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九年级上册2.2 圆的对称性达标测试
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这是一份九年级上册2.2 圆的对称性达标测试，共27页。
2.2 圆的对称性
1．（2022·江苏镇江·九年级期末）如图，为的直径，弦于点，，，则的半径为（ ）
A．5 B．8 C．3 D．10
2．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
3．（2022·江苏南通·九年级期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是( )
A．4 B．5 C．6 D．8
4．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为E，若CD＝BE＝16，则⊙O的半径为( )
A．8 B．9 C．10 D．11
5．（2022·江苏南京·九年级期末）平面直角坐标系内，已知点，，．当时，若最大，则t的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·江苏镇江·九年级期末）如图，的半径为，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，点为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0， 9），D（0，－1），则线段AB的长度为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
8．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝_______．
9．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦于点E，若，，则OA长为______．
10．（2022·江苏南京·九年级期末）在一个残缺的圆形工件上量得弦BC＝8cm，的中点D到弦BC的距离DE＝2cm，则这个圆形工件的半径是_______cm．
11．（2022·江苏南通·九年级期末）如图，在半径为5的⊙O中，M为弦AB的中点．若OM＝1，则AB的长为_____．
12．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，已知的半径，若弦AB垂直平分OC，则______cm．
13．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16，则MD＝_____．
14．（2022·江苏盐城·九年级期末）秋千吊绳的长度为4m，当秋千摆动时，吊绳摆动的角度为90°．则秋千摆动的最高位置与最低位置的高度差为______m．（结果保留根号）
15．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，M为AD的中点，N为上的点，且MNCD．若CD＝5，MN＝4，则⊙O的半径为_______．
16．（2022·江苏泰州·九年级期末）《九章算术》记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？
翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，（如图②）当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，间木材的直径CD是________寸．（1尺＝10寸）
17．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，一个宽为2 cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是_____________cm．
18．（2022·江苏省南京二十九中教育集团致远中学九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．
19．（2022·江苏泰州·九年级期末）如图，在中，AB是直径，弦EF∥AB．
(1)请仅用无刻度的直尺画出劣弧EF的中点P；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接OP交EF于点Q，，，求PQ的长度．
20．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，在⊙O中，弦AC与弦BD交于点P，AC＝BD．
（1）求证AP＝BP；
（2）连接AB，若AB＝8，BP＝5，DP＝3，求⊙O的半径．
21．（2022·江苏南京·九年级期末）【数学认识】
数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系．
【构造模型】
（1）如图①，已知△ABC，在直线BC上用直尺与圆规作点D，使得∠ADB＝∠ACB．
（不写作法，保留作图痕迹）
【应用模型】
已知△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为r，△ABC的周长为c．
（2）如图②，若r＝5，AB＝8，求c的取值范围．
（3）如图③，已知线段MN，AB是⊙O一条定长的弦，用直尺与圆规作点C，使得c＝MN．（不写作法，保留作图痕迹）
22．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且，BF交CG于点E，求证：CE＝BE．
参考答案：
1．A
【解析】作辅助线，连接OA，根据垂径定理得出AE=BE=4，设圆的半径为r，再利用勾股定理求解即可.
解：如图，连接OA，
设圆的半径为r，则OE=r-2，
∵弦,
∴AE=BE=4，
由勾股定理得出：，
解得：r=5，
故答案为：A.
本题考查的知识点主要是垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断或解答.
