高中人教A版 (2019)4.1 数列的概念集体备课课件ppt

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XUE XI MU BIAO
1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.2.了解用累加法、累乘法由递推公式求通项公式.3.会由数列{an}的前n项和Sn求数列{an}的通项公式.
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用 来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.思考　仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列吗？
知识点一　数列的递推公式
答案　不能.知道了首项和递推公式，才能确定这个数列.
1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝ .
知识点二　数列的前n项和Sn与an的关系
1.在数列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N*，则a2＝2a1.(　　)2.利用an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}.(　　)3.递推公式是表示数列的一种方法.(　　)4.S2n表示数列{an}中所有偶数项的和. (　　)
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
一、由递推公式求数列的指定项
写出这个数列的前5项.
由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.(3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.注意：由递推公式写出数列的项时，易忽视数列的周期的判断，导致陷入思维误区.
而2 020＝673×3＋1，故a2 020＝a1＝2.
二、由递推公式求通项公式
解析　方法一　(归纳法)　数列的前5项分别为
由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.(2)迭代法、累加法或累乘法：递推公式对应的有以下几类：①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决.
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
(2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an.
解　因为ln an－ln an－1＝1，
又a1＝1也符合上式，所以an＝en－1，n∈N*.
例3　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an.
三、利用Sn与an的关系求通项公式
解　因为Sn＝2n2－30n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.验证当n＝1时上式成立，所以an＝4n－32，n∈N*.
延伸探究　将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an.
解　因为Sn＝2n2－30n＋1，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32.当n＝1时不符合上式.
由Sn求通项公式an的步骤(1)当n＝1时，a1＝S1.(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；
跟踪训练3　已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an.(1)Sn＝2n2＋3n＋2；
解　当n＝1时，a1＝S1＝7，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1，又a1＝7不适合上式，
(2)Sn＝3n－1.
解　当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，显然a1＝2适合上式，所以an＝2×3n－1(n∈N*).
解析　因为a1＝2，an＋1＝an＋n，所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，a3＝a2＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8.
1.已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为A.5 B.6 C.7 D.8
2.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于A.36 B.35 C.34 D.33
解析　a2＝S2－S1＝22－2×2－(12－2×1)＝1，a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.∴a2＋a18＝34.
3.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 020的值为
解析　因为an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，
由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列，所以a2 020＝a336×6＋4＝a4＝1.
4.设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝n2＋n，则an＝__________.
解析　∵Sn＝n2＋n，∴当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n，验证当n＝1时上式成立.∴an＝2n，n∈N*.
5.数列1,3,6,10,15，…的递推公式可以是an＝an－1＋___(n∈N*，n≥2).由a10＝55，则a12＝____.
解析　由已知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，所以递推公式可以写成an＝an－1＋n.所以a12＝a11＋12＝a10＋11＋12＝78.
1.知识清单：(1)数列的递推公式.(2)数列的前n项和Sn与an的关系.2.方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法.3.常见误区：累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式；由Sn求an时忽略验证n=1时的情况.
KE TANG XIAO JIE
1.已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，则此数列的第5项是A.15 B.255 C.16 D.63
解析　由递推公式，得a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255.
3.(多选)数列2,4,6,8,10，…的递推公式是A.an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)B.an＝2an－1(n≥2，n∈N*)C.a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)D.a1＝2，an＋1＝an＋2(n∈N*)
解析　A，B中没有说明某一项，无法递推.
4.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项公式an等于A.n2＋1 B.n＋1C.1－n D.3－n
解析　∵an＋1－an＝－1.∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.当n＝1时，a1＝2也符合上式.故数列的通项公式an＝3－n(n∈N*).
5.(多选)已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，下列说法正确的是A.a1＝3 B.an＝2n(n≥2)C.an＝2n D.an＝2n(n≥2)
解析　Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n.当n＝1时，不符合上式，
7.已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，n∈N*，则an＝_______________.
解析　由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝1－2n，当n＝1时，a1＝S1＝－1也符合上式.∴an＝－2n＋1(n∈N*).
8.已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝______.
解析　a1a2…a8＝82，①a1a2…a9＝92，②
9.已知数列{an}满足an＋1－an＝n＋2(n∈N*)，且a1＝1.(1)求a2，a3，a4的值；
解　因为an＋1－an＝n＋2，且a1＝1，所以a2＝4，a3＝8，a4＝13.
(2)令bn＝4an－68n，求数列{bn}的前4项.
解　b1＝4a1－68×1＝4×1－68×1＝－64，b2＝4a2－68×2＝4×4－68×2＝－120，b3＝4a3－68×3＝4×8－68×3＝－172，b4＝4a4－68×4＝4×13－68×4＝－220.
由此可知，an＋3＝an.所以数列{an}的周期为3，又2 020＝3×673＋1，所以a2 020＝a1＝0.
12.如图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列{an}，{an}的前n项和为Sn，则下列说法中正确的是A.数列{an}是递增数列B.数列{Sn}是递增数列C.数列{an}的最大项是a11D.数列{Sn}的最大项是S11
解析　因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确诊人数，即a7>a8，所以{an}不是递增数列，所以选项A错误；因为2月23日新增确诊病例数为0，所以S33＝S34，所以数列{Sn}不是递增数列，所以选项B错误；因为1月31日新增病例数最多，从1月21日算起，1月31日是第11天，所以数列{an}的最大项是a11，所以选项C正确；数列{Sn}的最大项是最后项，所以选项D错误.
A.a1 B.a9C.a10 D.不存在
所以此数列为递减数列，故最大项为a1.
解析　方法一　(累乘法)
得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.∵an>0，∴an＋1＋an>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，
方法三　(构造特殊数列法)
∴(n＋1)an＋1＝nan，∴数列{nan}是常数列，
15.在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝____.
解析　依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
解　若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1，若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)，
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5.
故m所有可能的取值为4,5,32.