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第08讲 与整式有关的概念（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）
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这是一份第08讲 与整式有关的概念（原卷+解析）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版），文件包含第8讲与整式有关的概念解析版docx、第8讲与整式有关的概念原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
第8讲 与整式有关的概念（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
概念一 用字母表示数
典例1用含字母的式子表示下列数量关系：
（1）个位数字为a，十位数字为b的两位数；
（2）x，y两数的差的平方；
（3）a，b两数的平方差；
（4）某商品的原价是a元，提价10%后的价格．
思路引领：（1）根据题中的描述列出代数式即可；
（2）根据题中的描述列出代数式即可；
（3）根据题中的描述列出代数式即可；
（4）根据题中的描述列出代数式即可．
解：（1）10b+a．
（2）（x﹣y）2．
（3）a2﹣b2．
（4）（1+10%）a元．
解题秘籍：本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意，列出正确的代数式．
针对训练1
1．用含字母的式子表示下列数量关系．
（1）小雪买单价为a元的笔记本4本，共花 元；
（2）三角形的底为a，高为h，则三角形的面积是 ；
（3）若正方体的棱长是a﹣1，则正方体的表面积为 ；
（4）自来水每吨m元，电每度n元，则小明家本月用水8吨，用电100度，应交费 元．
思路引领：（1）每本笔记本单价为a元，则4本共花4a元；
（2）根据三角形的面积公式可直接得到答案；
（3）正方体共有6个面，利用6乘以每一个面的面积即可；
（4）首先表示出用水8吨花费8m元，用电100度花费100n元，再相加即可．
解：（1）笔记本4本共花4a元；
（2）三角形的面积是12ah；
（3）正方体的表面积为6（a﹣1）2；
（4）用水8吨花费8m元，用电100度花费100n元，共花费（8m+100n）元；
故答案为：4a；12ah；6（a﹣1）2；（8m+100n）．
解题秘籍：此题主要考查了列代数式，关键是正确理解题意，找出题目中的数量关系，列出代数式．
概念二 单项式的概念
典例2（2022春•香坊区期末）式子a+2，2b5，2x，−2x+y9，8m中，单项式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路引领：直接利用单项式定义分析得出答案．数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
解：根据定义可知，式子a+2，2b5，2x，−2x+y9，8m中，单项式是2b5，2x两个．
故选：B．
解题秘籍：此题主要考查了单项式，正确把握单项式定义是解题关键．
典例3（2022•富川县三模）单项式﹣2x2yz3的系数、次数分别是（ ）
A．2，5 B．﹣2，5 C．2，6 D．﹣2，6
思路引领：根据单项式的系数和次数的定义即可得出答案．
解：单项式﹣2x2yz3的系数是﹣2，次数是2+1+3＝6，
故选：D．
解题秘籍：本题考查了单项式，掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解题的关键．
针对训练2
2．（2022•浦东新区二模）下列代数式中，不是单项式的是（ ）
A．a2 B．2a C．a2 D．a+2
思路引领：单项式的定义：数或字母的乘积叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式．根据单项式的定义判定即可．
解：a2表示a与a的乘积，a2是单项式，不选A．
2a表示2与a的乘积，2a是单项式，不选B．
a2表示12与a的乘积，a2是单项式，不选C．
a+2表示a与2的和，a+2不是单项式，它是单项式a与单项式2的和，所以a+2是多项式．不是单项式的是D．
故选：D．
解题秘籍：本题考查单项式的定义，会判断出式子是不是数或字母的乘积是关键，同时注意单独的一个数或一个字母也是单项式．
3．（2022•昆明一模）按一定规律排列的单项式：3b2，5a2b2，7a4b2，9a6b2，11a8b2，…，第8个单项式是（ ）
A．17a14b2 B．17a8b14 C．15a7b14 D．152a14b2
思路引领：观察每个单项式的系数和所含字母的指数，总结规律，根据规律解答即可．
解：由题意可知：单项式的系数是从3起的奇数，
单项式中a的指数偶数，b的指数不变，
所以第8个单项式是：17a14b2．
故选：A．
解题秘籍：本题考查的是数字的变化规律、单项式的概念，正确找出单项式的系数和次数的变化规律是解题的关键．
4．（2021秋•信都区月考）写出所有系数是2，且含字母x及y的五次单项式．
思路引领：根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
解：先构造系数为2，即数字因数为2，然后使x、y的指数和是5即可．
则满足题意的所有五次单项式有：2xy4、2x2y3、2x3y2、2x4y．
解题秘籍：考查了单项式的定义，解答此题关键是构造单项式的系数和次数，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．
概念三 多项式的概念
典例4（2021秋•渭城区期末）已知下面5个式子：①x2﹣x+1，②m2n+mn﹣1，③2，④5﹣x2，⑤﹣x2．
（1）上面5个式子中有 个多项式，次数最高的多项式为 （填序号）；
（2）化简：①+④．
思路引领：（1）根据多项式的定义即可得结论；
（2）根据多项式的加法运算即可得到答案．
解：（1）上面5个式子中有3个多项式，分别是：①②④，
次数最高的多项式为②；
故答案为：3，②；
（2）①+④得：
x2﹣x+1+5﹣x2＝﹣x+6．
解题秘籍：本题考查了多项式的定义和运算，解决本题的关键是掌握多项式的相关定义及多项式的加法运算法则．
典例5（2021秋•巨野县期末）已知多项式﹣3x3ym+1+xy2−12x3+6是六次四项式，单项式23πxny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，求mn的值．
思路引领：根据题意求出m与n的值，然后代入所求式子即可求出答案．
解：由题意可知：m+1+3＝6，n+5﹣m＝6，
∴m＝2，n＝3，
∴mn＝23＝8
解题秘籍：本题考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式与单项式的概念，本题属于基础题型．
针对训练3
5．（2022•荷塘区校级二模）多项式3x2y2﹣2xy2−13xy的二次项系数为 ．
思路引领：直接利用多项式的定义得出二次项进而得出答案．
解：∵多项式3x2y2﹣2xy2−13xy的二次项是−13xy，
∴二次项系数为：−13．
故答案为：−13．
解题秘籍：此题主要考查了多项式，正确找出二次项是解题的关键．
6．（2021秋•龙泉驿区校级期末）如果关于x，y的多项式xy|a|−13(a−2)y2+1是三次三项式，则a的值为 ．
思路引领：直接利用绝对值与多项式的定义得出a的值，即可得出答案．
解：∵关于x，y的多项式xy|a|−13(a−2)y2+1是三次三项式，
∴|a|＝2且a﹣2≠0，
解得，a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
解题秘籍：此题考查的是多项式，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
7．（2021秋•全州县期末）多项式2−15xy2−4x3y是 次 项式，其中常数项是 ．
思路引领：根据多项式的次数和项数以及常数项的定义求解．
解：因为多项式2−15xy2﹣4x3y的最高次项是﹣4x3y，由三个单项式的和组成，
所以多项式2−15xy2﹣4x3y是四次三项式，其中常数项是2．
故答案是：四，三，2．
解题秘籍：此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．常数项是不含字母的项．
概念四 整式的概念
典例6（2020秋•奉化区校级期末）（1）下列代数式：①2x2+bx+1；②﹣ax2+3x；③1x−2；④x2；⑤2x，其中是整式的有 ．（填序号）
（2）将上面的①式与②式相加，若a，b为常数，化简所得的结果是单项式，求a，b的值．
思路引领：（1）根据整式的概念，紧扣概念作出判断；
（2）先合并同类项，利用单项式定义求出a与b的值即可．
解：（1）①是多项式，也是整式；
②是多项式，也是整式；
③是分式，不是整式；
④是单项式，也是整式；
⑤是二次根式，不是整式；
故答案为：①②④；
（2）（2x2+bx+1）+（﹣ax2+3x）
＝2x2+bx+1﹣ax2+3x
＝（2﹣a）x2+（b+3）x+1
∵①式与②式相加，化简所得的结果是单项式，
∴2﹣a＝0，b+3＝0，
∴a＝2，b＝﹣3．
解题秘籍：主要考查了整式的有关概念和计算．解题的关键是要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．
典例7（2019秋•青川县期末）下列判断错误的是（ ）
A．多项式5x2﹣2x+4是二次三项式
B．单项式﹣a2b3c4的系数是﹣1，次数是9
C．式子m+5，ab，x＝1，﹣2，sv都是代数式
D．当k＝3时，关于x，y的代数式（﹣3kxy+3y）+（9xy﹣8x+1）中不含二次项
思路引领：运用多项式及单项式的定义判定即可．
解：A、多项式是二次三项式，故本选项正确；
B、单项式的系数是﹣1，次数是2+3+4＝9，故本选项正确；
