数学选择性必修 第一册1.2 等差数列第2课时同步达标检测题

第2课时　等差数列的前n项和的性质

A级必备知识基础练

1.(2022江苏镇江高二期中)已知等差数列{an}的前11项和S11=88,则a2+a10=(　　)

A.16 B.17 C.18 D.19

2.(2022天津滨海新区高二期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=10,公差d=-,则Sn取得最大值时n的值为(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

3.等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=12,S10=48,则S15=(　　)

A.84 B.108 C.144 D.156

4.(2022河南创新发展联盟高二联考)记等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,若,则=(　　)

A. B. C. D.

5.(多选题)(2022江苏南京金陵中学高二期末)已知等差数列{an}是递增数列,其前n项和为Sn,且满足a7=3a5,则下列结论正确的是(　　)

A.d>0

B.a1<0

C.当n=5时,Sn最小

D.当Sn>0时,n的最小值为8

6.(多选题)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,下列选项可能是{Sn}的图象的是(　　)

7.在等差数列{an}中,a1>0,a10a11<0,若此数列的前10项和S10=36,前18项和S18=12,则数列{|an|}的前18项和T18=　　　　　. 

8.若等差数列{an}的首项为a1=2 022,试写出一个使该数列的前n项和有最大值的数列的通项公式,该通项公式为　　　　　. 

9.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列的前n项和,求Tn.

B级关键能力提升练

10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=S10,S6=Sk,则k的值是(　　)

A.6 B.7

C.8 D.9

11.(2022河南南阳高二期中)已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=2 024,且=3,则S2 021=(　　)

A.1×2 0212

B.2×2 0212

C.3×2 0212

D.4×2 0212

12.(2022河南洛阳高二期中)已知等差数列{an}是递减数列,且满足|a1|=|a9|,则数列{an}的前n项和最大时,n=(　　)

A.4或5 B.5或6

C.7 D.8

13.(多选题)(2022江苏常州高二期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,已知a3=12,S12>0,S13<0,则下列结论正确的有(　　)

A.a6+a7<0

B.a7<0

C.d可以取负整数

D.对任意n∈N+,有Sn≤S6

14.(多选题)(2022山东济宁高二期末)已知等差数列{an}是递减数列,且前n项和为Sn,若S7=S11,则(　　)

A.a10>0

B.当n=9时,Sn最大

C.S17>0

D.S19>0

15.设数列{an}的前n项和为Sn,如果a1=-5,an+1=an+2,n∈N+,那么S1,S2,S3,S4中最小的为　　　　　. 

16.在等差数列{an}中,奇数项之和为44,偶数项之和为33,若此数列的项数为奇数,则这个数列的中间项是第　　　　　项;若此数列的项数为偶数,且公差为-,则此数列的项数为　　　　　. 

17.(2022江苏南京外国语学校高二期末)设Sn是等差数列{an}的前n项和,a3=7,　　　　　.从①S6=51,②an=an-1-3,③S5=a3a5中任选一个,补充在问题中并作答. 

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{an}的前n项和Sn的最值.

C级学科素养创新练

18.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn=33n-n2,则下列说法正确的是(　　)

A.an=34-2n

B.S16为Sn的最小值

C.|a1|+|a2|+…+|a16|=272

D.|a1|+|a2|+…+|a30|=450

参考答案

第2课时　等差数列的前n项和的性质

1.A　由等差数列{an}的性质可得a1+a11=a2+a10.

由于前11项和S11=88=,因此a1+a11=16,则a2+a10=16.故选A.

2.A　∵a1=10,d=-,

∴Sn=10n+×-=-n2+n.

∵函数y=-x2+x的图象的对称轴为直线x=,且图象开口向下,

∴当n=3时,Sn取得最大值.故选A.

3.B　由等差数列前n项和的性质可知S5,S10-S5,S15-S10成等差数列.

由等差中项性质可知2(S10-S5)=S5+(S15-S10),解得S15=108,故选B.

4.C　由{an},{bn}均为等差数列,得.故选C.

5.ABD　设等差数列{an}的公差为d,因为{an}是递增数列,

所以d>0.

因为a7=3a5,所以a5+2d=3a5,所以d=a5,

所以a1=a5-4d=-3d<0,故A,B正确;

又因为a4=a5-d=d-d=0,所以S3=S4,且为Sn的最小值,故C错误;

又因为S8==4(a4+a5)=4a5=4d>0,S7==7a4=0,故D正确.

故选ABD.

