数学八年级上册15.3 分式方程练习题

15.3分式方程人教版初中数学八年级上册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 分式方程的解为(    )

A.  B.  C.  D. 无解

2. 某厂计划加工万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产万个口罩，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

3. 绿水青山就是金山银山某工程队承接了万平方米的荒山绿化工程，由于情况有变设原计划每天绿化的面积为万平方米，列方程为，根据方程可知省略的部分是(    )

A. 实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前天完成了这一任务
B. 实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果延误天完成了这一任务
C. 实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果延误天完成了这一任务
D. 实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果提前天完成了这一任务

4. 若关于的一元一次不等式组的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之积是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 随着网络技术的发展，市场对产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产万件产品，现在生产万件产品所需时间与更新技术前生产万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产万件产品，依题意得(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知关于的分式方程的解为非负数，则正整数的所有个数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等。设江水的流速为，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8. 八年级学生去距学校的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为，则可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 关于的分式方程无解，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 某学校为绿化环境，计划种植棵树，实际劳动中每小时植树的数量比原计划多，结果提前小时完成任务，设原计划每小时植树棵，则列出的方程为(    )

A.  B.
C.  D.

12. 用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 若关于的分式方程有增根，则实数的值是______．
14. 若关于的分式方程的解为，则的值为______．
15. 若分式方程有增根，则          ．
16. 定义：，则方程的解为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 第代移动通信技术简称，某地已开通业务，经测试下载速度是下载速度的倍，小明和小强分别用与下载一部兆的公益片，小明比小强所用的时间快秒，求该地与的下载速度分别是每秒多少兆？
18. 某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多平方米．建类摊位每平方米的费用为元，建类摊位每平方米的费用为元．用平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的．
    求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？
    该社区拟建，两类摊位共个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的倍．求建造这个摊位的最大费用．
19. 端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用元购进、两种粽子个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同．已知种粽子的单价是种粽子单价的倍．
    求、两种粽子的单价各是多少？
    若计划用不超过元的资金再次购进、两种粽子共个，已知、两种粽子的进价不变．求种粽子最多能购进多少个？
20. 当取何值时，分式方程有解？
21. 京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做天，剩下的工程再由甲、乙两队合作天完成．
    求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
    已知甲队每天的施工费用为万元，乙队每天的施工费用为万元．工程预算的施工费用为万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．
22. 冰墩墩是年北京冬奥会的吉祥物，其敦厚、可爱的形象深入人心，制作的奥运纪念品很受大家喜爱已知型号的冰墩墩手办比型号的冰墩墩钥匙扣的单价多元，用元购买型号手办的数量是用元购买型号钥匙扣数量的倍．
     

