初中15.3 分式方程精练

人教版八年级上 15.3分式方程同步练习

一．选择题

1．（2021•郯城县模拟）分式方程＝0的解是（　　）

A．1 B．﹣1 C．±1 D．无解

2．（2021•淄川区一模）方程+＝3的解为（　　）

A．x＝ B．x＝﹣3 C．x＝ D．x＝

3．（2021•庆阳二模）关于x的分式方程的解为x＝2，则常数a的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．2 D．5

4．（2021春•青川县期末）若关于x的方程有增根，则增根为（　　）

A．x＝6 B．x＝5 C．x＝4 D．x＝3

5．（2021•方城县模拟）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（　　）

A．m＞1 B．m≥2且m≠1 C．m≥2 D．m≥﹣1且m≠1

6．（2021•朝阳二模）沈阳至长白山高速铁路2020年10月16日正式开工，新建铁路长428千米，原来沈阳到长白山普通铁路长约是642千米，若高铁速度是普通列车平均速度的4倍，建成提速后沈阳到长白山运行时间能缩短10小时．若设普通列车的运行平均速度是x千米/时，可列出方程为（　　）

A．＝﹣10 B．＝+10 

C．＝+10 D．＝+10

7．（2021•威远县一模）在成都至自贡高速铁路的修建中，某工程队要开挖一段长48米的隧道，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前2天完成任务，若设原计划每天挖x米，则所列方程正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

二．填空题

8．（2021•齐河县模拟）如果与互为相反数，则x＝　 　．

9．（2021•桂阳县校级开学）若关于x的分式方程+＝会产生增根，则m的值为 　     　．

10．（2021•博山区二模）若分式方程+＝3无解，则m的值是　 　．

11．（2021春•镇海区期末）若关于x的方程+＝无解，则m＝　       　．

12．（2021春•寿阳县期末）为了美化环境，某地政府计划对辖区内60km2的土地进行绿化，为了尽快完成任务，实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成任务，求原计划平均每月的绿化面积．甲同学所列的方程为，则甲同学所列方程中的x表示 　              　．

13．（2021春•甘孜州期末）定义运算“※”：a※b＝，如果5※x＝2，那么x的值为 　     　．

14．（2021春•诸暨市期末）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{，}＝﹣3的解为 　    　．

三．解答题

15．（2021•路桥区一模）小汪解答“解分式方程：﹣1＝”的过程如图，请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．

16．（2021•桂阳县校级开学）解分式方程：

（1）＝；

（2）＝﹣2．

17．（2021春•昌图县期末）解分式方程：

（1）﹣＝2；

（2）+＝．

18．（2021•北碚区校级开学）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍．

（1）求小李步行的速度和骑自行车的速度；

（2）有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？

19．（2021•市南区校级开学）某超市预测某品牌饮料有销售前景，用1200元购进一批该饮料，试销售后果然供不应求，又用5400元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但进货单价比第一批贵3元．

（1）第一批饮料进货单价为多少元？

（2）若二次购进饮料同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于3000元，则销售单价至少为多少元？

20．（2021•桂平市模拟）城镇老旧小区改造是重大民生工程和发展工程；安定区积极响应党的号召，全面推进城区老旧小区改造工作．现计划对城区某小区的居民自来水管道进行改造；该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．

（1）这项工程的规定时间是多少天？

（2）已知甲队每天的施工费用为3500元，乙队每天的施工费用为2500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合做来完成．则该工程施工费用是多少？

答案与解析

一．选择题

1．（2021•郯城县模拟）分式方程＝0的解是（　　）

A．1 B．﹣1 C．±1 D．无解

【解析】解：去分母得：x2﹣1＝0，

解得：x＝1或x＝﹣1，

检验：把x＝1代入得：x﹣1＝0；

把x＝﹣1代入得：x﹣1≠0，

∴x＝1是增根，x＝﹣1是分式方程的解．

故选：B．

2．（2021•淄川区一模）方程+＝3的解为（　　）

A．x＝ B．x＝﹣3 C．x＝ D．x＝

【解析】解：+＝3，

方程两边都乘以x﹣1，得2﹣（x+2）＝3（x﹣1），

解得：x＝，

检验：当x＝时，x﹣1≠0，

所以x＝是原方程的解，

即原方程的解是x＝，

故选：C．

3．（2021•庆阳二模）关于x的分式方程的解为x＝2，则常数a的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．2 D．5

