2020-2021学年第四章 基本平面图形综合与测试同步训练题

这是一份2020-2021学年第四章 基本平面图形综合与测试同步训练题，共10页。
角平分线间的夹角问题
【典例1】已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
【解析】分两种情况计算：
①当OC落在∠AOB的内部时：
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM＝ eq \f(1,2) ∠AOB＝ eq \f(1,2) ×100°＝50°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠BON＝ eq \f(1,2) ∠BOC＝ eq \f(1,2) ×60°＝30°，
∴∠MON＝∠AOB－∠AOM－∠BON＝100°－50°－30°＝20°；
②当OC落在∠AOB的外部时：
∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠BOM＝ eq \f(1,2) ∠AOB＝ eq \f(1,2) ×100°＝50°，
∠BON＝ eq \f(1,2) ∠BOC＝ eq \f(1,2) ×60°＝30°，
∴∠MON＝∠BOM＋∠BON＝50°＋30°＝80°，
综上所述，∠MON的度数为20°或80°.

巧用角平分线解决折叠问题(折叠法)
【典例2】如图，将一张长方形纸斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，然后再把BE折过去，使之与BA′重合，折痕为BD，求两折痕BC，BD的夹角∠CBD是多少度？
【解析】由折叠的性质：∠CBA＝∠CBA′，∠DBE＝∠DBE′，
又∵∠CBA＋∠CBA′＋∠DBE＋∠DBE′＝180°，
∴∠CBA′＋∠DBE′＝90°，
∴∠CBD＝∠CBA′＋∠DBE′＝90°.
【变式1】如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D′落在∠BAC内部．若∠CAE＝∠BAD′＝α，则∠DAE的度数为( D )
A．2α B．90°－3α
C．30°＋ eq \f(α,2) D．45°－ eq \f(α,2)
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
由折叠的性质得：∠DAE＝∠D′AE＝ eq \f(1,2) (90°－∠BAD′)＝45°－ eq \f(α,2) .
【变式2】如图，将一张长方形纸片的一角斜折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕，若BD平分∠A′BE，则BC与BD的位置关系是__垂直__．
【解析】∵将一张长方形纸片的一角斜折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕，
∴∠ABC＝∠A′BC＝ eq \f(1,2) ∠ABA′，
∵BD平分∠A′BE，
∴∠A′BD＝∠EBD＝ eq \f(1,2) ∠A′BE，
∴∠CBD＝∠CBA′＋∠A′BD＝ eq \f(1,2) (∠ABA′＋∠A′BE)＝ eq \f(1,2) ×180°＝90°，
∴BC与BD垂直．
【变式3】将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE，AF为折痕，点B，D折叠后的对应点分别为B′，D′，若∠B′AD′＝16°，则∠EAF的度数为( D )
A．40° B．45° C．56° D．37°
【解析】设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，根据折叠可知：
∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，
∵∠B′AD′＝16°，
∴∠DAF＝16°＋β，
∠BAE＝16°＋α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，
∴16°＋β＋β＋16°＋16°＋α＋α＝90°，
∴α＋β＝21°，
∴∠EAF＝∠B′AD′＋∠D′AE＋∠FAB′
＝16°＋α＋β
＝16°＋21°
＝37°.
巧用角平分线解决角的和、差、倍、分问题
【典例3】如图，∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝19°，则∠AOB＝__114__度．
【解析】因为∠COB＝2∠AOC，所以设∠AOC＝x，则∠COB＝2x，所以∠AOB＝3x，
因为OD平分∠AOB，所以∠BOD＝∠AOD＝1.5x，
所以∠COD＝∠AOD－∠AOC＝1.5x－x＝19°，
所以x＝38°，
所以∠AOB＝3x＝3×38°＝114°.
【变式】已知如图，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线．
如图1，若∠AOB＝120°，∠BOC＝30°，求∠MON的度数．
如图1，若∠AOB＝120°，∠BOC＝β，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值，若不能，试说明理由；
如图2，若∠AOB＝α，∠BOC＝β，是否仍然能求出∠MON的度数，若能，求出∠MON的度数(用含α或β的式子表示)，并从你的求解过程中总结出你发现的规律．
