高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第2课时学案

第2课时　单调性与最值

必备知识基础练

1.下列函数，在上是增函数的是(　　)

A．y＝sin x   B．y＝cos x

C．y＝sin 2x  D．y＝cos 2x

2．函数f(x)＝sin的一个递减区间是(　　)

A.    B．[－π，0]

C.  D.

3．求下列函数的单调区间：

(1)y＝cos 2x；

(2)y＝2sin.

4.下列关系式中正确的是(　　)

A．sin 11°<cos 10°<sin 168°

B．sin 168°<sin 11°<cos 10°

C．sin 11°<sin 168°<cos 10°

D．sin 168°<cos 10°<sin 11°

5．比较下列各组数的大小．

(1)cos与cos；(2)sin 194°与cos 160°.

6.函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是(　　)

A．－1,3  B．－1,1

C．0,3    D．0,1

7．函数y＝3cos在x＝________时，y取最大值．

8．求下列函数的值域：

(1)y＝sin，x∈；

(2)y＝cos2x－4cos x＋5.

关键能力综合练

一、选择题

1．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论错误的是(　　)

A．函数f(x)的最小正周期为2π

B．函数f(x)在区间上是增函数

C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称

D．函数f(x)为奇函数

2．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)

A．y＝sin  B．y＝cos

C．y＝sin   D．y＝cos

3．函数y＝2sin(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

4．当－≤x≤时，函数f(x)＝2sin有(　　)

A．最大值为1，最小值为－1

B．最大值为1，最小值为－

C．最大值为2，最小值为－2

D．最大值为2，最小值为－1

5．(易错题)函数y＝2sin(x∈[－π，0])的单调递增区间是(　　)

A.  B.

C.     D.

6．函数y＝2sin－cos(x∈R)的最小值等于(　　)

A．－3  B．－2

C．－1  D．－

二、填空题

7．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为________．

8．函数y＝sin的图象的对称轴方程是________，对称中心的坐标是________．

9．若f(x)＝2sin ωx(0＜ω＜1)在区间上的最大值是，则ω＝________.

三、解答题

10．(探究题)求函数y＝cos2x＋4sin x的最大值和最小值，及取到最大值和最小值时的x的取值集合．

11．设函数f(x)＝asin＋b.

(1)若a>0，求f(x)的单调递增区间；

(2)当x∈时，f(x)的值域为[1,3]，求a，b的值．

学科素养升级练

1．(多选题)对于函数f(x)＝，下列四个结论正确的是(　　)

A．f(x)是以π为周期的函数

B．当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值－1

C．f(x)图象的对称轴为直线x＝＋kπ(k∈Z)

D．当且仅当2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤

2．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和等于(　　)

A.   B.

C．2π  D．4π

3．(学科素养—逻辑推理)设函数f(x)＝sin(k∈N*)，若在区间[a，a＋3](a为实数)上存在不少于4个且不多于8个不同的x0，使f(x0)＝，求k的值．

答案

必备知识基础练

1．解析：对于函数y＝cos 2x，令π＋2kπ≤2x≤2π＋2kπ(k∈Z)，即＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)，

故y＝cos 2x的单调递增区间是(k∈Z)，当k＝0时为，故选D.

答案：D

2．解析：∵2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，

∴2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.

令k＝0得≤x≤.

又∵⊆

∴函数f(x)＝sin的一个递减区间为.故选D.

答案：D

3．解析：(1)函数y＝cos 2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定：

2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z,2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z.

∴kπ－≤x≤kπ，k∈Z，kπ≤x≤kπ＋，k∈Z.

∴函数y＝cos 2x的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z.

(2)y＝2sin＝－2sin，

函数y＝－2sin的单调递增、递减区间，是函数y＝2sin的单调递减、递增区间．

令2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z.

得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.即函数y＝2sin的单调递增区间为，k∈Z.

令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z.

得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.即函数y＝2sin的单调递减区间为，k∈Z.

4．解析：∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，由函数y＝sin x的单调性，得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.

答案：C

5．解析：(1)∵cos＝cos，

cos＝cos＝cos，

而0<<<，

且y＝cos x在上单调递减，

∴cos>cos.即cos>cos.

(2)∵sin 194°＝sin(90°＋104°)＝cos 104°，

而0°<104°<160°<180°，

且y＝cos x在[0，π]上单调递减．

∴cos 104°>cos 160°.即sin 194°>cos 160°.

6．解析：∵x∈R，∴x∈R，

∴y＝cosx的值域为[－1,1]．

∴y＝1－2cosx的最大值为3，最小值－1.