【解析】解：方程两边都乘以x（x﹣a），得：3x＝2（x﹣a），

将x＝2代入，得：6＝2（2﹣a），

解得a＝﹣1，

故选：A．

4．（2021春•青川县期末）若关于x的方程有增根，则增根为（　　）

A．x＝6 B．x＝5 C．x＝4 D．x＝3

【解析】解：∵最简公分母是x﹣5，原方程有增根，

∴最简公分母x﹣5＝0，

∴增根是x＝5．

故选：B．

5．（2021•方城县模拟）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（　　）

A．m＞1 B．m≥2且m≠1 C．m≥2 D．m≥﹣1且m≠1

【解析】解：，

方程两边同时乘x+1，得m﹣1＝x+1，

移项得x＝m﹣2，

∵方程的解为非负数，

∴m﹣2≥0，

∴m≥2，

∵x+1≠0，

∴x≠﹣1，

∴m﹣2≠﹣1，

∴m≠1，

∴m≥2，

故选：C．

6．（2021•朝阳二模）沈阳至长白山高速铁路2020年10月16日正式开工，新建铁路长428千米，原来沈阳到长白山普通铁路长约是642千米，若高铁速度是普通列车平均速度的4倍，建成提速后沈阳到长白山运行时间能缩短10小时．若设普通列车的运行平均速度是x千米/时，可列出方程为（　　）

A．＝﹣10 B．＝+10 

C．＝+10 D．＝+10

【解析】解：设普通列车的运行平均速度是x千米/时，

可列方程为+10＝，

故选：B．

7．（2021•威远县一模）在成都至自贡高速铁路的修建中，某工程队要开挖一段长48米的隧道，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前2天完成任务，若设原计划每天挖x米，则所列方程正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【解析】解：设原计划每天挖x米，则实际每天挖（x+2）米，

根据题意得，﹣＝2．

故选：B．

二．填空题

8．（2021•齐河县模拟）如果与互为相反数，则x＝　0　．

【解析】解：根据题意得：+＝0，

去分母得：x+2+x﹣2＝0，

解得：x＝0，

检验：把x＝0代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，

∴分式方程的解为x＝0．

故答案为：0．

9．（2021•桂阳县校级开学）若关于x的分式方程+＝会产生增根，则m的值为 　﹣4或6　．

【解析】解：去分母得：2（x+2）+mx＝3（x﹣2），

∵分式方程会产生增根，

∴（x+2）（x﹣2）＝0，

解得：x＝﹣2或x＝2，

把x＝﹣2代入整式方程得：﹣2m＝﹣12，

解得：m＝6；

把x＝2代入整式方程得：8+2m＝0，

解得：m＝﹣4，

则m的值是﹣4或6．

故答案为：﹣4或6．

10．（2021•博山区二模）若分式方程+＝3无解，则m的值是　2　．

【解析】解：解分式方程，得

x＝，

因为分式方程无解，

所以x＝2，

所以＝2，

解得m＝2．

故答案为：2．

11．（2021春•镇海区期末）若关于x的方程+＝无解，则m＝　3或﹣3或9　．

【解析】解：分式方程化简，得

3（x﹣1）+6x＝m（x+1）

整理，得

（9﹣m）x＝3+m

当x＝0时，m＝﹣3；

当x＝1时，m＝3；

当9﹣m＝0时，m＝9．

故答案为：3或﹣3或9．

12．（2021春•寿阳县期末）为了美化环境，某地政府计划对辖区内60km2的土地进行绿化，为了尽快完成任务，实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成任务，求原计划平均每月的绿化面积．甲同学所列的方程为，则甲同学所列方程中的x表示 　实际完成这项工程需要的月数　．

【解析】解：由题意可得，甲同学所列方程中的x表示实际完成这项工程需要的月数，

故答案为：实际完成这项工程需要的月数．

13．（2021春•甘孜州期末）定义运算“※”：a※b＝，如果5※x＝2，那么x的值为 　4或10　．

【解析】解：①当5＞x时，

，

去分母，可得：2＝2（5﹣x），

解得：x＝4，

检验：当x＝4时，5﹣x≠0，且符合题意，

∴x＝4是原方程的解；

②当5＜x时，

，

去分母，得：x＝2（x﹣5），

解得：x＝10，

检验：当x＝10时，x﹣5≠0，且符合题意，

∴x＝10是原方程的解；

综上，x的值为4或10，

故答案为：4或10．

14．（2021春•诸暨市期末）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{，}＝﹣3的解为 　x＝3　．