C、x＝1不是代数式，故本选项错误；
D、代入得：﹣9xy+3y+9xy﹣8x+1＝3y﹣8x+1中不含二次项，故本选项正确；故选：C．
解题秘籍：本题主要考查了多项式，单项式及代数式，解题的关键是熟记定义．
典例8（2022•黔东南州模拟）把多项式﹣3x2+2xy2﹣x3y﹣1按x降幂排列是 ．
思路引领：按x的指数从大到小排列即可．
解：多项式﹣3x2+2xy2﹣x3y﹣1按x降幂排列为﹣x3y﹣3x2+2xy2﹣1，
故答案为：﹣x3y﹣3x2+2xy2﹣1．
解题秘籍：本题考查了多项式的降幂排列，能熟记降幂排列的定义是解此题的关键，注意：排列时带着前面的符号．
针对训练4
8．（2021秋•南召县期中）下列说法：①a为任意有理数，a2+1总是正数；②在数轴上表示﹣a的点一定在原点的左边；③若ab＞0，a+b＜0，则a＜0，b＜0；④代数式t2、a+b3、2b都是整式；⑤若a2＝（﹣2）2，则a＝﹣2．其中错误的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
思路引领：分别利用整式的定义以及偶次方的性质、有理数的乘法、数轴的性质分别分析得出答案．
解：①a为任意有理数，a2+1总是正数，正确；
②在数轴上表示﹣a的点一定在原点的左边，错误；
③若ab＞0，a+b＜0，则a＜0，b＜0，正确；
④代数式t2、a+b3、2b都是整式，错误，2b不是整式；
⑤若a2＝（﹣2）2＝4，则a＝±2，故此选项错误．
故选：B．
解题秘籍：此题主要考查了整式以及偶次方的性质、有理数的乘法、数轴等知识，正确把握相关定义是解题关键．
9．（2020秋•莫旗期末）下列说法中，不正确的是（ ）
A．﹣ab2c的系数是﹣1，次数是4
B．xy3−1是整式
C．6x2﹣3x+1的项是6x2、﹣3x，1
D．2πR+πR2是三次二项式
思路引领：根据单项式的系数、次数，可判断A，根据整式的定义，可判断B，根据多项式的项是多项式中每个单项式，可判断C，根据多项式的次数是多项式中次数最高项的单项式的次数，可判断D．
解：A、﹣ab2c的系数是﹣1，次数是4，故A正确；
B、xy3−1是整式，故B正确；
C、6x2﹣3x+1的项是6x2、﹣3x，1，故C正确；
D、2πR+πR2是二次二项式，故D错误；
故选：D．
10．（2021秋•麦积区期末）多项式a3b﹣a2+3ab2﹣4a5+3是 次 项式，按a的降幂排列的结果： ．
思路引领：根据每个单项式叫做多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数定义进行判断．
解：原多项式的最高次项是﹣4a5，次数是5次，一共有5项，因此是五项式；
∵a3b次数是4，3ab2，次数是3，﹣a2次数是2，
∴按a的降幂排列的结果：﹣4a5+a3b﹣a2+3ab2+3；
故答案为：五、五、﹣4a5+a3b﹣a2+3ab2+3．
解题秘籍：本题考查了多项式，掌握多项式的项、多项式的次数的定义，把每个单项式的次数判断出是按a的降幂排列解题的关键．
概念五 同类项与合并同类项
典例9（2022•湘潭）下列整式与ab2为同类项的是（ ）
A．a2b B．﹣2ab2 C．ab D．ab2c
思路引领：根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，即可判断．
解：在a2b，﹣2ab2，ab，ab2c四个整式中，与ab2为同类项的是：﹣2ab2，
故选：B．
解题秘籍：本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
典例10 把（a+b），（a﹣b）分别看作一个整体，合并同类项：
（1）3（a﹣b）+2（a﹣b）﹣11（a﹣b）＝ ；
（2）2（a+b）﹣5（a+b）+a+b＝ ；
（3）﹣（a﹣b）2+4（a﹣b）2+（b﹣a）2＝ ．
思路引领：根据合并同类项的法则把系数相加即可．
解：（1）原式＝（3+2﹣11）（a﹣b）＝﹣6（a﹣b）；
（2）原式＝（2﹣5+1）（a+b）＝﹣2（a+b）；
（3）原式＝（﹣1+4+1）（a﹣b）2＝4（a﹣b）2．
故答案为：﹣6（a﹣b）；﹣2（a+b）；4（a﹣b）2．
解题秘籍：本题考查了合并同类项法则的应用，注意：合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变．
针对训练5
11．（2022•贺州二模）若4a2bn﹣1与amb2是同类项，则m+n的值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
思路引领：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，根据同类项的定义求出m，n的值，然后代入式子进行计算即可解答．
解：∵4a2bn﹣1与amb2是同类项，
∴m＝2，n﹣1＝2，
∴m＝2，n＝3，
∴m+n＝2+3＝5，
故选：B．
解题秘籍：本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
12．（2022春•蒸湘区校级月考）若﹣7xa+1y3与x3ya+b是同类项，则a﹣b＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．5
思路引领：熟练掌握同类项的概念，即对应字母的指数相同．
解：由题意得：
a+1＝3，a+b＝3，
∴a＝2，b＝1．
∴a﹣b＝1．
故选：A．
解题秘籍：考查了同类项得概念，解答此类问题，要知道同类项相同字母的指数相同，列出式子求解．
13．（2020•绵阳模拟）如果单项式3a4x+1b2与−12a5b3y−4可以合并为一项，那么x与y的值应分别为 ．
思路引领：两个式子可以合并，即两个式子是同类项，依据同类项的概念，相同字母的指数相同，即可求得x，y的值．
解：根据题意得：4x+1＝5且2＝3y﹣4
解得：x＝1，y＝2．
解题秘籍：本题主要考查了同类项的定义，同类项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，不是同类项的一定不能合并．
概念六 去括号与添括号
典例11（2021秋•新化县校级期中）去括号求值：﹣{﹣[+（−23）]}．
思路引领：根据去括号法则解答即可．
解：﹣{﹣[+（−23）]}
＝+[+（−23）]
=−23．
解题秘籍：此题考查了去括号法则．熟练掌握去括号法则是解题的关键．去括号法则：如果括号外的符号是+，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的符号是﹣，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
典例12（2020秋•恩施市期中）把﹣2x2﹣3xy+y2﹣3x+y+1中的二次项放在前面带有“﹣”号的括号里，一次项放在前面带有“+”号的括号里．
思路引领：先把一次项和二次项分别放在一起，然后根据添括号的法则计算即可．
解：﹣2x2﹣3xy+y2﹣3x+y+1＝﹣（2x2+3xy﹣y2）+（﹣3x+y）+1．
解题秘籍：此题考查了添括号的法则，添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，添括号后，括号里的各项都改变符号．
针对训练6
14．（2022春•宁波期末）下列添括号正确的是（ ）
A．﹣b﹣c＝﹣（b﹣c） B．﹣2x+6y＝﹣2（x﹣6y）
C．a﹣b＝+（a﹣b） D．x﹣y﹣1＝x﹣（y﹣1）
思路引领：直接利用去括号法则以及添括号法则分别判断得出答案．
解：A．﹣b﹣c＝﹣（b+c），故此选项不合题意；
B．﹣2x+6y＝﹣2（x﹣3y），故此选项不合题意；
C．a﹣b＝+（a﹣b），故此选项符合题意；
D．x﹣y﹣1＝x﹣（y+1），故此选项不合题意；
故选：C．
解题秘籍：此题主要考查了去括号与添括号，正确掌握相关运算法则是解题关键．
15．（徐闻县期中）观察下列各式：①﹣a+b＝﹣（a﹣b）；②2﹣3x＝﹣（3x﹣2）；③5x+30＝5（x+6）；④﹣x﹣6＝﹣（x+6）．探索以上四个式子中括号的变化情况，思考它和去括号法则有什么不同？利用你探索出来的规律，解答下面的题目：
已知a2+b2＝5，1﹣b＝﹣1，求﹣1+a2+b+b2的值．
思路引领：利用添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号，进而将已知代入求出即可．
解：∵a2+b2＝5，1﹣b＝﹣1，
∴﹣1+a2+b+b2
＝﹣（1﹣b）+（a2+b2）
＝﹣（﹣1）+5
＝6．
解题秘籍：此题主要考查了添括号法则，正确掌握运算法则是解题关键．
第二部分 专题提优训练
1．（2020秋•石狮市期末）已知多项式﹣7ambn+5ab2﹣1（m，n为正整数）是按a的降幂排列的四次三项式，则（﹣n）m的值为（ ）
A．﹣1 B．3或﹣4 C．﹣1或4 D．﹣3或4
思路引领：根据多项式及降幂排列的定义可得m＞1，m+n＝4，即可求解m，n的值，再分别代入计算可求解．
解：由题意得：m＞1，m+n＝4，
∴m＝2，n＝2或m＝3，n＝1，
当m＝2，n＝2时，（﹣n）m＝（﹣2）2＝4；
当m＝3，n＝1时，（﹣n）m＝（﹣1）3＝﹣1．
故选：C．
解题秘籍：此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．
2．（2021秋•淅川县期中）关于多项式2x2y3−3x3y2−14y+6，下列说法正确的是（ ）
A．它是三次四项式
B．它是关于字母y的降幂排列
C．它的一次项是14y
D．2x2y3与﹣3x3y2的次数不同
思路引领：由于多项式3x2y3﹣3x3y2−14y+6共有4项：五次项3x2y3和﹣3x3y2，一次项−14y，常数项6且关于字母y降幂排列．根据前面的结论即可正确选择答案．
解：∵多项式3x2y3﹣2x3y2−14y+6共有4项：
分别是五次项3x2y3和﹣3x3y2，一次项−14y，常数项6，
且关于字母y降幂排列．