6.ABC　因为Sn是等差数列{an}的前n项和,所以Sn=an2+bn(a,b为常数,n∈N+),则其对应函数y=ax2+bx,当x∈N+时的函数值,函数的图象是过原点的一条曲线.

当a=0时,该曲线是过原点的直线,如选项C;

当a≠0时,该曲线是过原点的抛物线,如选项A,B;

选项D中的曲线不过原点,不符合题意.故选ABC.

7.60　由a1>0,a10a11<0,知d<0,且a10>0,a11<0,

所以T18=a1+a2+…+a10-a11-a12-…-a18=2S10-S18=60.

8.an=2 023-n(答案不唯一)

9.解设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则Sn=na1+n(n-1)d.

因为S7=7,S15=75,

所以解得

所以Sn=,所以n-,

所以数列是等差数列,其首项为-2,公差为.

所以Tn=-2n+n2-n.

10.B　由题意可得{an}的公差d≠0.

∵等差数列的前n项和Sn=n2+a1-n可看作二次函数y=x2+a1-x当x∈N+时的函数值,且S3=S10,

∴二次函数的图象的对称轴为直线x=.

又S6=Sk,∴,解得k=7.

11.D　因为数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,a1=2024,=3,

所以数列是以=2024为首项,3为公差的等差数列,

所以+2020×3=2024+2020×3=4×2021,所以S2021=4×20212.故选D.

12.A　∵等差数列{an}是递减数列,且满足|a1|=|a9|,

∴a1+8d=-a1,∴a1=-4d>0.

∴an=a1+(n-1)d=(n-5)d.

令an≥0,得n≥5.

∴数列{an}的前n项和最大时,n=4或n=5.故选A.

13.BD　因为S12=12a1+·d>0,S13=13a1+·d<0,

所以2a1+11d>0,a1+6d<0,即a6+a7>0,a7<0,

所以a6>0,所以d<0,

所以对任意n∈N+,有Sn≤S6.

由a3=12得a1=12-2d,联立2a1+11d>0,a1+6d<0,解得-<d<-3,故d不能取负整数.故选BD.

14.BC　由S7=S11,得S11-S7=a8+a9+a10+a11=2(a9+a10)=0,则a9+a10=10.

又因为{an}是递减数列,所以a9>0,a10<0,故A错误,B正确;

S17==17a9>0,故C正确;

S19==19a10<0,故D错误.故选BC.

15.S3　∵数列{an}的前n项和为Sn,a1=-5,an+1=an+2,n∈N+,

∴数列{an}是首项为-5,公差为2的等差数列.

∴a1=-5,a2=-3,a3=-1,a4=1.

∴S1=-5,S2=-8,S3=-9,S4=-8.

∴S1,S2,S3,S4中最小的为S3.

16.4　44　若此数列的项数为奇数,设项数为2n-1,则奇数项之和S1=a1+a3+…+a2n-1==nan,

偶数项之和S2=a2+a4+a6+…+a2n-2==(n-1)an,所以,解得n=4,所以第4项是此数列的中间项.

若此数列的项数为偶数,设项数为2n,则S1-S2=nd,

所以-11=-n,所以n=22,故此数列的项数为44.

17.解若选①:

(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意可得解得所以an=3n-2.

(2)由(1)可知,an=3n-2,所以数列{an}是递增数列,故Sn的最小值为S1=1,无最大值.

若选②:

(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意可得d=an-an-1=-3,因为a3=a1+(3-1)×(-3)=7,解得a1=13,所以an=-3n+16.

(2)由(1)可得an=-3n+16,

令解得≤n≤,又n∈N+,所以n=5,故Sn的最大值为S5==35,无最小值.

若选③:

(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意可得S5==5a3=a3a5,解得a5=5,

所以d==-1,

所以an=a3+(n-3)d=-n+10.

(2)由(1)可知an=-n+10,令an=0,解得n=10,

故Sn的最大值为S9=S10==45,无最小值.

18.AC　数列{an}的前n项和为Sn=33n-n2.

当n=1时,a1=32,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=33n-n2-33(n-1)+(n-1)2=-2n+34,

当n=1时,a1=32也适合上式,则an=34-2n,故A正确;

Sn=33n-n2=-n-2+,则当n=16或17时,Sn取得最大值,故B错误;

由an=-2n+34≥0,解得n≤17,则|a1|+|a2|+…+|a16|=a1+a2+a3+…+a16==272,故C正确;

|a1|+|a2|+…+|a30|=a1+…+a16-(a17+a18+…+a30)=272-=454,故D错误.故选AC.