2．B
【解析】由垂径定理可求得AB⊥CD及CE的长，再利用勾股定理可求解OE的长，进而可求解．
解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝20，
∴CO＝OB＝10，AB⊥CD，CE＝DE＝CD，
∵CD＝16，
∴CE＝8，
在Rt△COE中，OE＝，
∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，
故选：B．
本题主要考查垂径定理，勾股定理，求解OE的长是解题的关键．
3．C
【解析】根据垂径定理得出BC=AB，再根据勾股定理求出OC的长．
∵OC⊥AB，AB=16，
∴BC=AB=8．
在Rt△BOC中，OB=10，BC=8，
∴．
故选C．
4．C
【解析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；连接OC，设圆的半径为r，在Rt△OEC中由勾股定理列方程求解即可；
解：如图，连接OC，
设圆的半径为r，则OE=16-r，
AB为圆的直径，AB⊥CD，则CE=CD=8，
Rt△OEC中，OC2=OE2+CE2，
∴r2=（16-r）2+82，
解得：r=10，
故选： C．
本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握相关定理是解题关键．
5．C
【解析】过A、B作与y轴相切的圆，设圆心为M，切点为C，连接AC、BC，取C1为y轴上相异于C的一点，连接C1A、C1B，设C1B交圆于D，利用圆周角定理和三角形外角性质可证得∠ACB最大，过M作MN⊥AB于N，根据垂径定理证得AN=BN=AB，可证明四边形MNOC为矩形，则有MA=MC=ON，t=MN，利用勾股定理求解MN即可解答．
解：过A、B作与y轴相切的圆，设圆心为M，切点为C，连接AC、BC，取C1为y轴上相异于C的一点，连接C1A、C1B，设C1B交圆于D，如图，
则∠ADB=∠ACB，
∵∠ADB是△ADC1的外角，
∴∠ADB＞∠AC1B，
∴∠ACB＞∠AC1B，即∠ACB就是所求的最大角，
过M作MN⊥AB于N，连接MC、MA，则MA=MC，AN=BN=AB，MC⊥y轴，
∴四边形MNOC为矩形，
∴MC=ON，OC=MN，
∵，，，t＞0，
∴AB=4，OC=t，OA=1，
∴AN=AB=2，
∴MC=ON=OA+AN=3，
在Rt△AMN中，MA=MC =3，
由勾股定理得：，
∴OC=MN=，即t=，
故选：C．
本题考查切线性质、圆周角定理、三角形外角性质、矩形的判定与性质、垂径定理、坐标与图形、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用，得出过A、B、C三点的圆与y轴相切时∠ACB最大是解答的关键．
6．A
【解析】当点C运动到优弧中点时，以AB为底，高最大，面积最大，先求出AB，再求出CH，求面积即可．
解：如图：连接CO，并延长CO交AB于点H，连接AO．
当点C运动到优弧中点时，以AB为底，高最大，故 面积最大
∵点C运动到优弧中点
∴,且
∵将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，
∴OH=HM
∵的半径为
∴，
∴在中，利用勾股定理得：，
∴
∴
故选A．
此题考查了垂径定理及其逆运用，勾股定理性质，解答此题的关键，利用垂径定理找到符合要求的点和线段的长度．
7．C
解：连接EB，如图所示：
∵C（0，9），D（0，﹣1），
∴OD=1，OC=9，
∴CD=10，
∴EB=ED=CD=5，OE=5﹣1=4，
∵AB⊥CD，
∴AO=BO=AB，OB==3，
∴AB=2OB=6；
故选：C．
本题考查垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
8．16
【解析】连接，由垂径定理可得，在中利用勾股定理即可求得的长，进而求得．
解：连接，
∵OE⊥AB于E，
∴，
在中，，OE＝6，
∴，
∴，
故答案为：
本题考查了垂径定理和勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．
9．3.4
【解析】连接OC，根据垂径定理可得，然后设，则OE=BE-OB=5-r，在中，利用勾股定理求解即可得
利用垂径定理，勾股定理解决问题即可．
解：连接OC，
∵，，
∴，
设，则OE=BE-OB=5-r，
在中，
∵，
∴，
解得：r=3.4，
故答案为：3.4．
题目主要考查垂径定理及勾股定理的应用，学会利用参数构建方程解决问题是解题关键．
10．5
【解析】在圆中构建直角三角形，利用勾股定理即可求出工件半径．
解：如图所示，
设圆的半径为xcm，
∵BC=8cm，DE=2cm，
∴BE=4cm，OE=（x-2）cm，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：x=5．
∴原形工件的半径为5cm．
故答案为：5．
本题主要考查的是圆中的性质以及勾股定理的运用，构建合适的图形是解题的关键．
11．4．
【解析】连接OA，根据垂径定理的推论得到OM⊥AB，根据勾股定理求出AM，得到答案．
解：连接OM，OA，
∵M为AB的中点，OM过圆心O，
∴OM⊥AB，AM＝BM，
∴∠OMA＝90°，
由勾股定理得：BM＝AM＝＝＝2，
∴AB＝AM+BM＝2+2＝4，
故答案为：4．
本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦是解此题的关键．
12．