A：它是五次四项式，不是三次四项式；
B：它是关于字母y的降幂排列；
C：它的一次项应为−14y，不是14y；
D：3x2y3与﹣2x3y2次数都是五次．
故选：B．
解题秘籍：本题考查了同学们对多项式的项的系数和次数定义以及升降幂排列的掌握情况，掌握多项式的项的系数和次数是解题的关键．
3．（2022春•兰西县校级期末）下列各组两项中，是同类项的是（ ）
A．xy与﹣xy B．15ac与15abc
C．﹣3ab与﹣2xy D．3xy2与3x2y
思路引领：根据同类项的定义（所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的两个单项式）解决此题．
解：A．根据同类项的定义，xy与﹣xy是同类项，那么A符合题意．
B．根据同类项的定义，15ac与15abc不是同类项，那么B不符合题意．
C．根据同类项的定义，﹣3ab与﹣2xy不是同类项，那么C不符合题意．
D．根据同类项的定义，3xy2与3x2y不是同类项，那么D不符合题意．
故选：A．
解题秘籍：本题主要考查同类项，熟练掌握同类项的定义是解决本题的关键．
4．（2021秋•姚安县校级月考）下面是小玲同学做的合并同类项的题，正确的是（ ）
A．7a+a＝7a2 B．5y﹣3y＝2
C．3x2y﹣2x2y＝x2y D．3a+2b＝5ab
思路引领：根据合并同类项法则即可求出答案．
解：A、原式＝8a，故A不符合题意．
B、原式＝2y，故B不符合题意．
C、原式＝x2y，故C符合题意．
D、3a与2b不是同类项，故不能合并，故D不符合题意．
故选：C．
解题秘籍：本题考查合并同类，解题的关键是熟练运用合并同类项法则，本题属于基础题型．
5．（2022春•潍坊期末）若单项式20xm﹣ny14与25x3y3m−8n可以合并成一项，则mn的值是（ ）
A．12 B．2 C．−12 D．﹣2
思路引领：根据合并同类项的定义即可求出答案．
解：由题意可知：m﹣n＝3，3m﹣8n＝14，
∴m＝2，n＝﹣1，
∴mn=12．
故选：A．
解题秘籍：本题考查合并同类项，解题的关键是熟练运用同类项的定义，本题属于基础题型．
6．（2022•定西二模）已知3x2y+xmy＝4x2y，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
思路引领：根据同类项的定义及合并同类项法则，即可求出m的值．
解：∵3x2y+xmy＝4x2y，
∴3x2y与xmy是同类项，
∴m＝2，
故选：C．
解题秘籍：本题考查了合并同类项，掌握同类项的定义是解决问题的关键．
7．（2022春•六盘水期中）已知a为任意实数，有多项式M＝2x2+3ax+5，N＝x+4，且MN＝A，当多项式A中不含2次项时，a的值为（ ）
A．−83 B．﹣1 C．0 D．1
思路引领：先计算MN的结果，再根据多项式A中不含2次项可得方程，求解可得a的值．
解：A＝MN＝（2x2+3ax+5）（x+4）＝2x3+8x2+3ax2+12ax+5x+20＝2x3+（3a+8）x2+（12a+5）x+20，
∵多项式A中不含2次项，
∴3a+8＝0，
∴a=−83．
故选：A．
解题秘籍：此题考查的是合并同类项及多项式的乘法运算，掌握其运算法则是解决此题关键．
8．（2020春•南岗区校级期中）下列计算正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．3a2+2a3＝5a5
C．5x﹣3x＝2 D．5xy﹣4xy＝xy
思路引领：合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
解：A．3a与2b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．3a2与2a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．5x﹣3x＝2x，故本选项不合题意；
D．5xy﹣4xy＝xy，故本选项符合题意；
故选：D．
解题秘籍：本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．
9．（2021秋•射阳县校级期末）若3xm+5y2与23x8yn+4的差是一个单项式，则代数式nm的值为（ ）
A．﹣8 B．6 C．﹣6 D．8
思路引领：根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，求出m，n的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
解：由题意得：
m+5＝8，n+4＝2，
∴m＝3，n＝﹣2，
∴nm＝（﹣2）3＝﹣8，
故选：A．
解题秘籍：本题考查了合并同类项，代数式求值，单项式，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
10．将（m+2n），（m﹣n）分别看作一个整体；把代数式14（m+2n）2﹣5（m﹣n）−12（m+2n）2+3（m﹣n）中的同类项合并，并求m+2n＝﹣3，m﹣n=−12时，代数式的值．
思路引领：先合并，然后再整体代入即可求解；
解：14（m+2n）2﹣5（m﹣n）−12（m+2n）2+3（m﹣n）
＝（14−12）（m+2n）2+（﹣5+3）（m﹣n）
=−14（m+2n）2﹣2（m﹣n），
当m+2n＝﹣3，m﹣n=−12时，
原式=−14×9﹣2×（−12）=−54；
解题秘籍：考查了合并同类项及代数式求值的知识，正确的合并同类项是解答本题的关键，难度不大．
11．（2022•馆陶县三模）等号左右两边一定相等的一组是（ ）
A．﹣（a+b）＝﹣a+b B．a3＝a+a+a
C．﹣2（a+b）＝﹣2a﹣2b D．﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b
思路引领：根据去括号法则和合并同类项法则解答即可．
解：A、原式＝﹣a﹣b，原去括号错误，故此选项不符合题意；
B、a3＝a•a•a，a+a+a＝3a，原式左右两边不相等，故此选项不符合题意；
C、原式＝﹣2a﹣2b，原去括号正确，故此选项符合题意；
D、原式＝﹣a+b，原去括号错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
解题秘籍：本题考查了去括号法则和合并同类项法则．解题的关键是掌握去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．
12．（2021秋•云梦县校级期末）下列去括号正确的是（ ）
A．﹣（﹣x2）＝﹣x2 B．﹣x﹣（2x2﹣1）＝﹣x﹣2x2+1
C．﹣（2m﹣3n）＝﹣2m﹣3n D．3（2﹣3x）＝6﹣3x
思路引领：根据去括号法则解答．
解：A、﹣（﹣x2）＝x2，计算错误，不符合题意；
B、﹣x﹣（2x2﹣1）＝﹣x﹣2x2+1，计算正确，符合题意；
C、﹣（2m﹣3n）＝﹣2m+3n，计算错误，不符合题意；
D、3（2﹣3x）＝6﹣9x，计算错误，不符合题意．
故选：B．
解题秘籍：本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．
13．（2022•邯郸一模）“m与n差的3倍”用代数式可以表示成（ ）
A．3m﹣n B．m﹣3n C．3（n﹣m） D．3（m﹣n）
思路引领：要明确给出文字语言中的运算关系，先表示出m与n的差，再表示出差的3倍即可．
解：“m与n差的3倍”用代数式可以表示为：3（m﹣n）．
故选：D．
解题秘籍：此题主要考查了列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“差”、“平方”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．
14．（2022•南京模拟）下列各式中，不是代数式的是（ ）
A．﹣3 B．a2﹣2a C．2x+3＝0 D．ab2
思路引领：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．根据代数式的定义逐项判断即可．
解：A选项，﹣3是代数式，不符合题意；
B选项，a2﹣2a是代数式，不符合题意；
C选项，2x+3＝0是等式，不是代数式，符合题意；
D选项，ab2是代数式，不符合题意；
故选：C．
解题秘籍：此题主要考查了代数式的定义，正确把握代数式的定义是解题关键．
15．（2021秋•潍坊期末）下列各式符合代数式书写规范的是（ ）
A．18×b B．114x C．−ba2 D．m÷2n
思路引领：根据代数式的书写规则，数字与字母之间的乘号应省略，分数不能为带分数，不能出现除号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案．
解：A、正确书写格式为：18b，故此选项不符合题意；
B、正确书写格式为：54x，故此选项不符合题意；
C、是正确的书写格式，故此选项符合题意；
D、正确书写格式为：m2n，故此选项不符合题意．
故选：C．
解题秘籍：本题考查了代数式的书写规则，能够根据代数式书写的标准规则对各项进行分析，得出答案是解题的关键．
16．（2022•南京模拟）代数式1x，2x+y，13a2b，x−yπ，5y4x，0.5中整式的个数（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
思路引领：根据整式的定义（根据单项式和多项式统称为整式）解决此题．
解：∵1x不是整式，2x+y是多项式，13a2b是单项式，x−yπ是多项式，5y4x不是整式，0.5是单项式，
∴整式有2x+y，13a2b，x−yπ，0.5，共有4个．
故选：B．
解题秘籍：本题主要考查整式，熟练掌握整式的定义是解决本题的关键．
17．（2022•通州区校级开学）下列各式中，不是整式的是（ ）
A．3a B．12x C．0 D．x+y
思路引领：根据单项式与多项式统称为整式，根据整式及相关的定义解答即可．
解：A、3a是整式，不符合题意；
B、12x是分式，不是整式，符合题意；
