人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第2课时同步训练题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第2课时同步训练题，共7页。

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用
课后篇巩固提升
　　　　　　　　　　　　　　　　　
必备知识基础练
1.在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,a1=-11,S1010−S88=2,则S11=(　　)
A.-11 B.11
C.10 D.-10
答案A
解析∵{an}为等差数列,∴Snn为等差数列,首项S11=a1=-11,设Snn的公差为d,则S1010−S88=2d=2,
∴d=1,
∴S1111=-11+10d=-1,∴S11=-11.

2.(2021天津滨海高二期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=10,公差d=-72,则Sn取得最大值时n的值为(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
答案A
解析∵a1=10,d=-72,∴Sn=10n+n(n-1)2×-72=-74n2+474n.
∵n∈N*,抛物线y=-74x2+474x的对称轴为直线x=4714,且开口向下,∴当n=3时,Sn取得最大值为392.故选A.
3.在等差数列{an}中,前m项(m为偶数)和为77,其中偶数项之和为44,且am-a1=18,则数列{an}的公差为(　　)
A.-4 B.4
C.6 D.-6
答案B
解析设数列{an}公差为d,由题意得等差数列{an}前m项中,奇数项之和为33,偶数项之和与奇数项之和的差为11,所以m2d=11,即md=22.
又am-a1=(m-1)d=18,所以d=md-18=22-18=4.
4.若Sn表示等差数列{an}的前n项和,S5S10=13,则S10S20=(　　)
A.19 B.18
C.310 D.13
答案C
解析由题意,得S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15成等差数列.∵S5S10=13,∴S10=3S5,
∴S15=6S5,S20=10S5,∴S10S20=310.
5.(多选)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,下列选项正确的有(　　)
A.a10=0 B.S7=S12
C.S10最小 D.S20=0
答案AB
解析因为{an}是等差数列,设公差为d,由a1+5a3=S8,可得a1+9d=0,即a10=0,即选项A正确,
又S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,即选项B正确,
当d>0时,则S9或S10最小,当d<0时,则S9或S10最大,即选项C错误,
又因为S19=19a10=0,a20≠0,所以S20≠0,即选项D错误.故选AB.
6.已知等差数列{an},Sn为其前n项和,S3=9,a4+a5+a6=7,则S9-S6=　　　　　. 
答案5
解析∵S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,而S3=9,S6-S3=a4+a5+a6=7,∴S9-S6=5.
7.已知等差数列{an},|a5|=|a9|,公差d>0,则使得其前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是　　　　. 
答案6或7
解析由|a5|=|a9|,且d>0,得a5<0,a9>0,且a5+a9=0,所以a7=a5+a92=0,故S6=S7,且为最小值.
8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a1>0,n∈N*,若S12>0,S13<0,则数列{|an|}的最小项是　　　　　. 
答案a7
解析设等差数列{an}的公差为d.
∵a1>0,n∈N*,S12>0,S13<0,
∴6(a6+a7)>0,13a7<0.
∴a7<0,a6>-a7>0,且a6+a8=2a7<0,即a6<-a8.
∴-a7 9.在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和.
解等差数列{an}的公差d=a17-a117-1=-12-(-60)16=3,
故an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.
由an<0,得3n-63<0,即n<21.
故数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.
设Sn,S'n分别表示数列{an},{|an|}的前n项和,
当n≤20时,S'n=-Sn
=--60n+n(n-1)2×3=-32n2+1232n;
当n≥21时,S'n=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20=-60n+n(n-1)2×3-2×-60×20+20×192×3
=32n2-1232n+1 260.故数列{|an|}的前n项和为S'n=-32n2+1232n,n≤20,32n2-1232n+1 260,n≥21.
10.设Sn是等差数列{an}的前n项和,a3=7,　　　　. 
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最值.
从①S6=51;②an=an-1-3;③S5=a3a5中任选一个,补充在上面的问题中并作答.
解选①:(1)设等差数列{an}的公差为d,由题设知a1+2d=7,6a1+6×5d2=51,解得a1=1,d=3,
∴an=1+3(n-1)=3n-2.