【解析】连接OA，如图，先利用弦AB垂直平分OC得到OD=cm，，根据垂径定理得到AD=BD，然后根据勾股定理计算出AD，也就也可以求出AB=2AD=cm．
连接OA，如图
∵弦AB垂直平分OC，垂足为D，
∴，．
∴AD=BD，
在中，
∵OA=2cm，OD=1cm．
∴cm，
∴AB=2AD=cm．
故答案为：．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考察了勾股定理的相关内容．
13．4
【解析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，根据垂径定理得到AM=BM=8，再根据勾股定理得到82+（16-r）2=r2，解方程求出r=10，然后计算CD-CM即可．
解：连接OA，如图，
设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，
∵AB⊥CD，
∴AM=BM=AB=8，
在Rt△AOM中，82+（16-r）2=r2，
解得r=10，
∴CD=2r=20，
∴MD=CD-CM=20-16=4．
故答案为：4．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
14．
【解析】如图所示，连接AB，过点O作OD⊥AB交AB于D，交弧AB于C，只需要利用勾股定理求出CD的长即可得到答案．
解：如图所示，连接AB，过点O作OD⊥AB交AB于D，交弧AB于C，
∴，∠ODA=90°，
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠AOD=45°，
∴AD=OD，
设，则，
∵，
∴，
解得（不合题意的值已经舍去），
∴秋千摆动的最高位置与最低位置的高度差为，
故答案为：．
本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．
15．##10.5
【解析】连接AO，ON，延长NM交⊙O于F，过O作OE⊥NF于E，如图，设⊙O的半径为r，AD=t，先证明四边形MEOD是矩形得到OE=DM=t，OD=ME=r-5，再利用勾股定理得①，②，然后解方程组即可．
解：连接AO，ON，延长NM交⊙O于F，过O作OE⊥NF于E，如图，
设⊙O的半径为r，AD=t，
∵CD⊥AB，MNCD，
∴∠ODM=∠DME=∠MEO=90°，
∴四边形MEOD是矩形，
∴OE=DM=t，OD=ME=r-5，
在Rt△AOD中，，①
在Rt△NOE中，，②
②×4-①得2r-21=0，
解得r=，
即⊙O的半径为．
故答案为：
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
16．26
【解析】连接OA，设⊙O的半径为x寸，则OE=(x−1)寸，由垂径定理得AC=BC=AB=5寸，再在Rt△AOE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：连接OA，如图：
设⊙O的半径为x寸，则OE=(x−1)寸，
∵OE⊥AB，AB=10寸，
∴AC=BC=AB=5(寸)，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：x2=(x−1)2+52，
解得：x=13，
∴⊙O的直径AC=2x=26(寸)，
即木材的直径CD是26寸，
故答案为：26．
本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
17．10
【解析】本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解．
如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示．则AB＝8cm，CD＝2cm．
连接OC，交AB于D点．连接OA．
∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切，
∴OC⊥AB．
∴AD＝4cm．
设半径为Rcm，则R2＝42＋（R−2）2，
解得R＝5，
∴该光盘的直径是10cm．
故答案为：10.
此题考查了切线的性质及垂径定理，建立数学模型是关键．
18．
【解析】如图，连接，设，由垂径定理知，，在中，由勾股定理知，解出的值，由，计算求解即可．
解：如图，连接，设
由垂径定理知
在中，由勾股定理知
∴
解得
∴的长为．
本题考查了垂径定理，勾股定理．解题的关键在于明确线段的数量关系．
19．(1)见解析
(2)1
【解析】（1）如图，连接BE，AF，BE交AF于C，作直线OC交于点P，点P即为所求．
（2）利用垂径定理结合勾股定理求得OQ=4，进一步计算即可求解．
(1)
解：如图中，点P即为所求．
(2)
解：连接OF，
由作图知OP⊥EF，EQ=QF=EF=3，
∵AB=10，
∴OF=OP=AB=5，
∴OQ==4，
∴PQ= OP- OQ=1，
∴PQ的长度为1．
本题考查了作图-应用与设计，垂径定理，勾股定理，，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20．（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）连接，先证出，再根据圆周角定理可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）连接，并延长交于点，连接，过作于点，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得，再根据线段的和差、勾股定理可得，然后根据直角三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，最后在中，利用勾股定理可得的长，从而可得的长，在中，利用勾股定理即可得．