C、0是整式，不符合题意；
D、x+y是整式，不符合题意；
故选：B．
解题秘籍：本题主要考查整式的相关的定义，解决此题的关键是熟记整式的相关定义．
18．（2022•冠县一模）下列整式中，是二次单项式的是（ ）
A．x2+1 B．xy C．x2y D．22x
思路引领：根据单项式以及单项式次数的意义，判断即可．
解：A、x2+1是多项式，故A不符合题意；
B、xy是二次单项式，故B符合题意；
C、x2y是三次单项式，故C不符合题意；
D、22x是一次单项式，故D不符合题意；
故选：B．
解题秘籍：本题考查了单项式，熟练掌握单项式以及单项式次数的意义是解题的关键．
19．（2021秋•滑县期末）已知﹣4x2yzm是关于x，y，z的5次单项式，m是常数，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
思路引领：根据已知得出2+1+m＝5，求出即可．
解：∵﹣4x2yzm是关于x，y，z的5次单项式，m是常数，
∴2+1+m＝5，
解得：m＝2，
故选：B．
解题秘籍：本题考查了单项式的次数，能根据单项式的次数定义得出关于m的方程是解此题的关键．
20．（2022•南京模拟）多项式12x6y2−2x3y4+3的次数和项数分别为（ ）
A．7，2 B．8，3 C．8，2 D．7，3
思路引领：根据多项式的项和次数进行作答即可．
解：多项式12x6y2−2x3y4+3共有3项，分别是：12x6y2，其次数为6+2＝8，﹣2x3y4，其次数为3+4＝7，3，其次数为0，
∴多项式12x6y2−2x3y4+3的次数为8；
故选：B．
解题秘籍：本题考查了多项式的项和次数，多项式中每个单项式都是多项式的项，有几个单项式就是几项式，多项式的次数是多项式中最高次项的次数，熟练掌握知识点是解题的关键．
21．（2022春•余姚市校级期末）如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为54，大长方形的周长为42，则一张小长方形的面积为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
思路引领：大长方形的长＝2x+y，大长方形的宽＝x+2y，根据阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣5个小长方形的面积，以及大长方形的周长等于42，列出含有x和y的等式，通过变形得出小长方形的面积，即xy的值，从而求出结果．
解：由题意知，大长方形的长＝2x+y，
大长方形的宽＝x+2y，
则大长方形的周长＝2[（2x+y）+（x+2y）]＝42，
化简得x+y＝7，
∵阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣5个小长方形的面积，
∴54＝（2x+y）（x+2y）﹣5xy，
化简得x2+y2＝27，
∵大长方形的周长＝2[（2x+y）+（x+2y）]＝42，
化简得x+y＝7，
∴（x+y）2＝72，
即x2+2xy+y2＝49，
把x2+y2＝27代入得，
27+2xy＝49，
解得xy＝11，
则一张小长方形的面积＝xy＝11．
故选：B．
解题秘籍：本题考查列代数式，通过观察图形特点并结合已知条件列出代数式，运用完全平方公式求解是解题的关键．
22．用不等式表示下列数量关系：
（1）a与1的和是正数 ；
（2）a的12和b的13的差是负数 ；
（3）a与b的两数和的平方不大于9 ；
（4）a的32倍与b的和的平方是非负数 ．
思路引领：（1）首先表示a与1的和为a+1，再表示是正数可得a+1＞0；
（2）首先表示a的12和b的13的差为12a−13b，再表示“是负数”为12a−13b＜0；
（3）首先表示a与b的两数和的平方为（a+b）2，再表示“不大于9”即可；
（4）首先表示a的32倍与b的和的平方为（32a+b）2，再表示“是非负数”即可．
解：（1）a+1＞0；
（2）12a−13b＜0；
（3）（a+b）2≤9；
（4）（32a+b）2≥0．
解题秘籍：此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
23．（2022春•电白区月考）单项式(−xy2)34的系数是 ，次数是 ．
思路引领：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
解：∵(−xy2)34=−x3y64，
∴单项式(−xy2)34的系数、次数分别为−14，9，
故答案为：−14，9．
解题秘籍：本题考查单项式，解题的关键是正确理解单项式的概念，本题属于基础题型．
24．（2021秋•射阳县校级期末）单项式﹣2πa2bc的次数为 ．
思路引领：根据单项式的次数的概念解答即可．
解：单项式﹣2πa2bc的次数为：2+1+1＝4，
故答案为：4．
解题秘籍：本题考查的是单项式的次数的概念，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
25．（2021秋•碑林区校级期末）单项式−3ab28的系数为m，次数为n，则8mn的值为 ．
思路引领：直接利用单项式的次数与系数的定义分析得出m、n的中，代入计算即可．
解：单项式−3ab28的系数为m=−38，次数为n＝3，
则8mn＝8×（−38）×3＝﹣9．
故答案为：﹣9．
解题秘籍：此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数的确定方法是解题关键．
26．（2021秋•江都区期末）若x|m|﹣1+（3+m）x﹣5是关于x的二次二项式，那么m的值为 ．
思路引领：根据题意可得：|m|﹣1＝2且3+m＝0，再解即可．
解：由题意得：|m|﹣1＝2且3+m＝0，
解得：m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
解题秘籍：此题主要考查了多项式，关键是掌握多项式定义，关键是掌握如果一个多项式含有a个单项式，最高次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
27．（2021秋•龙江县期末）若多项式ab|m﹣n|+（n﹣1）a3b3+1是关于a，b的五次多项式，则m＝ ．
思路引领：根据多项式的次数定义，列出方程即可解决问题．
解：根据题意得|m﹣n|＝4，n﹣1＝0，
解得m＝5或﹣3，或n＝1．
所以m的值是5或﹣3．
故答案为：5或﹣3．
解题秘籍：本题考查了多项式和绝对值．解题的关键是掌握多项式的项数和次数的定义．
28．（2021秋•常宁市期末）若多项式x7y2﹣3xm+2y3+x3y4是按字母x降幂排列的，则m的值是 ．
思路引领：根据多项式的降幂排列得出不等式组7＞m+2＞3或m+2＝7或m+2＝3，再求出整数m即可．
解：∵多项式x7y2﹣3xm+2y3+x3y4是按字母x降幂排列的，
∴7＞m+2＞3或m+2＝7或m+2＝3，
∴5＞m＞1或m＝5或m＝1，
∴m为5或4或3或2或1，
故答案为：5或4或3或2或1．
解题秘籍：本题考查了多项式的降幂排列和解一元一次不等式组，能根据题意得出关于m的不等式组或方程是解此题的关键．
29．（2020秋•恩施市期中）小明在抄写单项式时把字母中有的指数漏掉了，抄成−45xyz，他只知道这个单项式是四次单项式，你能帮他写出这个单项式吗？这样的单项式有几个，不妨都写出来．
思路引领：利用单项式的定义求解即可．
解：∵这个单项式是四次单项式，
∴这个单项式可能是−45x2yz，−45xy2z，−45xyz2．
解题秘籍：本题主要考查了单项式，解题的关键是熟记单项式的定义．
30．（2021秋•越城区期中）关于x的多项式﹣5x2﹣（2m﹣1）x2+（2﹣3n）x﹣1中不含二次项和一次项时，求m、n的值．
思路引领：利用多项式的定义得出二次项与一次项系数为0，进而求出即可．
解：∵关于x的多项式﹣5x2﹣（2m﹣1）x2+（2﹣3n）x﹣1中不含二次项和一次项，
∴﹣5﹣（2m﹣1）＝0，2﹣3n＝0，
解得：m＝﹣2，n=23．
解题秘籍：此题主要考查了多项式的定义，得出各项系数之间关系是解题关键．
31．（2021秋•嵩县期中）观察下列一系列单项式的特点：
12x2y，−14x2y2，18x2y3，−116x2y4，…
（1）写出第8个单项式；
（2）猜想第n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数．
思路引领：（1）根据观察，可发现规律：系数是（﹣1）n+1×（12）n，字母部分是x2yn，可得答案；
（2）根据观察，可发现规律：系数是（﹣1）n+1×（12）n，字母部分是x2yn，可得答案．
解：由观察下列单项式：12x2y，−14x2y2，18x2y3，−116x2y4，…，得
系数是（﹣1）n+1×（12）n，字母部分是x2yn，
第8个单项式﹣（12）8x2y8；
（2）由观察下列单项式：12x2y，−14x2y2，18x2y3，−116x2y4，…，得
第n个单项式是（﹣1）n+1×（12）nx2yn，系数是（﹣1）n+1×（12）n，字母部分是x2yn，次数n+2．
解题秘籍：本题考查了单项式，观察发现规律系数是（﹣1）n+1×（12）n，字母部分是x2yn是解题关键．
32．（2021秋•蓬江区校级月考）已知|a|＝﹣a，试确定六次单项式 1ax5y|a|中a的取值，并在上述条件下求a2003﹣a2002+1的值．
思路引领：根据绝对值的意义，可得a的取值范围，根据单项式的次数是字母指数和，可得a的值，根据负数奇数次幂是负数，负数偶数次幂是正数，可得答案．
解：由|a|＝﹣a，得
a＜0，
六次单项式 1ax5y|a|，得
5﹣a＝6，
解得a＝﹣1，
a2003﹣a2002+1＝﹣1﹣1+1＝﹣1．
解题秘籍：本题考查了单项式，利用单项式的次数得出方程是解题关键．
33．（2021秋•利津县期中）已知（m+3）x3y|m+1|是关于x，y的七次单项式，求m2﹣3m+1的值．
思路引领：直接利用单项式的系数和次数确定方法分析得出答案．
