北师大版七年级上册第二章 有理数及其运算综合与测试随堂练习题

阶段专项提分练四

新定义运算

定义两个数的运算

【典例1】若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24.

(1)求3*(－4)的值；

(2)求(－2)*(6*3)的值．

【解析】(1)3*(－4)

＝4×3×(－4)

＝－48.

(2)(－2)*(6*3)

＝(－2)*(4×6×3)

＝(－2)*(72)

＝4×(－2)×(72)

＝－576.

【变式1】(2021·常德质检)若规定：a*b＝，如1*2＝＝－3，请计算：(2*3)*(－4).

【解析】∵a*b＝，

∴(2*3)*(－4)

＝*(－4)

＝*(－4)

＝－1*(－4)

＝

＝＝.

【变式2】(2021·合肥质检)用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊕b＝ab2＋2ab＋a，如：1⊕3＝1×32＋2×1×3＋1＝16.

(1)求(－2)⊕3的值；

(2)求⊕的值．

【解析】(1)根据题中的新定义的运算得：

原式＝－2×32－2×2×3－2

＝－18－12－2＝－32.

(2)根据题中的新定义的运算得：

原式＝⊕

＝⊕

＝⊕

＝－×＋2××－＝－.

定义多个数的运算

【典例2】(2021·台州期中)规定运算△为：

若a＞b，则a△b＝a＋b；若a＜b，则a△b＝a×b；若a＝b，则a△b＝a－b＋1.

(1)计算6△(－4)的值；

(2)计算[(－2)△3]＋(4△4)＋(7△5)的值．

【解析】(1)由题意可得，6△(－4)＝6＋(－4)＝2.

(2)由题意可得，[(－2)△3]＋(4△4)＋(7△5)

＝(－2)×3＋(4－4＋1)＋(7＋5)＝(－6)＋1＋12

＝(－5)＋12＝7.

【变式】小明学习了《有理数》后，对运算非常感兴趣，于是定义了一种新运算“△”规则如下：对于两个有理数m，n，m△n＝.

(1)计算：1△(－2)＝________；

(2)这个运算中，交换m，n两数的位置，计算结果是否会受到影响，请结合整式的计算，说明理由．

(3)若a1＝|x|，a2＝|x－1|，若a1△a2＝3，直接写出x的值．

【解析】(1)1△(－2)＝＝＝1.

答案：1

(2)∵m△n＝，n△m＝.

而|m－n|＝|n－m|，∴m△n＝n△m，

因此交换m，n两数的位置，计算结果不会受到影响．

(3)∵a1△a2＝3，∴＝3，

∴|a1－a2|＋a1＋a2＝6，

①当a1＞a2时，|a1－a2|＋a1＋a2＝6，

即a1－a2＋a1＋a2＝6，∴a1＝3，

又∵a1＝|x|，∴x＝3或x＝－3，

当x＝－3时，a2＝|x－1|＝4＞a1(舍去)，

当x＝3时，a2＝|x－1|＝2<a1，符合题意．

②当a1＜a2时，|a1－a2|＋a1＋a2＝6，

即－a1＋a2＋a1＋a2＝6，∴a2＝3，

又∵a2＝|x－1|，∴x＝4或x＝－2，

当x＝4时，a1＝|x|＝4＞a2(舍去)，

当x＝－2时，a1＝|x|＝2<a2，符合题意．

综上所述，x＝3或x＝－2.

定义数对间关系

【典例3】(2021·上海期中)字母a，b表示两个正整数，规定a⊕b＝[a，b]＋(a，b)，其中[a，b]表示a与b的最小公倍数，(a，b)表示a与b的最大公因数．

(1)求9⊕12；

(2)已知15⊕x＝63，求x.

【解析】(1)∵a⊕b＝[a，b]＋(a，b)，

∴9⊕12＝36＋3＝39.

(2)设15和x的最小公倍数是m，最大公因数是n，

依题意有，

经过讨论，可知只有x＝12时，最大公因数是n＝3，最小公倍数是m＝60符合题意．

故x的值为12.

两种运算的组合

【典例4】定义新运算“@”与“⊕”：a@b＝，a⊕b＝.

(1)计算3@(－2)－(－2)⊕(－1)的值；

(2)若A＝3b@(－a)＋a⊕(2－3b)，B＝a@(－3b)＋(－a)⊕(－2－9b)，比较A和B的大小．

【解析】(1)3@(－2)－(－2)⊕(－1)

＝－＝＋＝1.

(2)A＝3b@(－a)＋a⊕(2－3b)

＝＋＝3b－1.

B＝a@(－3b)＋(－a)⊕(－2－9b)

＝＋＝3b＋1.

则A＜B.

【变式】阅读材料，并回答问题

钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法，例如现在是10点钟，4小时以后是几点钟？虽然10＋4＝14，但在表盘上看到的是2点钟，如果用符号“⊕”表示钟表上的加法，则10⊕4＝2.若问2点钟之前4小时是几点钟，就得到钟表上的减法概念，用符号“⊖”表示钟表上的减法．(注：我用0点钟代替12点钟)由上述材料可知：

(1)9⊕6＝________；2⊖4＝________．

(2)在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则5的相反数是________，举例说明有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，在钟表运算中是否仍然成立．

(3)规定在钟表运算中也有0＜1＜2＜3＜4＜5＜6＜7＜8＜9＜10＜11，对于钟表上的任意数字a，b，c，若a＜b，判断a⊕c＜b⊕c是否一定成立，若一定成立，说明理由；若不一定成立，写出一组反例，并结合反例加以说明．

【解析】(1)由题意可知，9⊕6表示9点以后6小时的时间，从表盘看为3点．

2⊖4表示2点以前4小时的时间，从表盘看为10点．

答案：3　10

(2)∵用0点钟代替12点钟，∴5⊕7＝0.

答案：7

有理数减法法则在钟表运算中仍然成立．

举例如下：

∵5⊖7＝10，5⊕5＝10，∴5⊖7＝5⊕5.

即减去一个数等于加上这个数的相反数．

(3)不一定成立，

一组反例如下：

取a＝3，b＝5，c＝7.

∵3⊕7＝10，5⊕7＝0，10＞0，

∴当3＜5时，3⊕7＞5⊕7.

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