证明：（1）如图，连接，
，
，
，即，
，
；
（2）连接，并延长交于点，连接，过作于点，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
设，则，
在中，，即，解得，
在中，，
即的半径为．
本题考查了圆周角定理、直角三角形全等的判定定理与性质、勾股定理、垂径定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
21．（1）见解析；（2）16＜c≤8＋8；（3）见解析
【解析】（1）可找到两个这样的点：①当点D在BC的延长线上时：以点C为圆心，AC长为半径，交BC的延长线于点D，连接AD，即为所求；②当点D在CB的延长线上时：以点A为圆心，AD长为半径，交CB的延长线于点，连接，即为所求；两种情况均可利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质证明；
（2）考虑最极端的情况：当C与A或B重合时，则，可得此时，根据题意可得，当点C为优弧AB的中点时，连接AC并延长至D，使得，利用等腰三角形的性质及三角形外角性质可得点D的运动轨迹为一个圆，点C为优弧AB的中点时，点C即为外接圆的圆心，AC长为半径，连接CO并延长交AB于点E，连接AO，根据垂径定理及勾股定理可得，当AD为直径时，c最大即可得；
（3）依照（1）（2）的做法，方法一：第1步：作AB的垂直平分线交⊙O于点P；第2步：以点P为圆心，PA为半径作⊙P；第3步：在MN上截取AB的长度；第4步：以A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交⊙P于点E；第5步：连接AE交⊙O于点C，即为所求；方法二：第1步：在圆上取点D，连接AD、BD，延长AD使得；第2步：作的外接圆；第3步：在MN上截取AB的长度；第4步：以点A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交△ABE的外接圆于点F；第5步：连接AF交⊙O于点C，即为所求．
（1）如图所示：①当点D在BC的延长线上时：以点C为圆心，AC长为半径，交BC的延长线于点D，连接AD，即为所求；②当点D在CB的延长线上时：以点A为圆心，AD长为半径，交CB的延长线于点，连接，即为所求；
证明：①∵，
∴，
∴；
同理可证明；
（2）当C与A或B重合时，则，
∴，
∵，
∴，
如图，当点C为优弧AB的中点时，连接AC并延长至D，使得，
∴，
∵同弧所对的圆周角相等，
∴为定角，
∴为定角，
∴点D的运动轨迹为一个圆，当点C为优弧AB的中点时，点C即为外接圆的圆心，AC长为半径，连接CO并延长交AB于点E，连接AO，
由垂径定理可得：CE垂直平分AB，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴AD为直径时最长，
∴最长，
∴的周长最长．
∴c最长为，
∴c的取值范围为：；
（3）方法一：
第1步：作AB的垂直平分线交⊙O于点P；
第2步：以点P为圆心，PA为半径作⊙P；
第3步：在MN上截取AB的长度；
第4步：以A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交⊙P于点E；
第5步：连接AE交⊙O于点C，即为所求；
方法二：
第1步：在圆上取点D，连接AD、BD，延长AD使得；
第2步：作的外接圆；
第3步：在MN上截取AB的长度；
第4步：以点A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交△ABE的外接圆于点F；
第5步：连接AF交⊙O于点C，即为所求．
题目主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，勾股定理，垂径定理，角的作法等，理解题意，综合运用各个知识点作图是解题关键．
22．见解析．
【解析】证法一：连接CB，可证，从而可证明CE＝BE；
证法二：作ON⊥BF，垂足为N，连接OE，证明△ONE≌△ODE，可得NE＝DE，再结合垂径定理可得BN＝CD，再根据线段的差即可证明结论；
证法三：连接OC交BF于点N，只需要证明△CNE≌△BDE即可证明结论．
证法一：如图(1)，连接BC，
∵ AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB，
∴,
∵，
∴，
∴∠C＝∠CBE，
∴CE＝BE．
证法二：如图(2)，作ON⊥BF，垂足为N，连接OE．
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CG，
∴，
∵，
∴，
∴BF＝CG，ON＝OD，
∵∠ONE＝∠ODE＝90°，OE＝OE，ON＝OD，
∴△ONE≌△ODE（HL），
∴NE＝DE．
∵，，
∴BN＝CD，
∴BN-EN＝CD-ED，
∴BE＝CE．
证法三：如图(3)，连接OC交BF于点N．
∵，
∴OC⊥BF，
∵AB是⊙O的直径，CG⊥AB，
∴，
∴，
∴，，
∵OC＝OB，
∴OC-ON＝OB-OD，
即CN＝BD，
又∠CNE＝∠BDE＝90°，
∠CEN＝∠BED，
∴△CNE≌△BDE，
∴CE＝BE．
本题考查垂径定理、圆周角定理、全等三角形的性质和判定等．熟练掌握垂径定理及其推理是解题关键．
2.2 圆的对称性
1．（2022·江苏镇江·九年级期末）如图，为的直径，弦于点，，，则的半径为（ ）
A．5 B．8 C．3 D．10