解：∵（m+3）x3y|m+1|是关于x，y的七次单项式，
∴3+|m+1|＝7且m+3≠0，
解得：m＝3，或m＝﹣5，
∴m2﹣3m+1＝9﹣9+1＝1，
或m2﹣3m+1＝25+15+1＝41．
故m2﹣3m+1的值是1或41．
解题秘籍：此题主要考查了单项式，正确把握单项式的系数和次数确定方法是解题关键．
第8讲 与整式有关的概念（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
概念一 用字母表示数
典例1用含字母的式子表示下列数量关系：
（1）个位数字为a，十位数字为b的两位数；
（2）x，y两数的差的平方；
（3）a，b两数的平方差；
（4）某商品的原价是a元，提价10%后的价格．
思路引领：（1）根据题中的描述列出代数式即可；
（2）根据题中的描述列出代数式即可；
（3）根据题中的描述列出代数式即可；
（4）根据题中的描述列出代数式即可．
解：（1）10b+a．
（2）（x﹣y）2．
（3）a2﹣b2．
（4）（1+10%）a元．
解题秘籍：本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意，列出正确的代数式．
针对训练1
1．用含字母的式子表示下列数量关系．
（1）小雪买单价为a元的笔记本4本，共花 元；
（2）三角形的底为a，高为h，则三角形的面积是 ；
（3）若正方体的棱长是a﹣1，则正方体的表面积为 ；
（4）自来水每吨m元，电每度n元，则小明家本月用水8吨，用电100度，应交费 元．
思路引领：（1）每本笔记本单价为a元，则4本共花4a元；
（2）根据三角形的面积公式可直接得到答案；
（3）正方体共有6个面，利用6乘以每一个面的面积即可；
（4）首先表示出用水8吨花费8m元，用电100度花费100n元，再相加即可．
解：（1）笔记本4本共花4a元；
（2）三角形的面积是12ah；
（3）正方体的表面积为6（a﹣1）2；
（4）用水8吨花费8m元，用电100度花费100n元，共花费（8m+100n）元；
故答案为：4a；12ah；6（a﹣1）2；（8m+100n）．
解题秘籍：此题主要考查了列代数式，关键是正确理解题意，找出题目中的数量关系，列出代数式．
概念二 单项式的概念
典例2（2022春•香坊区期末）式子a+2，2b5，2x，−2x+y9，8m中，单项式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路引领：直接利用单项式定义分析得出答案．数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
解：根据定义可知，式子a+2，2b5，2x，−2x+y9，8m中，单项式是2b5，2x两个．
故选：B．
解题秘籍：此题主要考查了单项式，正确把握单项式定义是解题关键．
典例3（2022•富川县三模）单项式﹣2x2yz3的系数、次数分别是（ ）
A．2，5 B．﹣2，5 C．2，6 D．﹣2，6
思路引领：根据单项式的系数和次数的定义即可得出答案．
解：单项式﹣2x2yz3的系数是﹣2，次数是2+1+3＝6，
故选：D．
解题秘籍：本题考查了单项式，掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解题的关键．
针对训练2
2．（2022•浦东新区二模）下列代数式中，不是单项式的是（ ）
A．a2 B．2a C．a2 D．a+2
思路引领：单项式的定义：数或字母的乘积叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式．根据单项式的定义判定即可．
解：a2表示a与a的乘积，a2是单项式，不选A．
2a表示2与a的乘积，2a是单项式，不选B．
a2表示12与a的乘积，a2是单项式，不选C．
a+2表示a与2的和，a+2不是单项式，它是单项式a与单项式2的和，所以a+2是多项式．不是单项式的是D．
故选：D．
解题秘籍：本题考查单项式的定义，会判断出式子是不是数或字母的乘积是关键，同时注意单独的一个数或一个字母也是单项式．
3．（2022•昆明一模）按一定规律排列的单项式：3b2，5a2b2，7a4b2，9a6b2，11a8b2，…，第8个单项式是（ ）
A．17a14b2 B．17a8b14 C．15a7b14 D．152a14b2
思路引领：观察每个单项式的系数和所含字母的指数，总结规律，根据规律解答即可．
解：由题意可知：单项式的系数是从3起的奇数，
单项式中a的指数偶数，b的指数不变，
所以第8个单项式是：17a14b2．
故选：A．
解题秘籍：本题考查的是数字的变化规律、单项式的概念，正确找出单项式的系数和次数的变化规律是解题的关键．
4．（2021秋•信都区月考）写出所有系数是2，且含字母x及y的五次单项式．
思路引领：根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
解：先构造系数为2，即数字因数为2，然后使x、y的指数和是5即可．
则满足题意的所有五次单项式有：2xy4、2x2y3、2x3y2、2x4y．
解题秘籍：考查了单项式的定义，解答此题关键是构造单项式的系数和次数，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．
概念三 多项式的概念
典例4（2021秋•渭城区期末）已知下面5个式子：①x2﹣x+1，②m2n+mn﹣1，③2，④5﹣x2，⑤﹣x2．
（1）上面5个式子中有 个多项式，次数最高的多项式为 （填序号）；
（2）化简：①+④．
思路引领：（1）根据多项式的定义即可得结论；
（2）根据多项式的加法运算即可得到答案．
解：（1）上面5个式子中有3个多项式，分别是：①②④，
次数最高的多项式为②；
故答案为：3，②；
（2）①+④得：
x2﹣x+1+5﹣x2＝﹣x+6．
解题秘籍：本题考查了多项式的定义和运算，解决本题的关键是掌握多项式的相关定义及多项式的加法运算法则．
典例5（2021秋•巨野县期末）已知多项式﹣3x3ym+1+xy2−12x3+6是六次四项式，单项式23πxny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，求mn的值．
思路引领：根据题意求出m与n的值，然后代入所求式子即可求出答案．
解：由题意可知：m+1+3＝6，n+5﹣m＝6，
∴m＝2，n＝3，
∴mn＝23＝8
解题秘籍：本题考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式与单项式的概念，本题属于基础题型．
针对训练3
5．（2022•荷塘区校级二模）多项式3x2y2﹣2xy2−13xy的二次项系数为 ．
思路引领：直接利用多项式的定义得出二次项进而得出答案．
解：∵多项式3x2y2﹣2xy2−13xy的二次项是−13xy，
∴二次项系数为：−13．
故答案为：−13．
解题秘籍：此题主要考查了多项式，正确找出二次项是解题的关键．
6．（2021秋•龙泉驿区校级期末）如果关于x，y的多项式xy|a|−13(a−2)y2+1是三次三项式，则a的值为 ．
思路引领：直接利用绝对值与多项式的定义得出a的值，即可得出答案．
解：∵关于x，y的多项式xy|a|−13(a−2)y2+1是三次三项式，
∴|a|＝2且a﹣2≠0，
解得，a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
解题秘籍：此题考查的是多项式，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
7．（2021秋•全州县期末）多项式2−15xy2−4x3y是 次 项式，其中常数项是 ．
思路引领：根据多项式的次数和项数以及常数项的定义求解．
解：因为多项式2−15xy2﹣4x3y的最高次项是﹣4x3y，由三个单项式的和组成，
所以多项式2−15xy2﹣4x3y是四次三项式，其中常数项是2．
故答案是：四，三，2．
解题秘籍：此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．常数项是不含字母的项．
概念四 整式的概念
典例6（2020秋•奉化区校级期末）（1）下列代数式：①2x2+bx+1；②﹣ax2+3x；③1x−2；④x2；⑤2x，其中是整式的有 ．（填序号）
（2）将上面的①式与②式相加，若a，b为常数，化简所得的结果是单项式，求a，b的值．
思路引领：（1）根据整式的概念，紧扣概念作出判断；
（2）先合并同类项，利用单项式定义求出a与b的值即可．
解：（1）①是多项式，也是整式；
②是多项式，也是整式；
③是分式，不是整式；
④是单项式，也是整式；
⑤是二次根式，不是整式；
故答案为：①②④；
（2）（2x2+bx+1）+（﹣ax2+3x）
＝2x2+bx+1﹣ax2+3x
＝（2﹣a）x2+（b+3）x+1
∵①式与②式相加，化简所得的结果是单项式，
∴2﹣a＝0，b+3＝0，
∴a＝2，b＝﹣3．
解题秘籍：主要考查了整式的有关概念和计算．解题的关键是要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．
典例7（2019秋•青川县期末）下列判断错误的是（ ）
A．多项式5x2﹣2x+4是二次三项式
B．单项式﹣a2b3c4的系数是﹣1，次数是9
C．式子m+5，ab，x＝1，﹣2，sv都是代数式
D．当k＝3时，关于x，y的代数式（﹣3kxy+3y）+（9xy﹣8x+1）中不含二次项
思路引领：运用多项式及单项式的定义判定即可．
解：A、多项式是二次三项式，故本选项正确；
B、单项式的系数是﹣1，次数是2+3+4＝9，故本选项正确；
C、x＝1不是代数式，故本选项错误；
D、代入得：﹣9xy+3y+9xy﹣8x+1＝3y﹣8x+1中不含二次项，故本选项正确；故选：C．
解题秘籍：本题主要考查了多项式，单项式及代数式，解题的关键是熟记定义．
典例8（2022•黔东南州模拟）把多项式﹣3x2+2xy2﹣x3y﹣1按x降幂排列是 ．
思路引领：按x的指数从大到小排列即可．