求，两种型号纪念品的单价分别是多少元

若计划购买，两种型号的纪念品共个，且所花费用不超过元，求最多能购买多少个型号的纪念品

23. 某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了，行驶时间缩短了，求汽车原来的平均速度．
24. 某工厂急需生产一批健身器械共台，送往销售点出售当生产台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的倍，一共用天刚好完成任务．
    原来每天生产健身器械多少台？
    运输公司大货车数量不足辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输已知每辆大货车一次可以运输健身器械台，每辆车需要费用元；每辆小货车一次可以运输健身器械台，每辆车需要费用元在运输总费用不多于元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？
25. 在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，这样吨水可多用天，求现在每天用水量是多少吨？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为这个条件．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】
解：去分母得：，
解得：，
经检验是增根，分式方程无解．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：原计划每周生产万个口罩，一周后以原来速度的倍生产，
一周后每周生产万个口罩，
依题意，得：．
故选：．
由原计划每周生产的口罩只数结合一周后提高的速度，可得出一周后每周生产万个口罩，根据工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前一周完成任务第一周按原工作效率，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：设原计划每天绿化的面积为万平方米，则为提高工作效率后的工作效率，为原工作时间，为提高工作效率后所需工作时间，
所列方程为，
提高工作效率后比原计划提前天完成这一任务．
省略的部分是：实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前天完成了这一任务．
故选：．
设原计划每天绿化的面积为万平方米，则为提高工作效率后的工作效率，为原工作时间，为提高工作效率后所需工作时间，结合所列方程，即可得出省略部分的内容．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据所列分式方程，找出缺失的条件是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：不等式组整理得：，
由解集为，得到，
分式方程去分母得：，
即，
解得：，
由为正整数解，且得到，，
，
故选．
不等式组整理后，根据已知解集确定出的范围，分式方程去分母转化为整数方程，由分式方程有正整数解，确定出的值即可．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设更新技术前每天生产万件产品，则更新技术后每天生产万件产品，根据工作时间工作总量工作效率结合现在生产万件产品所需时间与更新技术前生产万件产品所需时间相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【解答】
解：设更新技术前每天生产万件产品，则更新技术后每天生产万件产品，
依题意，得：．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了分式方程的解和解分式方程，解一元一次不等式．解分式方程一定要考虑产生增根的情形．
解分式方程得到方程的解为，令，解这个一元一次不等式取正整数解，最后去掉使方程产生增根的的值即可得出结论．
【解答】
解：．
去分母得：．
．
是原方程的增根，
．
．
关于的分式方程的解为非负数，
．
解得：．
正整数的所有值为：，，，，共个．
故选B．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
根据题意可得顺水速度为，逆水速度为，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行所用时间与以最大航速逆流航行所用时间相等，据此列出方程即可。
【解答】
解：设江水的流速为，则顺水速度为，逆水速度为。
根据题意，得 
故选D。  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
设骑车学生的速度为，则乘车学生的速度为，根据时间路程速度结合骑车的学生比乘车的学生多用即，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【解答】
解：设骑车学生的速度为，则乘车学生的速度为，
依题意，得：．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：原方程化为：，
，
原方程无解，
，
，
．
故选：．
先去分母，转化为整式方程，再求．
本题考查分式方程的解，理解分式方程无解的含义是求解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
由得：，
原不等式组的解集是：，
，
．
，
．
，
当时，方程无解，不合题意，
，
，
是正整数，
，，，
，，，
，
，
或，
符合条件的所有整数的和为：．
故选：．
先根据不等式组的解求的范围，再根据分式方程的解求．
本题考查分式方程和一元依次不等式组的解，根据不等式组的解求出的范围，根据分式方程的解求出的值是求解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设原计划每小时植树棵，
依题意得：，
故选B．
设原计划每小时植树棵，则实际劳动中每小时植树的数量是棵，根据“结果提前小时完成任务”列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是设出未知数，找出合适的等量关系列方程．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是，设，换元后整理即可求得．
【解答】

解：把代入方程，得：．

方程两边同乘以得：．

故选：．

13.【答案】 

【解析】解：去分母，得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程可得：，
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出的值，代入整式方程求出的值即可．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查分式方程的解，将解代入方程得到的方程是求解本题的关键．
将代入方程即可．
【解答】
解：关于的分式方程的解为，
，
，
，
检验：当时，，符合题意．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查分式方程的增根分式方程的增根一定是分式方程转化成的整式方程的根，也是使最简公分母为的根根据分式方程的增根的概念解答即可．
【解答】
解：变为
，
去分母得

因为方程由增根，则增根必使最简公分母，
所以增根为，
把代入得

，
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解分式方程和新定义的理解，熟练掌握解分式方程的步骤是关键．
根据新定义列分式方程可得结论．
【解答】
解：由，
可得，
化简得，
解得，
经检验：是原方程的解，
故答案为：．  

17.【答案】解：设该地的下载速度是每秒兆，则该地的下载速度是每秒兆，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：该地的下载速度是每秒兆，则该地的下载速度是每秒兆． 

【解析】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．
首先设该地的下载速度是每秒兆，则该地的下载速度是每秒兆，根据题意可得等量关系：下载兆所用时间下载兆所用时间秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．
 

18.【答案】解：设每个类摊位的占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
所以，
答：每个类摊位占地面积为平方米，每个类摊位的占地面积为平方米；

设建摊位个，则建摊位个，
由题意得：，
解得，
建类摊位每平方米的费用为元，建类摊位每平方米的费用为元，
要想使建造这个摊位有最大费用，所以要多建造类摊位，即取最大值时，费用最大，
此时最大费用为：元，
答：建造这个摊位的最大费用是元． 