2．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
3．（2022·江苏南通·九年级期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是( )
A．4 B．5 C．6 D．8
4．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为E，若CD＝BE＝16，则⊙O的半径为( )
A．8 B．9 C．10 D．11
5．（2022·江苏南京·九年级期末）平面直角坐标系内，已知点，，．当时，若最大，则t的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·江苏镇江·九年级期末）如图，的半径为，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，点为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0， 9），D（0，－1），则线段AB的长度为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
8．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝_______．
9．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦于点E，若，，则OA长为______．
10．（2022·江苏南京·九年级期末）在一个残缺的圆形工件上量得弦BC＝8cm，的中点D到弦BC的距离DE＝2cm，则这个圆形工件的半径是_______cm．
11．（2022·江苏南通·九年级期末）如图，在半径为5的⊙O中，M为弦AB的中点．若OM＝1，则AB的长为_____．
12．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，已知的半径，若弦AB垂直平分OC，则______cm．
13．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16，则MD＝_____．
14．（2022·江苏盐城·九年级期末）秋千吊绳的长度为4m，当秋千摆动时，吊绳摆动的角度为90°．则秋千摆动的最高位置与最低位置的高度差为______m．（结果保留根号）
15．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，M为AD的中点，N为上的点，且MNCD．若CD＝5，MN＝4，则⊙O的半径为_______．
16．（2022·江苏泰州·九年级期末）《九章算术》记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？
翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，（如图②）当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，间木材的直径CD是________寸．（1尺＝10寸）
17．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，一个宽为2 cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是_____________cm．
18．（2022·江苏省南京二十九中教育集团致远中学九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．
19．（2022·江苏泰州·九年级期末）如图，在中，AB是直径，弦EF∥AB．
(1)请仅用无刻度的直尺画出劣弧EF的中点P；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接OP交EF于点Q，，，求PQ的长度．
20．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，在⊙O中，弦AC与弦BD交于点P，AC＝BD．
（1）求证AP＝BP；
（2）连接AB，若AB＝8，BP＝5，DP＝3，求⊙O的半径．
21．（2022·江苏南京·九年级期末）【数学认识】
数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系．
【构造模型】
（1）如图①，已知△ABC，在直线BC上用直尺与圆规作点D，使得∠ADB＝∠ACB．
（不写作法，保留作图痕迹）
【应用模型】
已知△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为r，△ABC的周长为c．
（2）如图②，若r＝5，AB＝8，求c的取值范围．
（3）如图③，已知线段MN，AB是⊙O一条定长的弦，用直尺与圆规作点C，使得c＝MN．（不写作法，保留作图痕迹）
22．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且，BF交CG于点E，求证：CE＝BE．
参考答案：
1．A
【解析】作辅助线，连接OA，根据垂径定理得出AE=BE=4，设圆的半径为r，再利用勾股定理求解即可.
解：如图，连接OA，
设圆的半径为r，则OE=r-2，
∵弦,
∴AE=BE=4，
由勾股定理得出：，
解得：r=5，
故答案为：A.
本题考查的知识点主要是垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断或解答.