解：多项式﹣3x2+2xy2﹣x3y﹣1按x降幂排列为﹣x3y﹣3x2+2xy2﹣1，
故答案为：﹣x3y﹣3x2+2xy2﹣1．
解题秘籍：本题考查了多项式的降幂排列，能熟记降幂排列的定义是解此题的关键，注意：排列时带着前面的符号．
针对训练4
8．（2021秋•南召县期中）下列说法：①a为任意有理数，a2+1总是正数；②在数轴上表示﹣a的点一定在原点的左边；③若ab＞0，a+b＜0，则a＜0，b＜0；④代数式t2、a+b3、2b都是整式；⑤若a2＝（﹣2）2，则a＝﹣2．其中错误的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
思路引领：分别利用整式的定义以及偶次方的性质、有理数的乘法、数轴的性质分别分析得出答案．
解：①a为任意有理数，a2+1总是正数，正确；
②在数轴上表示﹣a的点一定在原点的左边，错误；
③若ab＞0，a+b＜0，则a＜0，b＜0，正确；
④代数式t2、a+b3、2b都是整式，错误，2b不是整式；
⑤若a2＝（﹣2）2＝4，则a＝±2，故此选项错误．
故选：B．
解题秘籍：此题主要考查了整式以及偶次方的性质、有理数的乘法、数轴等知识，正确把握相关定义是解题关键．
9．（2020秋•莫旗期末）下列说法中，不正确的是（ ）
A．﹣ab2c的系数是﹣1，次数是4
B．xy3−1是整式
C．6x2﹣3x+1的项是6x2、﹣3x，1
D．2πR+πR2是三次二项式
思路引领：根据单项式的系数、次数，可判断A，根据整式的定义，可判断B，根据多项式的项是多项式中每个单项式，可判断C，根据多项式的次数是多项式中次数最高项的单项式的次数，可判断D．
解：A、﹣ab2c的系数是﹣1，次数是4，故A正确；
B、xy3−1是整式，故B正确；
C、6x2﹣3x+1的项是6x2、﹣3x，1，故C正确；
D、2πR+πR2是二次二项式，故D错误；
故选：D．
10．（2021秋•麦积区期末）多项式a3b﹣a2+3ab2﹣4a5+3是 次 项式，按a的降幂排列的结果： ．
思路引领：根据每个单项式叫做多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数定义进行判断．
解：原多项式的最高次项是﹣4a5，次数是5次，一共有5项，因此是五项式；
∵a3b次数是4，3ab2，次数是3，﹣a2次数是2，
∴按a的降幂排列的结果：﹣4a5+a3b﹣a2+3ab2+3；
故答案为：五、五、﹣4a5+a3b﹣a2+3ab2+3．
解题秘籍：本题考查了多项式，掌握多项式的项、多项式的次数的定义，把每个单项式的次数判断出是按a的降幂排列解题的关键．
概念五 同类项与合并同类项
典例9（2022•湘潭）下列整式与ab2为同类项的是（ ）
A．a2b B．﹣2ab2 C．ab D．ab2c
思路引领：根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，即可判断．
解：在a2b，﹣2ab2，ab，ab2c四个整式中，与ab2为同类项的是：﹣2ab2，
故选：B．
解题秘籍：本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
典例10 把（a+b），（a﹣b）分别看作一个整体，合并同类项：
（1）3（a﹣b）+2（a﹣b）﹣11（a﹣b）＝ ；
（2）2（a+b）﹣5（a+b）+a+b＝ ；
（3）﹣（a﹣b）2+4（a﹣b）2+（b﹣a）2＝ ．
思路引领：根据合并同类项的法则把系数相加即可．
解：（1）原式＝（3+2﹣11）（a﹣b）＝﹣6（a﹣b）；
（2）原式＝（2﹣5+1）（a+b）＝﹣2（a+b）；
（3）原式＝（﹣1+4+1）（a﹣b）2＝4（a﹣b）2．
故答案为：﹣6（a﹣b）；﹣2（a+b）；4（a﹣b）2．
解题秘籍：本题考查了合并同类项法则的应用，注意：合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变．
针对训练5
11．（2022•贺州二模）若4a2bn﹣1与amb2是同类项，则m+n的值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
思路引领：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，根据同类项的定义求出m，n的值，然后代入式子进行计算即可解答．
解：∵4a2bn﹣1与amb2是同类项，
∴m＝2，n﹣1＝2，
∴m＝2，n＝3，
∴m+n＝2+3＝5，
故选：B．
解题秘籍：本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
12．（2022春•蒸湘区校级月考）若﹣7xa+1y3与x3ya+b是同类项，则a﹣b＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．5
思路引领：熟练掌握同类项的概念，即对应字母的指数相同．
解：由题意得：
a+1＝3，a+b＝3，
∴a＝2，b＝1．
∴a﹣b＝1．
故选：A．
解题秘籍：考查了同类项得概念，解答此类问题，要知道同类项相同字母的指数相同，列出式子求解．
13．（2020•绵阳模拟）如果单项式3a4x+1b2与−12a5b3y−4可以合并为一项，那么x与y的值应分别为 ．
思路引领：两个式子可以合并，即两个式子是同类项，依据同类项的概念，相同字母的指数相同，即可求得x，y的值．
解：根据题意得：4x+1＝5且2＝3y﹣4
解得：x＝1，y＝2．
解题秘籍：本题主要考查了同类项的定义，同类项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，不是同类项的一定不能合并．
概念六 去括号与添括号
典例11（2021秋•新化县校级期中）去括号求值：﹣{﹣[+（−23）]}．
思路引领：根据去括号法则解答即可．
解：﹣{﹣[+（−23）]}
＝+[+（−23）]
=−23．
解题秘籍：此题考查了去括号法则．熟练掌握去括号法则是解题的关键．去括号法则：如果括号外的符号是+，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的符号是﹣，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
典例12（2020秋•恩施市期中）把﹣2x2﹣3xy+y2﹣3x+y+1中的二次项放在前面带有“﹣”号的括号里，一次项放在前面带有“+”号的括号里．
思路引领：先把一次项和二次项分别放在一起，然后根据添括号的法则计算即可．
解：﹣2x2﹣3xy+y2﹣3x+y+1＝﹣（2x2+3xy﹣y2）+（﹣3x+y）+1．
解题秘籍：此题考查了添括号的法则，添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，添括号后，括号里的各项都改变符号．
针对训练6
14．（2022春•宁波期末）下列添括号正确的是（ ）
A．﹣b﹣c＝﹣（b﹣c） B．﹣2x+6y＝﹣2（x﹣6y）
C．a﹣b＝+（a﹣b） D．x﹣y﹣1＝x﹣（y﹣1）
思路引领：直接利用去括号法则以及添括号法则分别判断得出答案．
解：A．﹣b﹣c＝﹣（b+c），故此选项不合题意；
B．﹣2x+6y＝﹣2（x﹣3y），故此选项不合题意；
C．a﹣b＝+（a﹣b），故此选项符合题意；
D．x﹣y﹣1＝x﹣（y+1），故此选项不合题意；
故选：C．
解题秘籍：此题主要考查了去括号与添括号，正确掌握相关运算法则是解题关键．
15．（徐闻县期中）观察下列各式：①﹣a+b＝﹣（a﹣b）；②2﹣3x＝﹣（3x﹣2）；③5x+30＝5（x+6）；④﹣x﹣6＝﹣（x+6）．探索以上四个式子中括号的变化情况，思考它和去括号法则有什么不同？利用你探索出来的规律，解答下面的题目：
已知a2+b2＝5，1﹣b＝﹣1，求﹣1+a2+b+b2的值．
思路引领：利用添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号，进而将已知代入求出即可．
解：∵a2+b2＝5，1﹣b＝﹣1，
∴﹣1+a2+b+b2
＝﹣（1﹣b）+（a2+b2）
＝﹣（﹣1）+5
＝6．
解题秘籍：此题主要考查了添括号法则，正确掌握运算法则是解题关键．
第二部分 专题提优训练
1．（2020秋•石狮市期末）已知多项式﹣7ambn+5ab2﹣1（m，n为正整数）是按a的降幂排列的四次三项式，则（﹣n）m的值为（ ）
A．﹣1 B．3或﹣4 C．﹣1或4 D．﹣3或4
思路引领：根据多项式及降幂排列的定义可得m＞1，m+n＝4，即可求解m，n的值，再分别代入计算可求解．
解：由题意得：m＞1，m+n＝4，
∴m＝2，n＝2或m＝3，n＝1，
当m＝2，n＝2时，（﹣n）m＝（﹣2）2＝4；
当m＝3，n＝1时，（﹣n）m＝（﹣1）3＝﹣1．
故选：C．
解题秘籍：此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．
2．（2021秋•淅川县期中）关于多项式2x2y3−3x3y2−14y+6，下列说法正确的是（ ）
A．它是三次四项式
B．它是关于字母y的降幂排列
C．它的一次项是14y
D．2x2y3与﹣3x3y2的次数不同
思路引领：由于多项式3x2y3﹣3x3y2−14y+6共有4项：五次项3x2y3和﹣3x3y2，一次项−14y，常数项6且关于字母y降幂排列．根据前面的结论即可正确选择答案．
解：∵多项式3x2y3﹣2x3y2−14y+6共有4项：
分别是五次项3x2y3和﹣3x3y2，一次项−14y，常数项6，
且关于字母y降幂排列．
A：它是五次四项式，不是三次四项式；
B：它是关于字母y的降幂排列；
C：它的一次项应为−14y，不是14y；
D：3x2y3与﹣2x3y2次数都是五次．
故选：B．
解题秘籍：本题考查了同学们对多项式的项的系数和次数定义以及升降幂排列的掌握情况，掌握多项式的项的系数和次数是解题的关键．
3．（2022春•兰西县校级期末）下列各组两项中，是同类项的是（ ）
A．xy与﹣xy B．15ac与15abc
