF＝140°，
∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝180°﹣140°＝40°；
②∠BOE＝2α．
（2）∠BOE＝2∠COF，
理由如下：
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF，
∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE，
＝∠AOB﹣2∠EOF，
＝180°﹣2（90°﹣∠COF），
＝2∠COF．
解题秘籍：本题考查了与角有关的计算及角平分线的定义，关键在于学生要认真读题，结合图形进行求解．
18．（2022春•香洲区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OF、OD分别是∠AOE、∠BOE的平分线．
（1）若∠DOE＝28°，求∠AOD的度数；
（2）请写出射线OD与OF之间有什么特殊的位置关系，并说明理由．
思路引领：（1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可；
（2）根据角平分线的定义、平角的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可．
解：（1）∵OD分别是∠BOE的平分线．
∴∠BOD＝∠DOE=12∠BOE＝28°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣28°＝152°；
（2）OD⊥OF，理由如下：
∵OF、OD分别是∠AOE、∠BOE的平分线．
∴∠AOF＝∠EOF=12∠AOE，∠BOD＝∠DOE=12∠BOE，
∴∠DOF＝∠EOF+∠DOE
=12（∠AOE+∠BOE）
=12×180°
＝90°，
即OD⊥OF．
解题秘籍：本题考查角平分线，对顶角、邻补角，掌握角平分线的定义以及邻补角是正确解答的前提．
19．（2017春•单县校级月考）度、分、秒的计算
①56°18′+72°48′＝
②131°28′﹣51°32′15″＝
③12°30′20″×2＝
④12°31′21″÷3＝
思路引领：单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．
解：①56°18′+72°48′＝129°6′；
②131°28′﹣51°32′15″＝79°55′45″
③12°30′20″×2＝25°40″；
④12°31′21″÷3＝4°10′27″．
解题秘籍：本题考查了度分秒的换算．相同单位相加，满60时向上一单位进1．
20．（2021秋•高台县期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．
（1）求出∠BOD的度数；
（2）请通过计算说明OE是否平分∠BOC．
思路引领：（1）根据∠BOD＝∠DOC+∠BOC，首先利用角平分线的定义和邻补角的定义求得∠DOC和∠BOC即可；
（2）根据∠DOC与∠COE互余即可得出∠COE的度数，由（1）可知∠BOC＝130°，那么∠BOE＝∠BOC﹣∠COE＝65°，进而可得出结论，从而求解．
解：（1）因为∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，
所以∠DOC=12∠AOC＝25°，∠BOC＝180°﹣∠AOC＝130°，
所以∠BOD＝∠DOC+∠BOC＝155°；
（2）OE平分∠BOC．理由如下：
∵∠DOE＝90°，∠DOC＝25°，
∴∠COE＝90°﹣25°＝65°，
∵∠BOC＝130°，
∴∠BOE＝∠BOC﹣∠COE＝130°﹣65°＝65°，
∴∠COE＝∠BOE，
∴OE平分∠BOC．
解题秘籍：本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，以及邻补角的定义是解题的关键．
21．（2021秋•九龙县期末）如图，OE为∠AOD的平分线，∠COD=14∠EOC，∠COD＝15°
求：
①∠EOC的大小；
②∠AOD的大小．
思路引领：①由已知角度数以及两角之间的关系，求出所求即可；
②由∠COE﹣∠COD求出∠DOE度数，再利用角平分线性质求出所求即可．
解：①∵∠COD=14∠EOC，∠COD＝15°，
∴∠EOC＝60°；
②∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝∠AOE，
∵∠EOC＝60°，∠COD＝15°，
∴∠DOE＝45°，
则∠AOD＝2∠DOE＝90°．
解题秘籍：此题考查了角的计算，熟练掌握角平分线性质是解本题的关键．
22．（2016秋•西青区校级期末）（1）如图1，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE 在∠BOC内，∠COE＝2∠BOE，∠DOE＝70°，求∠COE的度数．
（2）如图2，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．
①请你数一数，图中有 个小于平角的角；
②求出∠BOD的度数；
③请通过计算说明OE是否平分∠BOC．
思路引领：（1）先设∠BOE＝x，根据∠BOE=12∠EOC，得出∠COE＝2x，再根据角平分线的定义，得出∠AOD＝∠DOB＝70°﹣x，最后根据∠AOD+∠DOE+∠EOC＝180°，列出方程70°﹣x+70°+2x＝180°，求得x的值即可；
（2）①根据图形即可得出小于平角的角；②根据∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，得出∠AOD＝25°，最后根据∠BOD＝180°﹣∠AOD进行计算即可；③先根据∠AOC＝50°，得出∠BOC＝180°﹣50°＝130°，再根据∠DOE＝90°，求得∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝155°﹣90°＝65°，进而得出∠BOE=12∠BOC，即可得出结论．
解：（1）如图1，设∠BOE＝x，
∵∠BOE=12∠EOC，
∴∠COE＝2x，
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠DOB＝70°﹣x，
∵∠AOD+∠DOE+∠EOC＝180°，
∴70°﹣x+70°+2x＝180°，
解得x＝40°，
∴∠EOC＝80°；
（2）①由图可得，图中有9个小于平角的角，
故答案为：9；
②如图2，∵∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝25°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣25°＝155°；
③如图2，∵∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝155°﹣90°＝65°，
∴∠BOE=12∠BOC，
∴OE平分∠BOC．
解题秘籍：本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．
23．（2021秋•高州市期末）已知：∠AOB＝60°，∠COD＝90°，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOD．
（1）如图1，OC在∠AOB内部时，∠AOD+∠BOC＝ ，∠BOD﹣∠AOC＝ ；
（2）如图2，OC在∠AOB内部时，求∠MON的度数；
（3）如图3，∠AOB，∠COD的边OA、OD在同一直线上，将∠AOB绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转直至OB边第一次与OD边重合为止，整个运动过程时间记为t秒．若∠MON＝5∠BOC时，求出对应的t值及∠AOD的度数．
思路引领：（1）根据角平分线定义计算
（2）根据角平分线定义和角的和差运算．
（3）根据角的旋转变化列式计算．
解：（1）∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝90°+60°＝150°．∠BOD﹣∠AOC＝∠COD﹣∠AOB＝90°﹣60°＝30°．
（2）∵OM、ON分别平分∠AOC、∠BOD．
∴∠MOC=12∠AOC，∠NOB=12∠BOD．
∴∠MON=12（∠AOB﹣∠BOC+∠COD﹣∠BOD）+∠BOC=12（∠AOB+∠COD）＝75°．
（3）当∠AOB，∠COD的边OA、OD在同一直线上时，∠AOD为平角，
∴∠BOC＝180°﹣90°﹣60°＝30°．∠BOD＝90°+30°＝120°．
30÷3＝10（秒），120÷3＝40（秒）．
当0≤t≤10时，OB在OC右侧，∠BOC＝（30﹣3t）度．
∠MON=12（∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC）﹣∠BOC=12（∠AOB+∠COD）＝75°．
∴5（30﹣3t）＝75时t＝5．
∠AOD＝180﹣3t＝165°．
当10＜t≤30时，∠BOC＝3（t﹣10）度．由（2）问可得∠MON＝75°．
∴75＝5×3（t﹣10），t＝15．
此时∠AOD＝180﹣3t＝135°．
解题秘籍：本题考查角平分线相关知识及角的计算，解题关键是熟练掌握角的和差关系，注意分类讨论．
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