提分专练(03)　反比例函数综合问题

提分专练(三)　反比例函数综合问题

|类型1|　反比例函数与几何图形的面积问题

1.[2019·龙东地区改编]如图T3-1,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,顶点B在反比例函数y=(x>0)的图象上,点C在x轴的正半轴上,则平行四边形OABC的面积是　　　　. 

图T3-1

2.[2019·衢州]如图T3-2,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,▱ABCD的边AB在x轴上,顶点D在y轴的正半轴上,点C在第一象限,将△AOD沿y轴翻折,使点A落在x轴上的点E处,点B恰好为OE的中点,DE与BC交于点F.若y=(k≠0)的图象经过点C.且S△BEF=1,则k的值为　　　　. 

图T3-2

3.[2019·兰州] 如图T3-3,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=(k≠0)的图象过等边三角形BOC的顶点B,OC=2,点A在反比例函数图象上,连接AC,AO.

(1)求反比例函数y=(k≠0)的表达式;

(2)若四边形ACBO的面积是3,求点A的坐标.

图T3-3

|类型2|　反比例函数与一次函数的综合问题

4.[2018·贵港] 如图T3-4,已知反比例函数y=(x>0)的图象与一次函数y=-x+4的图象交于A和B(6,n)两点.

(1)求k和n的值;

(2)若点C(x,y)也在反比例函数y=(x>0)的图象上,求当2≤x≤6时,函数值y的取值范围.

图T3-4

5.[2019·岳阳] 如图T3-5,双曲线y=经过点P(2,1),且与直线y=kx-4(k<0)有两个不同的交点.

(1)求m的值;

(2)求k的取值范围.

图T3-5

6.[2018·宜宾] 如图T3-6,已知反比例函数y=(m≠0)的图象经过点(1,4),一次函数y=-x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q(-4,n).

(1)求反比例函数与一次函数的表达式;

(2)一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,与反比例函数图象的另一个交点为P点,连接OP,OQ,求△OPQ的面积.

图T3-6

7.[2019·广东] 如图T3-7,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A,B两点,其中点A的坐标为(-1,4),点B的坐标为(4,n).

(1)根据图象,直接写出满足k1x+b>的x的取值范围;

(2)求这两个函数的表达式;

(3)点P在线段AB上,且S△AOP∶S△BOP=1∶2,求点P的坐标.

图T3-7

8.[2019·广州] 如图T3-8,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P(-1,2),AB⊥x轴于点E,正比例函数y=mx的图象与反比例函数y=的图象相交于A,P两点.

(1)求m,n的值与点A的坐标;

(2)求证:△CPD∽△AEO;

(3)求sin∠CDB的值.

图T3-8

9.[2019·自贡] 如图T3-9,在平面直角坐标系中,一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=(m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A(3,5),B(a,-3)两点,与x轴交于点C.

(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;

(2)在y轴上找一点P使PB-PC最大,求PB-PC的最大值及点P的坐标;

(3)直接写出当y1>y2时,x的取值范围.

图T3-9

【参考答案】

1.4　[解析]设A(a,b),B(a+m,b),依题意得b=,b=,∴=,化简得m=4a.∵b=,∴ab=1,∴S平行四边形OABC=mb=4ab=4×1=4.

2.24　[解析]连接OC,过F作FM⊥AB于M,延长MF交CD于N.

设BE=a,FM=b,由题意知OB=BE=a,OA=2a,DC=3a.

因为四边形ABCD为平行四边形,所以DC∥AB,所以△BEF∽△CDF,所以BE∶CD=EF∶DF=1∶3,

所以NF=3b,OD=MN=FM+FN=4b.

因为S△BEF=1,即ab=1,∴S△CDO=CD·OD=×3a×4b=6ab=12,所以k=xy=2S△CDO=24.

3.解:(1)作BD⊥OC于D,

∵△BOC是等边三角形,

∴OB=OC=2,OD=OC=1,

∴BD==,

∴S△OBD=OD·BD=,

又∵S△OBD=|k|,∴|k|=,

∵反比例函数y=(k≠0)的图象在第一、三象限,∴k=,∴反比例函数的表达式为y=.

(2)∵S△OBC=OC·BD=×2×=,∴S△AOC=3=2.

∵S△AOC=OC·yA=2,∴yA=2.