2．B
【解析】由垂径定理可求得AB⊥CD及CE的长，再利用勾股定理可求解OE的长，进而可求解．
解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝20，
∴CO＝OB＝10，AB⊥CD，CE＝DE＝CD，
∵CD＝16，
∴CE＝8，
在Rt△COE中，OE＝，
∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，
故选：B．
本题主要考查垂径定理，勾股定理，求解OE的长是解题的关键．
3．C
【解析】根据垂径定理得出BC=AB，再根据勾股定理求出OC的长．
∵OC⊥AB，AB=16，
∴BC=AB=8．
在Rt△BOC中，OB=10，BC=8，
∴．
故选C．
4．C
【解析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；连接OC，设圆的半径为r，在Rt△OEC中由勾股定理列方程求解即可；
解：如图，连接OC，
设圆的半径为r，则OE=16-r，
AB为圆的直径，AB⊥CD，则CE=CD=8，
Rt△OEC中，OC2=OE2+CE2，
∴r2=（16-r）2+82，
解得：r=10，
故选： C．
本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握相关定理是解题关键．
5．C
【解析】过A、B作与y轴相切的圆，设圆心为M，切点为C，连接AC、BC，取C1为y轴上相异于C的一点，连接C1A、C1B，设C1B交圆于D，利用圆周角定理和三角形外角性质可证得∠ACB最大，过M作MN⊥AB于N，根据垂径定理证得AN=BN=AB，可证明四边形MNOC为矩形，则有MA=MC=ON，t=MN，利用勾股定理求解MN即可解答．
解：过A、B作与y轴相切的圆，设圆心为M，切点为C，连接AC、BC，取C1为y轴上相异于C的一点，连接C1A、C1B，设C1B交圆于D，如图，
则∠ADB=∠ACB，
∵∠ADB是△ADC1的外角，
∴∠ADB＞∠AC1B，
∴∠ACB＞∠AC1B，即∠ACB就是所求的最大角，
过M作MN⊥AB于N，连接MC、MA，则MA=MC，AN=BN=AB，MC⊥y轴，
∴四边形MNOC为矩形，
∴MC=ON，OC=MN，
∵，，，t＞0，
∴AB=4，OC=t，OA=1，
∴AN=AB=2，
∴MC=ON=OA+AN=3，
在Rt△AMN中，MA=MC =3，
由勾股定理得：，
∴OC=MN=，即t=，
故选：C．
本题考查切线性质、圆周角定理、三角形外角性质、矩形的判定与性质、垂径定理、坐标与图形、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用，得出过A、B、C三点的圆与y轴相切时∠ACB最大是解答的关键．
6．A
【解析】当点C运动到优弧中点时，以AB为底，高最大，面积最大，先求出AB，再求出CH，求面积即可．
解：如图：连接CO，并延长CO交AB于点H，连接AO．
当点C运动到优弧中点时，以AB为底，高最大，故 面积最大
∵点C运动到优弧中点
∴,且
∵将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，
∴OH=HM
∵的半径为
∴，
∴在中，利用勾股定理得：，
∴
∴
故选A．
此题考查了垂径定理及其逆运用，勾股定理性质，解答此题的关键，利用垂径定理找到符合要求的点和线段的长度．
7．C
解：连接EB，如图所示：
∵C（0，9），D（0，﹣1），
∴OD=1，OC=9，
∴CD=10，
∴EB=ED=CD=5，OE=5﹣1=4，
∵AB⊥CD，
∴AO=BO=AB，OB==3，
∴AB=2OB=6；
故选：C．
本题考查垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
8．16
【解析】连接，由垂径定理可得，在中利用勾股定理即可求得的长，进而求得．
解：连接，
∵OE⊥AB于E，
∴，
在中，，OE＝6，
∴，
∴，
故答案为：
本题考查了垂径定理和勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．
9．3.4
【解析】连接OC，根据垂径定理可得，然后设，则OE=BE-OB=5-r，在中，利用勾股定理求解即可得
利用垂径定理，勾股定理解决问题即可．
解：连接OC，
∵，，
∴，
设，则OE=BE-OB=5-r，
在中，
∵，
∴，
解得：r=3.4，
故答案为：3.4．
题目主要考查垂径定理及勾股定理的应用，学会利用参数构建方程解决问题是解题关键．
10．5
【解析】在圆中构建直角三角形，利用勾股定理即可求出工件半径．
解：如图所示，
设圆的半径为xcm，
∵BC=8cm，DE=2cm，
∴BE=4cm，OE=（x-2）cm，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：x=5．
∴原形工件的半径为5cm．
故答案为：5．
本题主要考查的是圆中的性质以及勾股定理的运用，构建合适的图形是解题的关键．
11．4．
【解析】连接OA，根据垂径定理的推论得到OM⊥AB，根据勾股定理求出AM，得到答案．
解：连接OM，OA，
∵M为AB的中点，OM过圆心O，
∴OM⊥AB，AM＝BM，
∴∠OMA＝90°，
由勾股定理得：BM＝AM＝＝＝2，
∴AB＝AM+BM＝2+2＝4，
故答案为：4．
本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦是解此题的关键．
12．