(2)由(1)知an=3n-2,数列{an}是递增数列,∴当n=1时,Sn有最小值S1=1,Sn无最大值.
选②:(1)设等差数列{an}的公差为d,由题设知d=an-an-1=-3,
∵a3=a1+2×(-3)=7,∴a1=13,
∴an=13-3(n-1)=16-3n.
(2)由(1)知an=16-3n,数列{an}是递减数列,
令an>0,得n<163,故当n=5时,Sn有最大值S5=5×(13+1)2=35,Sn无最小值.
选③:(1)设等差数列{an}的公差为d,由a3=7,S5=5a3=a3a5,得a5=5,
∴d=a5-a35-3=-1.
∴an=a3+(n-3)d=10-n.
(2)由(1)知an=10-n,数列{an}是递减数列,令an=0,得n=10.故当n=9或n=10时,Sn有最大值S9=S10=45,Sn无最小值.
关键能力提升练
11.(2021河南驻马店高二期中)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S8=2 020,则a3+4a4+a8=(　　)
A.2 020 B.1 525
C.1 515 D.2 015
答案C
解析∵S8=82(a1+a8)=4(a1+a8)=2 020,∴a1+a8=505,∴a3+4a4+a8=3(a1+a8)=3×505=1 515.
12.(2021新疆乌鲁木齐高三三模)在等差数列{an}中,a3=16,a7=8,Sn是数列{an}的前n项和,则满足数列Snn的前n项和最大的n的值为(　　)
A.20 B.21
C.20或21 D.21或22
答案C
解析设等差数列{an}的公差为d,因为{an}是等差数列,所以Snn也是等差数列,公差为d2,由a3=16,a7=8,可得d=a7-a37-3=8-164=-2,则a1=a3-2d=20,所以S11=a1=20,d2=-1,
所以Snn=20-(n-1)=21-n.
可得当n<21,n∈N*时,Snn>0;当n=21时,Snn=0;当n>21,n∈N*时,Snn<0,
所以当n=20或n=21时,数列Snn的前n项和取得最大值.故选C.
13.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,nSn+1>(n+1)Sn(n∈N*),且a8a7<-1,则在Sn中(　　)
A.最小值是S7 B.最小值是S8
C.最大值是S8 D.最大值是S7
答案A
解析由nSn+1>(n+1)Sn,得Sn+1n+1>Snn,即Sn+1n+1−Snn>0.而Sn+1n+1−Snn=d2,所以d>0.因为a8a7<-1,所以a7+a8a7<0,即a7(a7+a8)<0.由于d>0,因此数列{an}是递增数列,所以a7<0,a7+a8>0,所以a7<0,a8>0,所以在Sn中最小值是S7.
14.(多选)(2021广东中山高二期末)设{an}是等差数列,公差为d,Sn是其前n项的和,且S5S8,则下列结论正确的是(　　)
A.d<0
B.S6与S7是Sn的最大值
C.S9>S5
D.a7=0
答案ABD
解析由S50,
由S6=S7,得S7-S6=a7=0,由S7>S8,得a8<0,∴d=a7-a6<0,故A,D正确;
而C选项S9>S5,即a6+a7+a8+a9>0,可得2(a7+a8)>0,由结论a7=0,a8<0,显然C错误;∵S5S8,∴S6与S7均为Sn的最大值,故B正确.故选ABD.
15.(多选)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且AnBn=7n+45n+3,则使得anbn为整数的正整数n可以是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.6
答案ABC
解析anbn=2an2bn=a1+a2n-1b1+b2n-1=2n-12(a1+a2n-1)2n-12(b1+b2n-1)=A2n-1B2n-1=7(2n-1)+45(2n-1)+3=7n+19n+1=7+12n+1.
当n=1,2,3,5,11时,12n+1为整数,即当n=1,2,3,5,11时,anbn为整数.故选ABC.
16.已知数列{an}的前n项和是Sn=(n+2)2+k.当k=　　　　　　时,{an}是公差d=　　　　　　的等差数列. 