C．﹣3ab与﹣2xy D．3xy2与3x2y
思路引领：根据同类项的定义（所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的两个单项式）解决此题．
解：A．根据同类项的定义，xy与﹣xy是同类项，那么A符合题意．
B．根据同类项的定义，15ac与15abc不是同类项，那么B不符合题意．
C．根据同类项的定义，﹣3ab与﹣2xy不是同类项，那么C不符合题意．
D．根据同类项的定义，3xy2与3x2y不是同类项，那么D不符合题意．
故选：A．
解题秘籍：本题主要考查同类项，熟练掌握同类项的定义是解决本题的关键．
4．（2021秋•姚安县校级月考）下面是小玲同学做的合并同类项的题，正确的是（ ）
A．7a+a＝7a2 B．5y﹣3y＝2
C．3x2y﹣2x2y＝x2y D．3a+2b＝5ab
思路引领：根据合并同类项法则即可求出答案．
解：A、原式＝8a，故A不符合题意．
B、原式＝2y，故B不符合题意．
C、原式＝x2y，故C符合题意．
D、3a与2b不是同类项，故不能合并，故D不符合题意．
故选：C．
解题秘籍：本题考查合并同类，解题的关键是熟练运用合并同类项法则，本题属于基础题型．
5．（2022春•潍坊期末）若单项式20xm﹣ny14与25x3y3m−8n可以合并成一项，则mn的值是（ ）
A．12 B．2 C．−12 D．﹣2
思路引领：根据合并同类项的定义即可求出答案．
解：由题意可知：m﹣n＝3，3m﹣8n＝14，
∴m＝2，n＝﹣1，
∴mn=12．
故选：A．
解题秘籍：本题考查合并同类项，解题的关键是熟练运用同类项的定义，本题属于基础题型．
6．（2022•定西二模）已知3x2y+xmy＝4x2y，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
思路引领：根据同类项的定义及合并同类项法则，即可求出m的值．
解：∵3x2y+xmy＝4x2y，
∴3x2y与xmy是同类项，
∴m＝2，
故选：C．
解题秘籍：本题考查了合并同类项，掌握同类项的定义是解决问题的关键．
7．（2022春•六盘水期中）已知a为任意实数，有多项式M＝2x2+3ax+5，N＝x+4，且MN＝A，当多项式A中不含2次项时，a的值为（ ）
A．−83 B．﹣1 C．0 D．1
思路引领：先计算MN的结果，再根据多项式A中不含2次项可得方程，求解可得a的值．
解：A＝MN＝（2x2+3ax+5）（x+4）＝2x3+8x2+3ax2+12ax+5x+20＝2x3+（3a+8）x2+（12a+5）x+20，
∵多项式A中不含2次项，
∴3a+8＝0，
∴a=−83．
故选：A．
解题秘籍：此题考查的是合并同类项及多项式的乘法运算，掌握其运算法则是解决此题关键．
8．（2020春•南岗区校级期中）下列计算正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．3a2+2a3＝5a5
C．5x﹣3x＝2 D．5xy﹣4xy＝xy
思路引领：合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
解：A．3a与2b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．3a2与2a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．5x﹣3x＝2x，故本选项不合题意；
D．5xy﹣4xy＝xy，故本选项符合题意；
故选：D．
解题秘籍：本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．
9．（2021秋•射阳县校级期末）若3xm+5y2与23x8yn+4的差是一个单项式，则代数式nm的值为（ ）
A．﹣8 B．6 C．﹣6 D．8
思路引领：根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，求出m，n的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
解：由题意得：
m+5＝8，n+4＝2，
∴m＝3，n＝﹣2，
∴nm＝（﹣2）3＝﹣8，
故选：A．
解题秘籍：本题考查了合并同类项，代数式求值，单项式，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
10．将（m+2n），（m﹣n）分别看作一个整体；把代数式14（m+2n）2﹣5（m﹣n）−12（m+2n）2+3（m﹣n）中的同类项合并，并求m+2n＝﹣3，m﹣n=−12时，代数式的值．
思路引领：先合并，然后再整体代入即可求解；
解：14（m+2n）2﹣5（m﹣n）−12（m+2n）2+3（m﹣n）
＝（14−12）（m+2n）2+（﹣5+3）（m﹣n）
=−14（m+2n）2﹣2（m﹣n），
当m+2n＝﹣3，m﹣n=−12时，
原式=−14×9﹣2×（−12）=−54；
解题秘籍：考查了合并同类项及代数式求值的知识，正确的合并同类项是解答本题的关键，难度不大．
11．（2022•馆陶县三模）等号左右两边一定相等的一组是（ ）
A．﹣（a+b）＝﹣a+b B．a3＝a+a+a
C．﹣2（a+b）＝﹣2a﹣2b D．﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b
思路引领：根据去括号法则和合并同类项法则解答即可．
解：A、原式＝﹣a﹣b，原去括号错误，故此选项不符合题意；
B、a3＝a•a•a，a+a+a＝3a，原式左右两边不相等，故此选项不符合题意；
C、原式＝﹣2a﹣2b，原去括号正确，故此选项符合题意；
D、原式＝﹣a+b，原去括号错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
解题秘籍：本题考查了去括号法则和合并同类项法则．解题的关键是掌握去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．
12．（2021秋•云梦县校级期末）下列去括号正确的是（ ）
A．﹣（﹣x2）＝﹣x2 B．﹣x﹣（2x2﹣1）＝﹣x﹣2x2+1
C．﹣（2m﹣3n）＝﹣2m﹣3n D．3（2﹣3x）＝6﹣3x
思路引领：根据去括号法则解答．
解：A、﹣（﹣x2）＝x2，计算错误，不符合题意；
B、﹣x﹣（2x2﹣1）＝﹣x﹣2x2+1，计算正确，符合题意；
C、﹣（2m﹣3n）＝﹣2m+3n，计算错误，不符合题意；
D、3（2﹣3x）＝6﹣9x，计算错误，不符合题意．
故选：B．
解题秘籍：本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．
13．（2022•邯郸一模）“m与n差的3倍”用代数式可以表示成（ ）
A．3m﹣n B．m﹣3n C．3（n﹣m） D．3（m﹣n）
思路引领：要明确给出文字语言中的运算关系，先表示出m与n的差，再表示出差的3倍即可．
解：“m与n差的3倍”用代数式可以表示为：3（m﹣n）．
故选：D．
解题秘籍：此题主要考查了列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“差”、“平方”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．
14．（2022•南京模拟）下列各式中，不是代数式的是（ ）
A．﹣3 B．a2﹣2a C．2x+3＝0 D．ab2
思路引领：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．根据代数式的定义逐项判断即可．
解：A选项，﹣3是代数式，不符合题意；
B选项，a2﹣2a是代数式，不符合题意；
C选项，2x+3＝0是等式，不是代数式，符合题意；
D选项，ab2是代数式，不符合题意；
故选：C．
解题秘籍：此题主要考查了代数式的定义，正确把握代数式的定义是解题关键．
15．（2021秋•潍坊期末）下列各式符合代数式书写规范的是（ ）
A．18×b B．114x C．−ba2 D．m÷2n
思路引领：根据代数式的书写规则，数字与字母之间的乘号应省略，分数不能为带分数，不能出现除号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案．
解：A、正确书写格式为：18b，故此选项不符合题意；
B、正确书写格式为：54x，故此选项不符合题意；
C、是正确的书写格式，故此选项符合题意；
D、正确书写格式为：m2n，故此选项不符合题意．
故选：C．
解题秘籍：本题考查了代数式的书写规则，能够根据代数式书写的标准规则对各项进行分析，得出答案是解题的关键．
16．（2022•南京模拟）代数式1x，2x+y，13a2b，x−yπ，5y4x，0.5中整式的个数（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
思路引领：根据整式的定义（根据单项式和多项式统称为整式）解决此题．
解：∵1x不是整式，2x+y是多项式，13a2b是单项式，x−yπ是多项式，5y4x不是整式，0.5是单项式，
∴整式有2x+y，13a2b，x−yπ，0.5，共有4个．
故选：B．
解题秘籍：本题主要考查整式，熟练掌握整式的定义是解决本题的关键．
17．（2022•通州区校级开学）下列各式中，不是整式的是（ ）
A．3a B．12x C．0 D．x+y
思路引领：根据单项式与多项式统称为整式，根据整式及相关的定义解答即可．
解：A、3a是整式，不符合题意；
B、12x是分式，不是整式，符合题意；
C、0是整式，不符合题意；
D、x+y是整式，不符合题意；
故选：B．
解题秘籍：本题主要考查整式的相关的定义，解决此题的关键是熟记整式的相关定义．
18．（2022•冠县一模）下列整式中，是二次单项式的是（ ）
A．x2+1 B．xy C．x2y D．22x
思路引领：根据单项式以及单项式次数的意义，判断即可．
解：A、x2+1是多项式，故A不符合题意；