【解析】连接OA，如图，先利用弦AB垂直平分OC得到OD=cm，，根据垂径定理得到AD=BD，然后根据勾股定理计算出AD，也就也可以求出AB=2AD=cm．
连接OA，如图
∵弦AB垂直平分OC，垂足为D，
∴，．
∴AD=BD，
在中，
∵OA=2cm，OD=1cm．
∴cm，
∴AB=2AD=cm．
故答案为：．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考察了勾股定理的相关内容．
13．4
【解析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，根据垂径定理得到AM=BM=8，再根据勾股定理得到82+（16-r）2=r2，解方程求出r=10，然后计算CD-CM即可．
解：连接OA，如图，
设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，
∵AB⊥CD，
∴AM=BM=AB=8，
在Rt△AOM中，82+（16-r）2=r2，
解得r=10，
∴CD=2r=20，
∴MD=CD-CM=20-16=4．
故答案为：4．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
14．
【解析】如图所示，连接AB，过点O作OD⊥AB交AB于D，交弧AB于C，只需要利用勾股定理求出CD的长即可得到答案．
解：如图所示，连接AB，过点O作OD⊥AB交AB于D，交弧AB于C，
∴，∠ODA=90°，
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠AOD=45°，
∴AD=OD，
设，则，
∵，
∴，
解得（不合题意的值已经舍去），
∴秋千摆动的最高位置与最低位置的高度差为，
故答案为：．
本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．
15．##10.5
【解析】连接AO，ON，延长NM交⊙O于F，过O作OE⊥NF于E，如图，设⊙O的半径为r，AD=t，先证明四边形MEOD是矩形得到OE=DM=t，OD=ME=r-5，再利用勾股定理得①，②，然后解方程组即可．
解：连接AO，ON，延长NM交⊙O于F，过O作OE⊥NF于E，如图，
设⊙O的半径为r，AD=t，
∵CD⊥AB，MNCD，
∴∠ODM=∠DME=∠MEO=90°，
∴四边形MEOD是矩形，
∴OE=DM=t，OD=ME=r-5，
在Rt△AOD中，，①
在Rt△NOE中，，②
②×4-①得2r-21=0，
解得r=，
即⊙O的半径为．
故答案为：
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
16．26
【解析】连接OA，设⊙O的半径为x寸，则OE=(x−1)寸，由垂径定理得AC=BC=AB=5寸，再在Rt△AOE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：连接OA，如图：
设⊙O的半径为x寸，则OE=(x−1)寸，
∵OE⊥AB，AB=10寸，
∴AC=BC=AB=5(寸)，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：x2=(x−1)2+52，
解得：x=13，
∴⊙O的直径AC=2x=26(寸)，
即木材的直径CD是26寸，
故答案为：26．
本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
17．10
【解析】本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解．
如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示．则AB＝8cm，CD＝2cm．
连接OC，交AB于D点．连接OA．
∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切，
∴OC⊥AB．
∴AD＝4cm．
设半径为Rcm，则R2＝42＋（R−2）2，
解得R＝5，
∴该光盘的直径是10cm．
故答案为：10.
此题考查了切线的性质及垂径定理，建立数学模型是关键．
18．
【解析】如图，连接，设，由垂径定理知，，在中，由勾股定理知，解出的值，由，计算求解即可．
解：如图，连接，设
由垂径定理知
在中，由勾股定理知
∴
解得
∴的长为．
本题考查了垂径定理，勾股定理．解题的关键在于明确线段的数量关系．
19．(1)见解析
(2)1
【解析】（1）如图，连接BE，AF，BE交AF于C，作直线OC交于点P，点P即为所求．
（2）利用垂径定理结合勾股定理求得OQ=4，进一步计算即可求解．
(1)
解：如图中，点P即为所求．
(2)
解：连接OF，
由作图知OP⊥EF，EQ=QF=EF=3，
∵AB=10，
∴OF=OP=AB=5，
∴OQ==4，
∴PQ= OP- OQ=1，
∴PQ的长度为1．
本题考查了作图-应用与设计，垂径定理，勾股定理，，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20．（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）连接，先证出，再根据圆周角定理可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）连接，并延长交于点，连接，过作于点，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得，再根据线段的和差、勾股定理可得，然后根据直角三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，最后在中，利用勾股定理可得的长，从而可得的长，在中，利用勾股定理即可得．