【解析】(1)∵∠AOB＝120°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°＋30°＝150°，
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠MOC＝ eq \f(1,2) ∠AOC，∠NOC＝ eq \f(1,2) ∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝75°－15°＝60°.
(2)当∠AOB＝120°，∠BOC＝β时，∠MON＝∠MOC－∠NOC＝ eq \f(1,2) (120°＋β)－ eq \f(1,2) β＝60°.
(3)由(1)(2)可知：
∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝ eq \f(1,2) (α＋β)－ eq \f(1,2) β＝ eq \f(1,2) α.∠MON的度数始终等于∠AOB度数的一半．
角中射线旋转问题
【典例4】如图，点O是直线AB上一点，射线OA1，OA2均从OA的位置开始绕点O顺时针旋转，OA1旋转的速度为每秒30°，OA2旋转的速度为每秒10°.当OA2旋转6秒后，OA1也开始旋转，当其中一条射线与OB重合时，另一条也停止．设OA1旋转的时间为t秒．
(1)用含有t的式子表示∠A1OA＝________°，∠A2OA＝________°；
(2)当t＝________秒时，OA1是∠A2OA的平分线；
(3)若∠A1OA2＝30°，求t的值．
【解析】(1)由运动知，∠A1OA＝(30t)°，∠A2OA＝[10(t＋6)]°.
答案：(30t) [10(t＋6)]
(2)由(1)知，∠A1OA＝(30t)°，∠A2OA＝[10(t＋6)]°，
∵OA1是∠A2OA的平分线，
∴∠A2OA＝2∠A1OA，10(t＋6)＝2×30t，
∴t＝1.2，
答案：1.2
(3)由(1)知，∠A1OA＝(30t)°，∠A2OA＝[10(t＋6)]°，
∵∠A1OA2＝30°，
∴|30t－10(t＋6)|＝30，
∴t＝ eq \f(3,2) 或t＝ eq \f(9,2) .
【变式1】如图1是一副三角尺拼成的图案：(所涉及角度均小于或等于180度)
(1)∠EBC的度数为______度；
(2)若将图1中的三角尺ABC绕点B旋转α(0°＜α＜90°)，能否使∠EBC＝2∠ABD？若能，则求出α的值；若不能，说明理由．(图2、图3供参考)
【解析】(1)∵∠EBD＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠EBC＝∠EBD＋∠ABC＝90°＋60°＝150°.
答案：150
(2)①逆时针旋转：90°＋60°－α＝2α，
解得：α＝50°；
②顺时针旋转：
当0°＜α≤30°时，有90°＋60°＋α＝2α，
解得：α＝150°，
不符合题意，舍去；
当30°＜α＜90°时，有360°－90°－60°－α＝2α，
解得：α＝70°.
综上所述：逆时针旋转50°或顺时针旋转70°，能使∠EBC＝2∠ABD.
【变式2】如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC.将一直角三角板AOB(∠OAB＝30°)的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转，设旋转时间为t秒．
(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间有何数量关系？并说明理由．
(2)若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°.
①当旋转时间t＝________秒时，边AB所在的直线与OC平行？
②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由．
③在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时(如图3)，求∠AOC－∠BOE的值．
【解析】(1)∠BOC＝∠BOE，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC＋∠AOC＝90°，∠AOD＋∠BOE＝90°，
∵OA平分∠COD，
∴∠AOD＝∠AOC，
∴∠BOC＝∠BOE；
(2)①∵∠COE＝140°，
∴∠COD＝40°，
如图1，当AB在直线DE上方时，
∵AB∥OC，
∴∠AOC＝∠A＝30°，
∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝70°，
即t＝7；

如图2，当AB在直线DE下方时，
∵AB∥OC，
∴∠COB＝∠B＝60°，
∴∠BOD＝∠BOC－∠COD＝20°，
则∠AOD＝90°＋20°＝110°，
∴t＝ eq \f(360°－110°,10) ＝25.
答案：7或25
②当OA平分∠COD时，∠AOD＝∠AOC，即10t＝20，解得t＝2；
当OC平分∠AOD时，∠AOC＝∠COD，即10t－40＝40，解得t＝8；
当OD平分∠AOC时，∠AOD＝∠COD，即360－10t＝40，解得：t＝32；
综上，t的值为2，8，32；
③∵∠AOC＝∠COE－∠AOE＝140°－∠AOE，∠BOE＝90°－∠AOE，
∴∠AOC－∠BOE＝(140°－∠AOE)－(90°－∠AOE)＝50°，∴∠AOC－∠BOE的值为50°.
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