答案-4　2
解析Sn=na1+n(n-1)2d=d2n2+a1-d2n,
要使得Sn=(n+2)2+k=n2+4n+4+k为等差数列,
则满足4+k=0,即k=-4,故Sn=n2+4n,
所以a1=S1=5,a2=S2-S1=7,所以公差d=a2-a1=2.
17.设数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,已知a4和a5是方程x2-20x+99=0的两个根,若对任意n∈N*都有Sn≤Sk成立,则k的值为　　　　　. 
答案9
解析∵a4和a5是方程x2-20x+99=0的两个根,
∴a4+a5=20,a4a5=99.
∵对任意n∈N*都有Sn≤Sk成立,即Sk是和的最大值,从而d<0,∴a4=11,a5=9,d=-2,an=a4+(n-4)×(-2)=19-2n,
当n≤9时,an>0,当n>9时,an<0,
若对任意n∈N*都有Sn≤Sk成立,则k=9.
18.在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,且S2 011=S2 014,Sk=S2 009,则正整数k为　　　　. 
答案2 016
解析因为等差数列{an}的前n项和Sn可看成是关于n的二次函数,所以由二次函数图象的对称性及S2 011=S2 014,Sk=S2 009,可得2 011+2 0142=2 009+k2,解得k=2 016.
19.设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意n∈N*,Sn是an2和an的等差中项.
(1)证明:数列{an}为等差数列,并求an;
(2)若bn=-n+5,求{anbn}的最大值,并求出取最大值时n的值.
(1)证明由已知,得2Sn=an2+an,且an>0.
当n=1时,2a1=a12+a1,解得a1=1.
当n≥2时,2Sn-1=an-12+an-1.
所以2Sn-2Sn-1=an2−an-12+an-an-1,即2an=an2−an-12+an-an-1,即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1.
因为an+an-1>0,所以an-an-1=1(n≥2).
故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,且an=n.
(2)解由(1)可知an=n.设cn=anbn,
则cn=n(-n+5)=-n2+5n=-n-522+254.
因为n∈N*,
所以当n=2或n=3时,{cn}的最大项为6.
故{anbn}的最大值为6,此时n=2或n=3.
20.(2021江苏海安高三期末)设数列{an}的前n项和为Sn,写出一个同时满足条件①②的等差数列{an}的通项公式.
①Sn存在最小值且最小值不等于a1;
②不存在正整数k,使得Sk>Sk+1且Sk+1 解因为等差数列{an}的前n项和为Sn=na1+n(n-1)d2=d2n2+a1-d2n,
其对应函数的图象为一抛物线,对称轴为d2-a1d,
若Sn存在最小值且最小值不等于a1,
则d2-a1d>32,且d>0,整理得a1<-d.
又因为不存在正整数k,使得Sk>Sk+1且Sk+1 则连续两项取得最小值,令Sk=Sk+1,k>1,
所以ak+1=a1+kd=0,所以k=-a1d>1.
令k=2,a1=-2d,则有an=(n-3)d,令d=2,则an=2n-6为一个符合题意的通项公式.
故答案为an=2n-6(不唯一).
学科素养创新练
21.(2021江苏苏州高二期中)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知数列{an}满足nan+1-(n+1)an=1(n∈N*),且a1=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求使数列{4Sn+4n+λ}为等差数列的实数λ的值.
解(1)nan+1-(n+1)an=1,两边同时除以n(n+1)得an+1n+1−ann=1n−1n+1,
从而有ann−an-1n-1=1n-1−1n,…,a22−a11=1-12.
累加可得ann−a11=1-1n,因为a1=1,所以an=2n-1.
(2)由(1)得an+1-an=2,所以{an}是首项为1,公差为2的等差数列,
所以Sn=n+n(n-1)2×2=n2,
假设4S1+4+λ,4S2+8+λ,4S3+12+λ成等差数列,
所以24S2+8+λ=4S1+4+λ+4S3+12+λ,
解得λ=1.
检验当λ=1时,4Sn+4n+λ=2n+1,4Sn+1+4(n+1)+λ=2n+3,
4Sn+1+4(n+1)+λ−4Sn+4n+λ=2,
所以当λ=1时,{4Sn+4n+λ}为等差数列.