证明：（1）如图，连接，
，
，
，即，
，
；
（2）连接，并延长交于点，连接，过作于点，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
设，则，
在中，，即，解得，
在中，，
即的半径为．
本题考查了圆周角定理、直角三角形全等的判定定理与性质、勾股定理、垂径定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
21．（1）见解析；（2）16＜c≤8＋8；（3）见解析
【解析】（1）可找到两个这样的点：①当点D在BC的延长线上时：以点C为圆心，AC长为半径，交BC的延长线于点D，连接AD，即为所求；②当点D在CB的延长线上时：以点A为圆心，AD长为半径，交CB的延长线于点，连接，即为所求；两种情况均可利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质证明；
（2）考虑最极端的情况：当C与A或B重合时，则，可得此时，根据题意可得，当点C为优弧AB的中点时，连接AC并延长至D，使得，利用等腰三角形的性质及三角形外角性质可得点D的运动轨迹为一个圆，点C为优弧AB的中点时，点C即为外接圆的圆心，AC长为半径，连接CO并延长交AB于点E，连接AO，根据垂径定理及勾股定理可得，当AD为直径时，c最大即可得；
（3）依照（1）（2）的做法，方法一：第1步：作AB的垂直平分线交⊙O于点P；第2步：以点P为圆心，PA为半径作⊙P；第3步：在MN上截取AB的长度；第4步：以A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交⊙P于点E；第5步：连接AE交⊙O于点C，即为所求；方法二：第1步：在圆上取点D，连接AD、BD，延长AD使得；第2步：作的外接圆；第3步：在MN上截取AB的长度；第4步：以点A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交△ABE的外接圆于点F；第5步：连接AF交⊙O于点C，即为所求．
（1）如图所示：①当点D在BC的延长线上时：以点C为圆心，AC长为半径，交BC的延长线于点D，连接AD，即为所求；②当点D在CB的延长线上时：以点A为圆心，AD长为半径，交CB的延长线于点，连接，即为所求；
证明：①∵，
∴，
∴；
同理可证明；
（2）当C与A或B重合时，则，
∴，
∵，
∴，
如图，当点C为优弧AB的中点时，连接AC并延长至D，使得，
∴，
∵同弧所对的圆周角相等，
∴为定角，
∴为定角，
∴点D的运动轨迹为一个圆，当点C为优弧AB的中点时，点C即为外接圆的圆心，AC长为半径，连接CO并延长交AB于点E，连接AO，
由垂径定理可得：CE垂直平分AB，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴AD为直径时最长，
∴最长，
∴的周长最长．
∴c最长为，
∴c的取值范围为：；
（3）方法一：
第1步：作AB的垂直平分线交⊙O于点P；
第2步：以点P为圆心，PA为半径作⊙P；
第3步：在MN上截取AB的长度；
第4步：以A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交⊙P于点E；
第5步：连接AE交⊙O于点C，即为所求；
方法二：
第1步：在圆上取点D，连接AD、BD，延长AD使得；
第2步：作的外接圆；
第3步：在MN上截取AB的长度；
第4步：以点A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交△ABE的外接圆于点F；
第5步：连接AF交⊙O于点C，即为所求．
题目主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，勾股定理，垂径定理，角的作法等，理解题意，综合运用各个知识点作图是解题关键．
22．见解析．
【解析】证法一：连接CB，可证，从而可证明CE＝BE；
证法二：作ON⊥BF，垂足为N，连接OE，证明△ONE≌△ODE，可得NE＝DE，再结合垂径定理可得BN＝CD，再根据线段的差即可证明结论；
证法三：连接OC交BF于点N，只需要证明△CNE≌△BDE即可证明结论．
证法一：如图(1)，连接BC，
∵ AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB，
∴,
∵，
∴，
∴∠C＝∠CBE，
∴CE＝BE．
证法二：如图(2)，作ON⊥BF，垂足为N，连接OE．
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CG，
∴，
∵，
∴，
∴BF＝CG，ON＝OD，
∵∠ONE＝∠ODE＝90°，OE＝OE，ON＝OD，
∴△ONE≌△ODE（HL），
∴NE＝DE．
∵，，
∴BN＝CD，
∴BN-EN＝CD-ED，
∴BE＝CE．
证法三：如图(3)，连接OC交BF于点N．
∵，
∴OC⊥BF，
∵AB是⊙O的直径，CG⊥AB，
∴，
∴，
∴，，
∵OC＝OB，
∴OC-ON＝OB-OD，
即CN＝BD，
又∠CNE＝∠BDE＝90°，
∠CEN＝∠BED，
∴△CNE≌△BDE，
∴CE＝BE．
本题考查垂径定理、圆周角定理、全等三角形的性质和判定等．熟练掌握垂径定理及其推理是解题关键．
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