提分专练(04)　二次函数简单综合问题

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1.[2018·南京] 已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点;
(2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?
|类型2| 二次函数与直线的综合
2.[2019·北京] 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-1a与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.
(1)求点B的坐标(用含a的式子表示);
(2)求抛物线的对称轴;
(3)已知点P12,-1a,Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.
|类型3| 二次函数的最值问题
3.[2019·台州] 已知函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(-2,4).
(1)求b,c满足的关系式;
(2)设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当b的值变化时,求n关于m的函数解析式;
(3)若该函数的图象不经过第三象限,当-5≤x≤1时,函数的最大值与最小值之差为16,求b的值.
|类型4| 二次函数与平行四边形的综合
4.[2019·孝感节选] 如图T4-1①,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2-2ax-8a与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,-4).
(1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 ,线段AC的长为 ,抛物线的解析式为 .
(2)点P是线段BC下方抛物线上的一个动点.如果在x轴上存在点Q,使得以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点Q的坐标.
①
图T4-1
|类型5| 二次函数与相似三角形的综合
5.[2019·镇江] 如图T4-2,二次函数y=-x2+4x+5的图象的顶点为D,对称轴是直线l,一次函数y=25x+1的图象与x轴交于点A,且与直线DA关于l的对称直线交于点B.
(1)点D的坐标是 .
(2)直线l与直线AB交于点C,N是线段DC上一点(不与点D,C重合),点N的纵坐标为n.过点N作直线与线段DA,DB分别交于点P,Q,使得△DPQ与△DAB相似.
①当n=275时,求DP的长;
②若对于每一个确定的n的值,有且只有一个△DPQ与△DAB相似,请直接写出n的取值范围 .
图T4-2
【参考答案】
1.解:(1)证明:当y=0时,2(x-1)(x-m-3)=0,解得x1=1,x2=m+3.
当m+3=1,即m=-2时,方程有两个相等的实数根;当m+3≠1,即m≠-2时,方程有两个不相等的实数根.所以,不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点.
(2)当x=0时,y=2m+6,即该函数的图象与y轴交点的纵坐标是2m+6.
当2m+6>0,即m>-3时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方.
2.解:(1)∵抛物线与y轴交于点A,∴令x=0,得y=-1a,
∴点A的坐标为0,-1a.
∵点A向右平移2个单位长度,得到点B,
∴点B的坐标为2,-1a.
(2)∵抛物线过点A0,-1a和点B2,-1a,由对称性可得,抛物线对称轴为直线x=0+22=1.
(3)根据题意可知,抛物线y=ax2+bx-1a经过点A0,-1a,B2,-1a.
①当a>0时,则-1a<0,
分析图象可得:点P12,-1a在对称轴左侧,抛物线上方,点Q(2,2)在对称轴右侧,抛物线上方,此时线段PQ与抛物线没有交点.
②当a<0时,则-1a>0.
分析图象可得:当点Q在点B上方或与点B重合时,抛物线与线段PQ恰有一个公共点,此时-1a≤2,即a≤-12.
综上所述,当a≤-12时,抛物线与线段PQ恰有一个公共点.
3.解:(1)将(-2,4)代入y=x2+bx+c,
得4=(-2)2-2b+c,∴c=2b,
∴b,c满足的关系式是c=2b.
(2)把c=2b代入y=x2+bx+c,
得y=x2+bx+2b,
∵顶点坐标是(m,n),
∴n=m2+bm+2b,
且m=-b2,即b=-2m,
∴n=-m2-4m. ∴n关于m的函数解析式为n=-m2-4m.
(3)由(2)的结论,画出函数y=x2+bx+c和函数y=-x2-4x的图象.
∵函数y=x2+bx+c的图象不经过第三象限,
∴-4≤-b2≤0.
①当-4≤-b2≤-2,即4≤b≤8时,如图①所示,
当x=1时,函数取到最大值y=1+3b,当x=-b2时,函数取到最小值y=8b-b24,
∴(1+3b)-8b-b24=16,
即b2+4b-60=0,∴b1=6,b2=-10(舍去);
②当-2<-b2≤0,即0≤b<4时,如图②所示,
当x=-5时,函数取到最大值y=25-3b,当x=-b2时,函数取到最小值y=8b-b24,
∴(25-3b)-8b-b24=16,
即b2-20b+36=0,
∴b1=2,b2=18(舍去).
综上所述,b的值为2或6.
4.[解析](1)令y=0求得点A,B坐标,再由点C坐标求得抛物线的解析式及线段AC的长;
(2)过点C作x轴的平行线交抛物线于点P,通过分类讨论确定点Q坐标.
解:(1)点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(4,0);
线段AC的长为25, 抛物线的解析式为:y=12x2-x-4.
(2)过点C作x轴的平行线交抛物线于点P.
∵点C(0,-4),∴-4=12x2-x-4,解得x1=2,x2=0,∴P(2,-4).
∴PC=2,若四边形BCPQ为平行四边形,则
BQ=CP=2,
∴OQ=OB+BQ=6,∴Q(6,0).
若四边形BPCQ为平行四边形,则BQ=CP=2,
∴OQ=OB-BQ=2,∴Q(2,0).
故以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时,Q点的坐标为(6,0),(2,0).
5.[解析](1)直接用顶点坐标公式求即可;
(2)由题意可知点C2,95,A-52,0,点A关于对称轴对称的点为132,0,借助直线AD的解析式求得B(5,3);①当n=275时,N2,275,可求DA=952,DB=35,DN=185,CD=365.当PQ∥AB时,△DPQ∽△DAB,DP=954;当PQ与AB不平行时,DP=352;②当PQ∥AB,
DB=DP时,DB=35,DN=245,所以N2,215,则有且只有一个△DPQ与△DAB相似时,
95解:(1)(2,9)
(2)∵对称轴为直线x=2,
∴y=25×2+1=95,
∴C2,95.
由已知可求得A-52,0,
点A关于直线x=2对称的点的坐标为132,0,
则直线AD关于直线x=2对称的直线的解析式为y=-2x+13,
令-2x+13=25x+1,得x=5,25×5+1=3,
∴B(5,3).
①当n=275时,N2,275,
由D(2,9),A-52,0,B(5,3),C2,95,可得DA=952,DB=35,DN=185,CD=365.
当PQ∥AB时,△DPQ∽△DAB,
∵PQ∥AB,∴△DAC∽△DPN,
∴DPDA=DNDC,
∴DP=954;
当PQ与AB不平行时,△DPQ∽△DBA,
易得△DNP∽△DCB,
∴DPDB=DNDC,
∴DP=352.
综上所述,DP=954或352.
②95∴DPDA=DNDC,即35952=DN365,
∴DN=245,
∴N2,215,
易知在N2,215与C2,95之间时,有且只有一个△DPQ与△DAB相似.
∴有且只有一个△DPQ与△DAB相似时,
95故答案为95