答案：A

7．解析：当函数取最大值时，x－＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋(k∈Z)．

答案：4kπ＋(k∈Z)

8．解析：(1)因为0≤x≤，所以0≤2x≤π，

所以－≤2x－≤.

令2x－＝t，

则原式转化为y＝sin t，t∈，

由y＝sin t的图象知－≤y≤1，

所以所求函数的值域为.

(2)令t＝cos x，则－1≤t≤1.

∴y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，

∴t＝－1时，y取得最大值10，

t＝1时，y取得最小值2.

所以y＝cos2x－4cos x＋5的值域为[2,10]．

关键能力综合练

1．解析：因为f(x)＝sin＝－cos x，所以T＝2π，故A项正确；因为y＝cos x在上是减函数，所以y＝－cos x在上是增函数，故B项正确；因为f(0)＝sin＝－1，所以f(x)的图象关于直线x＝0对称，故C项正确；f(x)＝－cos x是偶函数，故D项错误．

答案：D

2．解析：因为函数周期为π，所以排除C，D.又因为y＝cos＝－sin 2x在上为增函数，故B不符合．故选A.

答案：A

3．解析：周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2.

∴y＝2sin.

由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z.

答案：C

4．解析：∵－≤x≤，∴－≤x＋≤，

∴sin∈，

故函数f(x)的最大值为2，最小值为－1.

答案：D

5．解析：解法一　y＝2sin，其单调递增区间为－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，则－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.由于x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为.

解法二　函数在取得最大值，且其最小正周期为2π，则其单调递增区间为，即，又因为x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为.

答案：D

6．解析：∵＋＝，

∴y＝2sin－cos

＝2cos－cos＝cos，

∴ymin＝－1.

答案：C

7．解析：∵1＜＜2＜3＜π，

sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.

y＝sin x在上递增，且0＜π－3＜1＜π－2＜，

∴sin(π－3)＜sin 1＜sin(π－2)，即sin 3＜sin 1＜sin 2.

答案：sin 3＜sin 1＜sin 2

8．解析：根据正弦函数的周期性知，过函数图象的最高点或最低点且与x轴垂直的直线均是对称轴，而图象与x轴的交点均为对称中心．

要使sin＝±1，必有2x＋＝kπ＋(k∈Z)，所以x＝π＋(k∈Z)，

即对称轴方程为x＝π＋(k∈Z)，

而函数y＝sin的图象与x轴的交点即为对称中心，

所以令y＝0，即sin＝0，

所以2x＋＝kπ(k∈Z)，即x＝π－(k∈Z)，

故函数y＝sin的图象的对称中心的坐标为(k∈Z)．

答案：x＝π＋(k∈Z)　(k∈Z)

9．解析：∵x∈，即0≤x≤，且0＜ω＜1，

∴0≤ωx≤＜.

∵f(x)max＝2sin＝，

∴sin＝，＝，即ω＝.

答案：

10．解析：函数y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.

∵－1≤sin x≤1，∴当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝4；

当sin x＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－4.

∴ymax＝4，此时x的取值集合是；

ymin＝－4，此时x的取值集合是.

11．解析：(1)由于a>0，

令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以f(x)的单调递增区间是，k∈Z.

(2)当x∈时，≤2x＋≤，

则≤sin≤1，

由f(x)的值域为[1,3]知，

解得

或解得

综上得或

学科素养升级练

1．解析：函数f(x)＝的最小正周期为2π，

画出f(x)在一个周期内的图象，

可得当2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z时，

f(x)＝cos x，

当2kπ＋<x≤2kπ＋，k∈Z时，

f(x)＝sin x，

可得f(x)的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z，

当x＝2kπ＋π或x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最小值－1；

当且仅当2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，f(x)>0，

f(x)的最大值为f＝，可得0<f(x)≤，

综上可得，正确的有CD.

故选CD.

答案：CD

2．解析：作出y＝sin x的一个简图，如图所示，

∵函数的值域为，

且sin＝sin＝，sin＝－1，

∴定义域[a，b]中b－a的最小值为－＝，

定义域[a，b]中b－a的最大值为2π＋－＝，

故可得，最大值与最小值之和为2π.

答案：C

3．解析：∵f(x)在一个周期内有且只有2个不同的x0，使f(x0)＝，∴f(x)在区间[a，a＋3]上至少有2个周期，至多有4个周期．而这个区间的长度为3个单位，∴即≤T≤，即≤≤，解得≤k≤，因为k∈N*，∴k＝2或k＝3.