【解析】解：当x＞1时，，

去分母得：2＝﹣4﹣3（1﹣x），

解得：x＝3，

经检验x＝3是分式方程的解，

当x＜1时，，

去分母得：1＝﹣4﹣3（1﹣x），

解得：x＝，不符合题意，舍去，

∴方程的解为x＝3，

故答案为：x＝3．

三．解答题

15．（2021•路桥区一模）小汪解答“解分式方程：﹣1＝”的过程如图，请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．

【解析】解：他解答过程中错误步骤的序号是①，

正确的解答过程是：

﹣1＝，

方程两边都乘x﹣2，得2x+3﹣（x﹣2）＝﹣（x﹣1），

去括号，得2x+3﹣x+2＝﹣x+1，

移项，得2x﹣x+x＝1﹣3﹣2，

合并同类项，得2x＝﹣4，

系数化成1，得x＝﹣2，

检验：当x＝﹣2时，x﹣2≠0，所以x＝﹣2是原方程的解，

即原方程的解是x＝﹣2．

16．（2021•桂阳县校级开学）解分式方程：

（1）＝；

（2）＝﹣2．

【解析】解：（1）方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得2（x+1）＝5，

解得x＝，

检验：当x＝时，（x+1）（x﹣1）≠0，

所以分式方程的解为x＝．

（2）方程两边都乘（x﹣2），得1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），

解得x＝2，

检验：当x＝2时，x﹣2＝0，

所以x＝2是增根，原方程无解．

17．（2021春•昌图县期末）解分式方程：

（1）﹣＝2；

（2）+＝．

【解析】解：（1）

方程两边都乘2x﹣2，得1+2x＝4x﹣4，

解这个方程，得，

检验，当x＝时，2x﹣2≠0，

所以是原方程的根，

即原方程的解是x＝；

（2），

﹣＝，

方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得x﹣1﹣2x＝3（x+1），

解这个方程，得x＝﹣1，

经检验，x＝﹣1是原方程的增根，

所以原方程无解．

18．（2021•北碚区校级开学）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍．

（1）求小李步行的速度和骑自行车的速度；

（2）有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？

【解析】解：（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米/小时，

由题意得：﹣＝+，

解得：x＝6，

经检验，x＝6是原方程的解，

则1.5x＝9，

答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；

（2）小李骑自行车出发1.5千米所用的时间为1.5÷9＝（小时），

小李每天出发的时间都相同，距离上班的时间为：4.5÷9+10÷60＝（小时），

设小李跑步的速度为m千米/小时，

由题意得：1.5+（﹣﹣）m≥4.5，

解得：m≥7.2，

答：小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为7.2千米每小时．

19．（2021•市南区校级开学）某超市预测某品牌饮料有销售前景，用1200元购进一批该饮料，试销售后果然供不应求，又用5400元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但进货单价比第一批贵3元．

（1）第一批饮料进货单价为多少元？

（2）若二次购进饮料同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于3000元，则销售单价至少为多少元？

【解析】解：（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+3）元．

依题意，得：＝3×．

解得：x＝6．

经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意．

答：第一批饮料进货单价为6元．

（2）第一批饮料进货数量为1200÷6＝200（瓶），

第二批饮料进货数量为5400÷（6+3）＝600（瓶）．

设销售单价为y元，

依题意，得：（200+600）y﹣（1200+5400）≥3000．

解得：y≥12．

答：销售单价至少为12元．

20．（2021•桂平市模拟）城镇老旧小区改造是重大民生工程和发展工程；安定区积极响应党的号召，全面推进城区老旧小区改造工作．现计划对城区某小区的居民自来水管道进行改造；该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．

（1）这项工程的规定时间是多少天？

（2）已知甲队每天的施工费用为3500元，乙队每天的施工费用为2500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合做来完成．则该工程施工费用是多少？

【解析】解：（1）设该项工程的规定时间是x天，

由题意得：，

解得：x＝30．

经检验x＝30是原分式方程的解．

答：该项工程的规定时间是30天．

（2）甲、乙队合做完成所需的天数为：．

则该工程施工费用是：18×（3500+2500）＝108000（元）．

答：该工程施工费用为108000元．