数学必修 第一册1.1 集合的概念第1课时导学案及答案

1.1　集合的概念

第1课时　集合的概念

【学习目标】

【自主学习】

一．元素与集合的相关概念

1.元素：一般地，把      统称为元素，常用小写的拉丁字母         表示．

2.集合：一些     组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母         表示．

3.集合相等：指构成两个集合的元素是   的．

4.集合中元素的特性：       、      和      ．

二．元素与集合的关系

1.属于：如果a是集合A的元素，就说          ，记作     .

2.不属于：如果a不是集合A中的元素，就说           ，记作   .

三．常见的数集及表示符号

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)山东新坐标书业有限公司的优秀员工可以组成集合．(　　)

(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．(　　)

(3)由－1,1,1组成的集合中有3个元素．(　　)

2、用“∈”或“∉”填空：

____N；－3____Z；____Q；0____N*；____R.

【经典例题】

题型一   集合的概念

例1 下列所给的对象能构成集合的是________．

①所有的正三角形；

②比较接近1的数的全体；

③某校高一年级所有16岁以下的学生；

④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；

⑤所有参加2018年俄罗斯世界杯的年轻足球运动员；

⑥的近似值的全体．

【跟踪训练】1 判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？

(1)接近于2019的数；

(2)大于2019的数；

(3)育才中学高一(1)班视力较好的同学；

(4)方程x2－2＝0在实数范围内的解；

(5)函数y＝x2图象上的点．

题型二  元素与集合的关系

例2 -1给出下列6个关系：①∈R，②∈Q，③0∉N，④∈N，⑤π∈Q，⑥|－2|∉Z.

其中正确命题的个数为(　　)

A．4　　    B．3　　　    C．2　　 　  D．1

例2-2集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．

【跟踪训练】2用符号“∈”或“∉”填空．

若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合，则点(0,0)________A，(1,1)______A，

(－1,1)______A.

题型三  集合中元素的特性

例3 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．

【跟踪训练】3已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为(　　)

A．2      B．3      C．0或3   D．0,2,3均可

【当堂达标】

1．下列说法正确的是(　　)

A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合

B．由1,2,3和，1，组成的集合不相等

C．不超过20的非负数组成一个集合

D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素

2．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是(　　)

A．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合

B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合

C．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合

D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集

3．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为(　　)

A．2         B．2或4     C．4 D．0

4．由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是(　　)

A．1         B．2         C．3 D．4

5．给出下列关系：①∈Z；②∈R；③|－5|∉N＋； ④|－|∈Q；⑤π∈R.

其中，正确的个数为________．

6．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.

(1)求实数x应满足的条件；

(2)若－2∈A，求实数x.

【参考答案】

【自主学习】

研究对象  a，b，c…  元素  A，B，C… 一样  确定性   互异性 无序性

a属于集合A a∈A  a不属于集合A  a∉A

N  N*或N＋ Z  Q  R

【小试牛刀】

1.(1)×　 (2)√　(3)×

解析：(1)因为“优秀”没有明确的标准，其不满足集合中元素的确定性．

(2)根据集合相等的定义知，两个集合相等．

(3)因为集合中的元素要满足互异性，所以由－1,1,1组成的集合有2个元素－1,1.

2. ∉　∈　∉　∉　∈ 解析：因为不是自然数，所以∉N；－3是整数，所以－3∈Z；因为不是有理数，所以∉Q；0不是非零自然数，所以0∉N*；因为是实数，所以∈R.

【经典例题】

例1  ①③④ 解析：①能构成集合，其中的元素满足三条边相等；

②不能构成集合，因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；

③能构成集合，其中的元素是“某校高一年级16岁以下的学生”；

④能构成集合，其中的元素是“平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点”；

⑤不能构成集合，因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的，故不能构成集合；

⑥不能构成集合，因为“的近似值”未明确精确到什么程度，因此不能断定一个数是不是它的近似值，所以不能构成集合．

【跟踪训练】1  (1)(3)由于标准不明确，故不能构成集合；(2)(4)(5)能构成集合．

例2-1  C解析：R，Q，N，Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集，所以①④正确，因为0是自然数，，π都是无理数，所以②③⑤⑥不正确．

例2-2  0,1,2 解析： 当x＝0时，＝2；当x＝1时，＝3；当x＝2时，＝6；

当x≥3时不符合题意，故集合A中元素有0,1,2.

【跟踪训练】2  ∈　∈　∉解析：第一、三象限的角平分线上的点的集合可以用直线y＝x表示，显然(0,0)，(1,1)都在直线y＝x上，(－1,1)不在直线上．∴(0,0)∈A，(1,1)∈A，(－1,1) ∉A.

例3 －1 解析：　若a＝1，则a2＝1，此时集合A中两元素相同，与互异性矛盾，故a≠1；

若a2＝1，则a＝－1或a＝1(舍去)，此时集合A中两元素为－1,1，故a＝－1.

综上所述a＝－1.

【跟踪训练】3 B解析：由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．

【当堂达标】

1. C 解析： A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．

2.C解析：由于C中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而A、B、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选C．

3.B解析：若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A．故选B．

4.B解析：当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝|a|＝所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中有两个元素．故选B．

5.2 解析：由Z，R，Q，N＋的含义，可知②⑤正确，①③④不正确．故正确的个数为2.

6.解 (1)由集合中元素的互异性可知，x≠3. 且x≠x2－2x，x2－2x≠3.

解之得x≠－1，且x≠0，x≠3.

(2)由－2∈A，知x＝－2或x2－2x＝－2，

当x＝－2时，x2－2x＝(－2)2－2×(－2)＝8.此时A中含有三个元素3，－2,8满足条件．

当x2－2x＝－2，即x2－2x＋2＝0时，Δ＝(－2)2－4×1×2＝4－8<0，故方程无解，显然x2－2x≠－2.

综上，x＝－2.