把y=2代入y=,得x=,   ∴点A的坐标为,2.

4.解:(1)把B(6,n)代入一次函数y=-x+4中,可得n=-×6+4=1,

所以B点的坐标为(6,1).

又B在反比例函数y=(x>0)的图象上,

所以k=xy=1×6=6,

所以k的值为6,n的值为1.

(2)由(1)知反比例函数的解析式为y=.

当x=2时,y==3;当x=6时,y==1,

由函数图象可知,当2≤x≤6时函数值y的取值范围是1≤y≤3.

5.解:(1)把P(2,1)的坐标代入y=,得:

1=,m=2.

(2)由(1)可知反比例函数解析式为y=,

∴=kx-4,

整理得:kx2-4x-2=0,

∵双曲线与直线有两个不同的交点,∴Δ>0,

即(-4)2-4k·(-2)>0,

解得:k>-2.

又∵k<0,

∴k的取值范围为-2<k<0.

6.解:(1)∵反比例函数y=(m≠0)的图象经过点(1,4),

∴4=,解得m=4,

故反比例函数的表达式为y=.

∵Q(-4,n)在反比例函数的图象上,

∴n==-1,∴Q(-4,-1).

∵一次函数y=-x+b的图象过点Q(-4,-1),

∴-1=4+b,解得b=-5,

∴一次函数的表达式为y=-x-5.

(2)由题意可得:

解得或

∴P(-1,-4).

在一次函数y=-x-5中,

令y=0,得-x-5=0,

解得x=-5,故A(-5,0).

∴S△OPQ=S△OPA-S△OAQ=×5×4-×5×1=7.5.

7.解:(1)x<-1或0<x<4.

(2)把A(-1,4)的坐标代入y=,得k2=-4.∴y=-.∵点B(4,n)在反比例函数y=-的图象上,∴n=-1.∴B(4,-1).

把A(-1,4),B(4,-1)的坐标代入y=k1x+b,

得解得∴y=-x+3.

(3)设直线AB与y轴交于点C,

∵点C在直线y=-x+3上,∴C(0,3).

S△AOB=OC·(|xA|+|xB|)=×3×(1+4)=7.5,

又∵S△AOP∶S△BOP=1∶2,

∴S△AOP=×7.5=2.5,S△BOP=5.

又S△AOC=×3×1=1.5,1.5<2.5,

∴点P在第一象限.∴S△COP=2.5-1.5=1.

又OC=3,∴×3×xP=1,解得xP=.

把xP=代入y=-x+3,得yP=.

∴P,.

8.解:(1)将点P(-1,2)的坐标代入y=mx,

得:2=-m,解得m=-2,

∴正比例函数解析式为y=-2x;

将点P(-1,2)的坐标代入y=,

得:2=-(n-3),解得:n=1,

∴反比例函数解析式为y=-.

解方程组

得

∴点A的坐标为(1,-2).

(2)证明:∵四边形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD,AB∥CD,

∴∠CPD=90°,∠DCP=∠BAP,

即∠DCP=∠OAE.

∵AB⊥x轴,

∴∠AEO=∠CPD=90°,

∴△CPD∽△AEO.

(3)∵点A的坐标为(1,-2),

∴AE=2,OE=1,AO==.

∵△CPD∽△AEO,∴∠CDP=∠AOE,

∴sin∠CDB=sin∠AOE===.

9.解:(1)将A(3,5)的坐标代入y2=得,5=,

∴m=15.

∴反比例函数的解析式为y2=.

当y2=-3时,-3=,∴x=-5,

∴点B的坐标为(-5,-3).

将A(3,5),B(-5,-3)的坐标代入y1=kx+b得,

解得

∴一次函数的解析式为y1=x+2.

(2)令y1=0,则x+2=0,解得x=-2.

∴点C的坐标为(-2,0).

设一次函数图象与y轴交于点D.

令x=0,则y1=2.

∴点D的坐标为(0,2).

连接PB,PC,当B,C和P不共线时,由三角形三边关系知,PB-PC<BC;

当B,C和P共线时,PB-PC=BC,

∴PB-PC≤BC.

由勾股定理可知,

BC==3.

∴当P与D重合,即P点坐标为(0,2)时,PB-PC取最大值,最大值为3.

(3)当y1>y2时,x的取值范围为x>3或-5<x<0.