【解析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系．
设每个类摊位的占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米，根据用平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的这个等量关系列出方程即可．
设建摊位个，则建摊位个，结合“类摊位的数量不少于类摊位数量的倍”列出不等式并解答．
 

19.【答案】解：设种粽子单价为元个，则种粽子单价为元个，两种粽子各自的总价为元
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：种粽子单价为元个，种粽子单价为元个．
设购进种粽子个，则购进种粽子个，
依题意，得：，
解得：．
答：种粽子最多能购进个． 

【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
设种粽子单价为元个，则种粽子单价为元个，根据数量总价单价结合用元购进、两种粽子个，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购进种粽子个，则购进种粽子个，根据总价单价数量结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
 

20.【答案】解：

方程两边都乘以得，
，

整理得：，
如果分式方程有增根，
则，
解得或，
时，，则；
时，，则，
所以，分式方程有解，
则且．

【解析】本题考查了分式方程的有解得情况，可按如下步骤进行：让最简公分母为确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．方程两边都乘以最简公分母把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母为的未知数的值，列式求出的值，然后代入进行计算即可求出的值，反过来有解就是相反的情况．
 

21.【答案】解：设乙队单独完成这项工程需要天，则甲队单独完成这项工程需要天．根据题意，得  ．
解得．
经检验，是原方程的根，且符合题意．
．
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需天和天．
设甲、乙两队合作完成这项工程需要天，
则有．
解得．
需要施工费用：万元．
．
万元
答：工程预算的施工费用不够用，需追加预算万元．

．

【解析】本题主要考查了分式方程的应用解答本题的关键是掌握利用分式方程解决实际问题的思路与方法．
设乙队单独完成这项工程需要天，则甲队单独完成这项工程需要天．根据题意，列出关于的方程，解这个分式方程，再进行检验，即可求解；
设甲、乙两队合作完成这项工程需要天，根据“工作时间工作效率工作量”列出关于的方程，解这个方程，即可求解．
 

22.【答案】解：设种型号纪念品的单价为元，则种型号纪念品的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，则，
答：种型号纪念品的单价为元，则种型号纪念品的单价为元；
设能购买个型号的纪念品，则购买个型号的纪念品，
由题意得：，
解得：，
答：最多能购买个型号的纪念品． 

【解析】设种型号纪念品的单价为元，则种型号纪念品的单价为元，由题意：用元购买型号手办的数量是用元购买型号钥匙扣数量的倍．列出分式方程，解方程即可；
设能购买个型号的纪念品，则购买个型号的纪念品，由题意：所花费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】解：设汽车原来的平均速度是 ，
根据题意得：，
解得：
经检验：是原方程的解．
答：汽车原来的平均速度． 

【解析】本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
求汽车原来的平均速度，路程为，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：行驶时间缩短了等量关系为：原来时间现在时间．
 

24.【答案】解：设原来每天生产健身器械台，则提高工作效率后每天生产健身器械台，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：原来每天生产健身器械台．
设使用辆大货车，使用辆小货车，
同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输，
，

又运输公司大货车数量不足辆，且运输总费用不多于元，
，即，
解得：．
又为整数，
可以为，．
当时，；
当时，，
又为整数，
的最小值为．
共有种运输方案，
方案：使用辆大货车，辆小货车；
方案：使用辆大货车，辆小货车．
方案所需费用为元，
方案所需费用为元．
，
运输方案的费用最低，最低运输费用是元． 

【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
设原来每天生产健身器械台，则提高工作效率后每天生产健身器械台，利用工作时间工作总量工作效率，结合一共用天刚好完成任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设使用辆大货车，使用辆小货车，根据同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输，可得出，化简后可得出，结合“运输公司大货车数量不足辆，且运输总费用不多于元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出的值，由的值结合可得出的最小值，进而可得出各运输方案，利用总运费每辆车的运动派车数量，即可分别求出两个运输方案所需运费，比较后即可得出结论．
 

25.【答案】解：设原来每天用水量是吨，则现在每天用水量是吨，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：现在每天用水量是吨． 

【解析】设原来每天用水量是吨，则现在每天用水量是吨，根据现在吨水比以前可多用天，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．