B、xy是二次单项式，故B符合题意；
C、x2y是三次单项式，故C不符合题意；
D、22x是一次单项式，故D不符合题意；
故选：B．
解题秘籍：本题考查了单项式，熟练掌握单项式以及单项式次数的意义是解题的关键．
19．（2021秋•滑县期末）已知﹣4x2yzm是关于x，y，z的5次单项式，m是常数，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
思路引领：根据已知得出2+1+m＝5，求出即可．
解：∵﹣4x2yzm是关于x，y，z的5次单项式，m是常数，
∴2+1+m＝5，
解得：m＝2，
故选：B．
解题秘籍：本题考查了单项式的次数，能根据单项式的次数定义得出关于m的方程是解此题的关键．
20．（2022•南京模拟）多项式12x6y2−2x3y4+3的次数和项数分别为（ ）
A．7，2 B．8，3 C．8，2 D．7，3
思路引领：根据多项式的项和次数进行作答即可．
解：多项式12x6y2−2x3y4+3共有3项，分别是：12x6y2，其次数为6+2＝8，﹣2x3y4，其次数为3+4＝7，3，其次数为0，
∴多项式12x6y2−2x3y4+3的次数为8；
故选：B．
解题秘籍：本题考查了多项式的项和次数，多项式中每个单项式都是多项式的项，有几个单项式就是几项式，多项式的次数是多项式中最高次项的次数，熟练掌握知识点是解题的关键．
21．（2022春•余姚市校级期末）如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为54，大长方形的周长为42，则一张小长方形的面积为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
思路引领：大长方形的长＝2x+y，大长方形的宽＝x+2y，根据阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣5个小长方形的面积，以及大长方形的周长等于42，列出含有x和y的等式，通过变形得出小长方形的面积，即xy的值，从而求出结果．
解：由题意知，大长方形的长＝2x+y，
大长方形的宽＝x+2y，
则大长方形的周长＝2[（2x+y）+（x+2y）]＝42，
化简得x+y＝7，
∵阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣5个小长方形的面积，
∴54＝（2x+y）（x+2y）﹣5xy，
化简得x2+y2＝27，
∵大长方形的周长＝2[（2x+y）+（x+2y）]＝42，
化简得x+y＝7，
∴（x+y）2＝72，
即x2+2xy+y2＝49，
把x2+y2＝27代入得，
27+2xy＝49，
解得xy＝11，
则一张小长方形的面积＝xy＝11．
故选：B．
解题秘籍：本题考查列代数式，通过观察图形特点并结合已知条件列出代数式，运用完全平方公式求解是解题的关键．
22．用不等式表示下列数量关系：
（1）a与1的和是正数 ；
（2）a的12和b的13的差是负数 ；
（3）a与b的两数和的平方不大于9 ；
（4）a的32倍与b的和的平方是非负数 ．
思路引领：（1）首先表示a与1的和为a+1，再表示是正数可得a+1＞0；
（2）首先表示a的12和b的13的差为12a−13b，再表示“是负数”为12a−13b＜0；
（3）首先表示a与b的两数和的平方为（a+b）2，再表示“不大于9”即可；
（4）首先表示a的32倍与b的和的平方为（32a+b）2，再表示“是非负数”即可．
解：（1）a+1＞0；
（2）12a−13b＜0；
（3）（a+b）2≤9；
（4）（32a+b）2≥0．
解题秘籍：此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
23．（2022春•电白区月考）单项式(−xy2)34的系数是 ，次数是 ．
思路引领：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
解：∵(−xy2)34=−x3y64，
∴单项式(−xy2)34的系数、次数分别为−14，9，
故答案为：−14，9．
解题秘籍：本题考查单项式，解题的关键是正确理解单项式的概念，本题属于基础题型．
24．（2021秋•射阳县校级期末）单项式﹣2πa2bc的次数为 ．
思路引领：根据单项式的次数的概念解答即可．
解：单项式﹣2πa2bc的次数为：2+1+1＝4，
故答案为：4．
解题秘籍：本题考查的是单项式的次数的概念，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
25．（2021秋•碑林区校级期末）单项式−3ab28的系数为m，次数为n，则8mn的值为 ．
思路引领：直接利用单项式的次数与系数的定义分析得出m、n的中，代入计算即可．
解：单项式−3ab28的系数为m=−38，次数为n＝3，
则8mn＝8×（−38）×3＝﹣9．
故答案为：﹣9．
解题秘籍：此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数的确定方法是解题关键．
26．（2021秋•江都区期末）若x|m|﹣1+（3+m）x﹣5是关于x的二次二项式，那么m的值为 ．
思路引领：根据题意可得：|m|﹣1＝2且3+m＝0，再解即可．
解：由题意得：|m|﹣1＝2且3+m＝0，
解得：m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
解题秘籍：此题主要考查了多项式，关键是掌握多项式定义，关键是掌握如果一个多项式含有a个单项式，最高次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
27．（2021秋•龙江县期末）若多项式ab|m﹣n|+（n﹣1）a3b3+1是关于a，b的五次多项式，则m＝ ．
思路引领：根据多项式的次数定义，列出方程即可解决问题．
解：根据题意得|m﹣n|＝4，n﹣1＝0，
解得m＝5或﹣3，或n＝1．
所以m的值是5或﹣3．
故答案为：5或﹣3．
解题秘籍：本题考查了多项式和绝对值．解题的关键是掌握多项式的项数和次数的定义．
28．（2021秋•常宁市期末）若多项式x7y2﹣3xm+2y3+x3y4是按字母x降幂排列的，则m的值是 ．
思路引领：根据多项式的降幂排列得出不等式组7＞m+2＞3或m+2＝7或m+2＝3，再求出整数m即可．
解：∵多项式x7y2﹣3xm+2y3+x3y4是按字母x降幂排列的，
∴7＞m+2＞3或m+2＝7或m+2＝3，
∴5＞m＞1或m＝5或m＝1，
∴m为5或4或3或2或1，
故答案为：5或4或3或2或1．
解题秘籍：本题考查了多项式的降幂排列和解一元一次不等式组，能根据题意得出关于m的不等式组或方程是解此题的关键．
29．（2020秋•恩施市期中）小明在抄写单项式时把字母中有的指数漏掉了，抄成−45xyz，他只知道这个单项式是四次单项式，你能帮他写出这个单项式吗？这样的单项式有几个，不妨都写出来．
思路引领：利用单项式的定义求解即可．
解：∵这个单项式是四次单项式，
∴这个单项式可能是−45x2yz，−45xy2z，−45xyz2．
解题秘籍：本题主要考查了单项式，解题的关键是熟记单项式的定义．
30．（2021秋•越城区期中）关于x的多项式﹣5x2﹣（2m﹣1）x2+（2﹣3n）x﹣1中不含二次项和一次项时，求m、n的值．
思路引领：利用多项式的定义得出二次项与一次项系数为0，进而求出即可．
解：∵关于x的多项式﹣5x2﹣（2m﹣1）x2+（2﹣3n）x﹣1中不含二次项和一次项，
∴﹣5﹣（2m﹣1）＝0，2﹣3n＝0，
解得：m＝﹣2，n=23．
解题秘籍：此题主要考查了多项式的定义，得出各项系数之间关系是解题关键．
31．（2021秋•嵩县期中）观察下列一系列单项式的特点：
12x2y，−14x2y2，18x2y3，−116x2y4，…
（1）写出第8个单项式；
（2）猜想第n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数．
思路引领：（1）根据观察，可发现规律：系数是（﹣1）n+1×（12）n，字母部分是x2yn，可得答案；
（2）根据观察，可发现规律：系数是（﹣1）n+1×（12）n，字母部分是x2yn，可得答案．
解：由观察下列单项式：12x2y，−14x2y2，18x2y3，−116x2y4，…，得
系数是（﹣1）n+1×（12）n，字母部分是x2yn，
第8个单项式﹣（12）8x2y8；
（2）由观察下列单项式：12x2y，−14x2y2，18x2y3，−116x2y4，…，得
第n个单项式是（﹣1）n+1×（12）nx2yn，系数是（﹣1）n+1×（12）n，字母部分是x2yn，次数n+2．
解题秘籍：本题考查了单项式，观察发现规律系数是（﹣1）n+1×（12）n，字母部分是x2yn是解题关键．
32．（2021秋•蓬江区校级月考）已知|a|＝﹣a，试确定六次单项式 1ax5y|a|中a的取值，并在上述条件下求a2003﹣a2002+1的值．
思路引领：根据绝对值的意义，可得a的取值范围，根据单项式的次数是字母指数和，可得a的值，根据负数奇数次幂是负数，负数偶数次幂是正数，可得答案．
解：由|a|＝﹣a，得
a＜0，
六次单项式 1ax5y|a|，得
5﹣a＝6，
解得a＝﹣1，
a2003﹣a2002+1＝﹣1﹣1+1＝﹣1．
解题秘籍：本题考查了单项式，利用单项式的次数得出方程是解题关键．
33．（2021秋•利津县期中）已知（m+3）x3y|m+1|是关于x，y的七次单项式，求m2﹣3m+1的值．
思路引领：直接利用单项式的系数和次数确定方法分析得出答案．
解：∵（m+3）x3y|m+1|是关于x，y的七次单项式，
∴3+|m+1|＝7且m+3≠0，
解得：m＝3，或m＝﹣5，
∴m2﹣3m+1＝9﹣9+1＝1，
或m2﹣3m+1＝25+15+1＝41．
故m2﹣3m+1的值是1或41．
解题秘籍：此题主要考查了单项式，正确把握单项式的系数和次数确定方法是解题关键．
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