高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算第1课时学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算第1课时学案设计，共8页。


授课提示：对应学生用书第6页
[教材提炼]
知识点一 并集
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
对于A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}；类比实数的加法运算，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？
知识梳理 (1)定义
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集(unin set)，记作A∪B(读作“A并B”)，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，如图，可用Venn图表示．
(2)性质
①A∪B＝B∪A；
②A∪A＝A；
③A∪∅＝∅∪A＝A；
④A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)；
⑤A∪B＝A⇔B⊆A，A∪B＝B⇔A⊆B.
知识点二 交集
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
A＝{2,4,6,8,10}，B＝{3,5,8,12}，C＝{8}；集合A，B与集合C之间有什么关系？
知识梳理 (1)定义
一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集(intersectin set)，记作A∩B(读作“A交B”)，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，可用Venn图表示．
(2)性质
①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；③A∩∅＝∅；④若A⊆B，则A∩B＝A；⑤(A∩B)⊆A；⑥(A∩B)⊆B.
[自主检测]
1．(教材P10例1改编)若集合M＝{－1,0,1}，集合N＝{0,1,2}，则M∪N＝( )
A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
答案：D
2．(教材P10例2改编)已知集合P＝{x|x＜3}，集合Q＝{x|－1≤x≤4}，则P∩Q＝( )
A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}
答案：A
3．满足条件{0,1}∪A＝{0,1}的所有集合A的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：D
4．(教材P12练习3题改编)设A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，则A∩B＝________________________________________________________________________
答案：{x|x是等腰直角三角形}
授课提示：对应学生用书第7页
探究一 并集概念及简单应用
[例1] (1)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|0＜x≤1}，则M∪N＝( )
A．{x|0≤x≤1} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|0≤x＜1} D．{x|x≤1}
[解析] M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|0＜x≤1}，
∴M∪N＝{x|0≤x≤1}．
[答案] A
(2)点集A＝{(x，y)|x＜0}，B＝{(x，y)|y＜0}，则A∪B中的元素不可能在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限．
[答案] A
求集合并集的两种基本方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析求解．
1．若集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,3，x}，则满足条件的实数x的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：∵A∪B＝{1,3，x}，A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，
∴A∪B＝A，即B⊆A.∴x2＝3，或x2＝x.
当x2＝3时，得x＝±eq \r(3)，
若x＝eq \r(3)，则A＝{1,3，eq \r(3)}，B＝{1,3}，符合题意；
若x＝－eq \r(3)，则A＝{1,3，－eq \r(3)}，B＝{1,3}，符合题意．
当x2＝x时，得x＝0，或x＝1，
若x＝0，则A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；
若x＝1，则A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
综上知，x＝±eq \r(3)，或x＝0.故满足条件的实数x有3个．
答案：C
2．已知M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}．则M∪N＝________.
解析：将集合M和N在数轴上表示出来，如图所示，
可知M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．
答案：{x|x＜－5或x＞－3}
探究二 交集概念及简单应用
[例2] (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0,2} B．{1,2}
C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}
[解析] 由题意知A∩B＝{0,2}．
[答案] A
(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{1}
C．{1,2} D．{0,1,2}
[解析] 由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．
[答案] C
(3)若集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________.
[解析] 借助数轴可知：
A∪B＝R，A∩B＝{x|－1＜x≤1，或4≤x＜5}．
[答案] R {x|－1＜x≤1，或4≤x＜5}
求集合交集的两种基本方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用交集的定义求解；
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．
1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3－2x＞0}，则( )
A．A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(3,2))))) B．A∩B＝∅
C．A∪B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(3,2))))) D．A∪B＝R
解析：由3－2x＞0，得x＜eq \f(3,2)，
所以B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(3,2)))))，
又因为A＝{x|x＜2}，
所以A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(3,2)))))，
A∪B＝{x|x＜2}．
答案：A
2.已知集合U＝R，集合M＝{x|－2≤x＜2}和N＝{y|y＝2k－1，k∈Z}的关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
解析：由题意得，阴影部分所示的集合为M∩N，由N＝{y|y＝2k－1，k∈Z}知N表示奇数集合，又由M＝{x|－2≤x＜2}得，在－2≤x＜2内的奇数为－1,1.
所以M∩N＝{－1,1}，共有2个元素．
答案：B
探究三 集合交、并集运算及应用
[例3] 已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a(a＞0)}．
(1)若A∪B＝B，求a的取值范围．
(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．
[解析] (1)因为A∪B＝B，所以A⊆B，
观察数轴可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2≥a，,4≤3a，))所以eq \f(4,3)≤a≤2.
(2)A∩B＝∅有两类情况：B在A的左边和B在A的右边，如图．
观察数轴可知，a≥4或3a≤2，又a＞0，
所以0＜a≤eq \f(2,3)或a≥4.
由集合的运算性质求参数值(范围)的注意事项
(1)要考虑因参数的影响是否需要分类讨论；
(2)要有数形结合思想的意识，借助于数轴会更方便直观；
(3)对于A∩B＝A的情况要考虑到A是否为∅的情况．
1．本例条件下，若A∩B＝{x|3＜x＜4}，求a的取值范围．
解析：画出数轴如图．
观察图形可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,3a≥4，))即a＝3.
2．若本例题变为：已知A＝{x|a＜x≤a＋8}，B＝{x|x＜－1或x＞5}．若A∪B＝R，求a的取值范围．
解析：由a＜a＋8，又B＝{x|x＜－1或x＞5}，
在数轴上标出集合A，B，如图．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋8≥5,a＜－1))，
∴－3≤a＜－1.
授课提示：对应学生用书第8页
一、并集元素个数何其多eq \x(►直观想象、逻辑推理)
(1)“或”的理解：“x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：①x∈A但x∉B；②x∈B但x∉A；③x∈A且x∈B.
(2)一般地，对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
[典例] 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
[解析] 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．
由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，
解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．
[答案] 8
二、“有”与“无”，“虚”与“实”的对立与统一——集合交、并运算的端点值的选用eq \x(►直观想象、逻辑推理)
[典例] 集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}．
(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝A，求a的取值范围．
[解析] (1)由A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，
画出数轴如图所示．
由图可知，若A∩B＝∅，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥－1，,a＋3≤5，))解得－1≤a≤2.
(2)由A∩B＝A，得A⊆B.
则a＋3＜－1或a＞5，即a＜－4或a＞5.
纠错心得 由于A中含端点a、a＋3，而B中不含端点－1及5.根据A∩B＝∅的含义，a＝－1，a＋3＝5时，也成立．而A⊆B时，则不能取“＝”．对于是否取端点．可单独验证．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解两个集合的并集的含义，会求两个简单集合的并集．
数学抽象、数学运算
直观想象
2.理解两个集合的交集的含义，会求两个简单集合的交集．
3.能使用Venn图表达集合的并集、交集