专题4.3 对数- 2022-2023学年高一数学阶段性复习精选精练（人教A版2019必修第一册）

专题4.3 对数

1对数的概念

概念

一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作

(底数，真数，对数)

解释 对数中对底数的限制与指数函数中对的限制一样.

两个重要对数

常用对数以为底的对数，记为；

自然对数以无理数为底的对数的对数，记为．

对数式与指数式的互化

对数式 指数式

如 ；.

结论

① 负数和零没有对数   

②

特别地，，，

解释 ， 中，如没意义；

由对数式与指数式的互化得， .

2 对数的运算性质

如果，，，有

①       ②

③        ④

(每条等式均可证明)

比较 对数的运算法则与指数的运算法则的联系

特别注意：，.

一、单选题

1．若，则（       ）

A．81 B． C． D．3

2．已知，则（       ）

A．2 B．3 C． D．

3．已知函效则（       ）

A．1 B．2 C． D．

4．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则的值为（       ）

A．4 B． C．7 D．

5．计算：（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

6．已知函数，则（       ）

A． B． C．1 D．3

7．设，，则　　

A． B． C． D．

8．设，且，则（       ）

A． B． C． D．

9．若是奇函数，则（       ）

A．2 B． C．3 D．5

10．函数的最小值为（       ）

A．1 B． C． D．

11．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至55℃，大约还需要（参考数据：，，）（       ）

A．3.5分钟 B．4.5分钟 C．5.5分钟 D．6.5分钟

12．正数a，b满足1+log2a＝2+log3b＝3+log6（a+b），则的值是

A． B． C． D．

13．已知函数为R上的偶函数，若对于时，都有，且当时，，则等于（       ）

A．1 B．-1 C． D．

14．随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟，其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是，F为载波频率，单位是，L为传输损耗（亦称衰减）单位为．若传输距离变为原来的4倍，传输损耗增加了，则载波频率变为原来约（       ）倍（参考数据：）

A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍

二、填空题

15．已知函数（且），且，则___________.

16．计算：_________．

17．若，且，则的值___．

18．___．

19．= ________

20． __________.

21．如果关于的方程的两根分别是，则的值是__________.

22．已知定义在R上的函数满足，且当时，，若对任都有，则m的取值范围是_________．

23．已知函数，函数满足．当时，，则________．

24．19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，若，则n的最大值为______．